资源简介

10.3 实际问题与二元一次方程组
一、选择题（共8小题）
1．（2026 南山区一模）《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上（即甲是乙的两倍）；乙得甲九只羊，二家之数相当（相等），两人都在暗思对方有多少只羊．设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（　　）
A．
B．
C．
D．
2．（2026 启东市模拟）我国古代数学著作《算法统宗》中记载着这样一道题，其大意是：醇酒1瓶，可以醉倒3位客人；薄酒3瓶，可以醉倒1位客人．若有33位客人总共饮了19瓶酒，且都醉倒了，问他们醇酒、薄酒各饮了多少瓶？设他们醇酒饮了x瓶，薄酒饮了y瓶，根据题意可列出方程组为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2026 银川一模）植树节这天有35名同学共种了85棵树苗，其中男生每人种树3棵，女生每人种树2棵．设男生有x人，女生有y人，根据题意，下列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2026 邗江区校级一模）《九章算术》中记载了这样的问题：六鸡、七鸭共重24千克，鸡重鸭轻，互换其中一只，恰好一样重．问：每只鸡、鸭平均各重多少千克？设每只鸡平均重x千克，每只鸭平均重y千克，根据题意可列出方程组为（　　）
A．
B．
C．
D．
5．（2025秋 芜湖期末）如图，在一个大长方形的内部平铺放入六个完全一样的小长方形，大长方形的边长如图所示，则大长方形内部空白部分的面积是（　　）
A．12 B．48 C．58 D．72
6．（2025秋 榆次区期末）《九章算术》中有一个数学问题：今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？题目大意：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有50钱；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有50钱．甲、乙两人各带了多少钱？若根据题意列出的二元一次方程组中一个方程是，则另一个方程是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025秋 汨罗市期末）线段图是解决行程问题的重要数学工具，如图所示的是甲、乙二人运动两次的情形．设甲的平均速度是xkm/h，乙的平均速度是ykm/h，则可列方程组为（　　）
A．
B．
C．
D．
8．（2025秋 历城区期末）现有圆锥、圆柱、球若干个，其中相同形状的几何体大小、质量都相等．将它们分别放在三个天平的托盘中，三个天平都处于平衡状态．用Δ，□，〇分别代表圆锥、圆柱、球，示意图如图1﹣图3，其中图3的天平右边托盘中是n个球，那么n的值为（　　）
A．8 B．7 C．6 D．5
二、填空题（共8小题）
9．（2026 长沙模拟）“相超文具店”新到两款限定中性笔：“永州款”每支笔杆带闪粉，“星城款”每支笔帽会变色．小艾买了9支永州款和4支星城款，老板报价：“一共52元”付完钱后，小艾突然说：“姐姐，我少要1支星城款，多换3支永州款吧”老板看了看库存，说：“可以，不过你还得再补1元钱”根据他们的对话，可知：永州款的单价为　 　 元．
10．（2026春 云岩区校级月考）已知正实数a、b、x、y，满足ax＝by+7，ay＝bx+1，如图是以a、b、x、y为边长作正方形或矩形．若图1阴影部分的面积为6，求图2阴影部分的面积为　 　 ．
11．（2025秋 路南区期末）幻方最早起源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则x﹣y的值为 　 　 ．
12．（2025秋 市南区校级期末）如图所示为哥哥与弟弟的聊天记录，则哥哥想买的平板电脑的原价为　 　 元．
发送者 对话内容
弟弟 哥，你之前提到的平板电脑买了没？
哥哥 还没，因为它的售价比我的预算还要多100元．
弟弟 这款平板电脑正在打9折促销哦！
哥哥 这样的话，那就比我的预算便宜了100元．
13．（2025秋 沈北新区期末）已知两地相距300km，一艘船航行于两地之间．若顺流需用15h，逆流需用20h，设船在静水中的速度为xkm/h，水流速度为ykm/h，根据题意，列出二元一次方程组 　 　 ．
14．（2025秋 银川校级期末）沙漠化制约着我国西部的发展，我国一直在探索和尝试将科技与治沙相结合的模式，光伏发电与沙漠治理相结合是“中国智慧”和“中国建设”的体现．2023年8月底，新疆光伏发电项目投入建设．甲、乙两厂承包了部分光伏板的生产任务．若甲、乙两厂共生产4000块光伏板，甲厂和乙厂每天生产数量共计1620块，甲厂生产2天、乙厂生产3天共同完成了这批生产任务，求甲、乙两厂每天分别生产多少块光伏板？设甲厂每天生产x块，乙厂每天生产y块，根据题意列出的方程组为　 　 ．
15．（2025春 聊城期中）有一个两位数，个位数字比十位数字小2，如果把这两个数字的位置对换，所得新数与原数的和为154，则原来两位数为 　 　 ．
16．（2025春 阳泉期末）某快递公司为了提高快递分拣的速度，决定购买分拣机器人来代替人工分拣．已知购买2台A型机器人和1台B型机器人共需16万元，购买3台A型机器人和2台B型机器人共需26万元．若该快递公司准备购买4台A型机器人和6台B型机器人，共需要花费　 　 万元．
三、解答题（共8小题）
17．（2026 合肥一模）随着科技的飞速发展，无人机已经广泛应用于各个领域，其中包括农业生产．无人机喷洒农药相比传统人工喷洒具有安全、便捷、效率高、更加均匀、节约农药使用量等优势，因此受到了广大农户的欢迎．某公司目前有A，B两款植保无人机为农户提供农药喷洒服务，据了解3架A款植保无人机和2架B款植保无人机每小时可为440亩土地进行农药喷洒，2架A款植保无人机和3架B款植保无人机每小时可为460亩土地进行农药喷洒，求A，B两款植保无人机每小时分别可为多少亩土地进行农药喷洒？
18．（2026春 北碚区校级月考）某文具店促销，小明想购买一些笔袋和笔记本．已知购买3个笔袋和2个笔记本共需110元，购买4个笔袋和1个笔记本共需95元．
（1）每个笔袋和笔记本各需多少钱？
（2）促销期间，两种商品售价均有所调整，小明分别花费90元和270元购买笔袋和笔记本，且购买的笔袋数量比笔记本数量少50%，每个笔袋比每个笔记本售价少9元，则小明购买笔记本多少个？
19．（2025春 宝山区校级期末）某景区的起点是一段上坡路，走过上坡路后便是一段通往终点的平路，如果上坡每小时3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从起点到终点需要0.9h，从终点返回到起点需要0.7h，求该景区起点到终点的路程．
20．（2025秋 阿克苏地区期末）工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产大小齿轮，该车间有工人85人，其中女生人数比男生人数的2倍少8人，每个工人平均每天可以生产大齿轮16个或者小齿轮10个．
（1）请问该车间有男生、女生各多少人？
（2）已知2个大齿轮与3个小齿轮配套，为了使每天生产的大小齿轮恰好配套，应该分配多少工人负责生产大齿轮，多少工人负责生产小齿轮？
21．（2025秋 定西期末）某车间有22名工人，生产一种螺栓和螺帽，平均每人每小时生产螺栓1200个或螺帽2000个，1个螺栓要配2个螺帽，应安排多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？
22．（2025秋 宿松县期末）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分信息：（水价计费＝自来水销售费用+污水处理费用）
自来水销售价格 污水处理价格
每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨
17吨及以下 a 0.80
超过17吨不超过30吨的部分 b 0.80
超过30吨的部分 6.00 0.80
已知小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元．
（1）求a，b的值．
（2）小王家6月份交水费184元，则小王家6月份用水多少吨？
23．（2025 河南校级开学）昨天，一蔬菜经营户用114元从蔬菜批发市场购进黄瓜和西红柿共40kg到菜市场去卖，黄瓜和西红柿的批发价和零售价如表所示：
品名 黄瓜 西红柿
批发价（元/kg） 2.4 3
零售价（元/kg） 3 4
（1）他昨天购进黄瓜和西红柿各多少kg？
（2）今天他又按照批发价买入10kg黄瓜和50kg西红柿，黄瓜仍然按照3元/kg销售，但运输过程中西红柿损坏了20%，要使这两天的利润率为，今天的西红柿售价应为多少元？
24．（2025春 黔江区期末）某牛肉干有五香味和麻辣味两种类型，小新打算购买若干袋五香味和麻辣味牛肉干．
（1）小新花费4300元购买了40袋五香味牛肉干和50袋麻辣味牛肉干，已知10袋五香味牛肉干和9袋麻辣味牛肉干的售价相同，求每袋五香味牛肉干和麻辣味牛肉干的售价分别是多少元？
（2）由于市场供不应求，五香味和麻辣味牛肉干的价格均有上涨，其中每袋麻辣味牛肉干的售价是每袋五香味牛肉干售价的1.2倍，小新分别花费了1800元和3500元购买麻辣味牛肉干和五香味牛肉干，一共购买了100袋，求每袋五香味牛肉干的售价．
一、选择题（共8小题）
1．【答案】D
【分析】根据题意和题目中的数据，可以写出相应的方程组．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：D．
2．【答案】B
【分析】根据“醇酒1瓶，可以醉倒3位客人；薄酒3瓶，可以醉倒1位客人．若有33位客人总共饮了19瓶酒”列出方程组，即可求解．
【解答】解：根据题意得：．
故选：B．
3．【答案】D
【分析】设男生有x人，女生有y人，根据男女生人数为20，共种了52棵树苗，列出方程组成方程组即可．
【解答】解：设男生有x人，女生有y人，
根据题意可得：，
故选：D．
4．【答案】A
【分析】设每只鸡平均重x千克，每只鸭平均重y千克，根据五只鸡、六只鸭共重20千克可得方程6x+7y＝24，根据互换其中一只，恰好一样重可得方程5x+y＝6y+x，据此列出方程组即可．
【解答】解：设每只鸡平均重x千克，每只鸭平均重y千克，根据6只鸡、7只鸭共重24千克可得方程6x+7y＝24，根据互换其中一只，恰好一样重可得方程5x+y＝6y+x，
∴，
故选：A．
5．【答案】B
【分析】设小长方形的长为x，宽为y，根据图示可以列出方程组，然后解这个方程组即可求出小长方形的长和宽，接着就可以求出图中空白部分的面积．
【解答】解：设小长方形的长为x，宽为y，依题意得：
，
解得：．
故小长方形的长为6，宽为2，
∴S空白部分＝S大长方形﹣6×S小长方形＝12×10﹣6×2×6＝48．
故选：B．
6．【答案】B
【分析】根据题目所给方程可知，设甲带了x钱，乙带了y钱，结合“乙得到甲所有钱的后共有50钱”的条件，分析甲、乙钱数的关系列出对应方程．
【解答】解：根据题意可知，设甲带了x钱，乙带了y钱，
∵乙得到甲所有钱的后共有50钱
∴乙原有的钱数加上甲钱数的等于50，即
∴另一个方程为，
故选：B．
7．【答案】A
【分析】设甲的平均速度是xkm/h，乙的平均速度是ykm/h，根据路程＝速度×时间结合两次运动的情形，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：依题意，得：．
故选：A．
8．【答案】C
【分析】设一个圆锥的质量为x，一个圆柱的质量为y，一个球的质量为z，由图1，图2可得2x+5z＝3y+z，3x+3z＝2x+2y，然后利用含z的代数式表示出x，y，最后将其代入2x+y+2z中计算即可求得答案．
【解答】解：设一个圆锥的质量为x，一个圆柱的质量为y，一个球的质量为z，
由图1得2x+5z＝3y+z，
整理得：2x﹣3y＝﹣4z①，
图2得3x+3z＝2x+2y，
整理得：x﹣2y＝﹣3z②，
①﹣②×2得：y＝2z，
将y＝2z代入②得：x﹣4z＝﹣3z，
则x＝z，
那么2x+y+2z＝2z+2z+2z＝6z，
即n＝6，
故选：C．
二、填空题（共8小题）
9．【答案】．
【分析】设永州款的单价为x元，星城款的单价为y元，根据他们的对话，列出方程组，即可求解．
【解答】解：设永州款的单价为x元，星城款的单价为y元，
，
解得：，
∴永州款的单价为元，
故答案为：．
10．【答案】8．
【分析】根据题意由图形1得（a+b）（a﹣b）＝6，联立方程组，解得，a﹣b＝x﹣y，由方程组得（a﹣b）（x+y）＝8，即可得（x+y）（x﹣y）＝8，从而可得图2阴影部分的面积．
【解答】解：根据题意得图1阴影部分的面积为（a+b）（a﹣b），
∴（a+b）（a﹣b）＝6，
由题意可得：联立方程组得，
解得，a﹣b＝x﹣y，
由方程组得（a﹣b）x＝（b﹣a）y+8，
∴（a﹣b）（x+y）＝8，
∴（x﹣y）（x+y）＝8，
故答案为：8．
11．【答案】﹣2
【分析】先求出已知对角线上3个数的和，然后求y，再求x，最后代入x﹣y计算．
【解答】解：8+2+（﹣4）＝6，
∴y＝6﹣7﹣（﹣4）＝3，x＝6﹣2﹣3＝1，
∴x﹣y＝1﹣3＝﹣2．
故答案为：﹣2
12．【答案】2000．
【分析】设平板电脑原价为x元，哥哥的预算为y元．根据聊天记录，原价比预算多100元，即 x＝y+100；打9折后比预算便宜100元，即0.9x＝y﹣100．解方程组即可求出原价．
【解答】解：设平板电脑原价为x元，哥哥的预算为y元．
根据题意，
解得：
则平板电脑的原价为2000元，
故答案为：2000．
13．【答案】．
【分析】利用路程＝速度×时间，结合顺流及逆流所用时间，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵两地相距300km，一艘船航行于两地之间，其顺流需用15h，
∴15（x+y）＝300；
∵逆流需用20h，
∴20（x﹣y）＝300．
∴根据题意可列出方程组．
故答案为：．
14．【答案】．
【分析】设甲厂每天生产x块光伏板，乙厂每天生产y块光伏板，由题意列出方程组即可．
【解答】解：根据题意可得：
，
故答案为：．
15．【答案】86．
【分析】设这个两位数的个位数字是x，十位数字是y，根据题中等量关系列二元一次方程组求解即可．
【解答】解：设这个两位数的个位数字是x，十位数字是y，
由题意得，
，
解得，
∴原来的两位数为：10y+x＝10×8+6＝86．
故答案为：86．
16．【答案】48．
【分析】设A型机器人的单价是x万元，B型机器人的单价是y万元，根据“购买2台A型机器人和1台B型机器人共需16万元，购买3台A型机器人和2台B型机器人共需26万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的值，再将其代入（4x+6y）中，即可求出结论．
【解答】解：设A型机器人的单价是x万元，B型机器人的单价是y万元，
根据题意得：，
解得：，
∴4x+6y＝4×6+6×4＝48（万元），
∴若该快递公司准备购买4台A型机器人和6台B型机器人，共需要花费48万元．
故答案为：48．
三、解答题（共8小题）
17．【答案】A款植保无人机每小时可为80亩土地进行农药喷洒，B款植保无人机每小时可为100亩土地进行农药喷洒．
【分析】设A款植保无人机每小时可为x亩土地进行农药喷洒，B款植保无人机每小时可为y亩土地进行农药喷洒，根据“3架A款植保无人机和2架B款植保无人机每小时可为440亩土地进行农药喷洒，2架A款植保无人机和3架B款植保无人机每小时可为460亩土地进行农药喷洒”建立二元一次方程组求解，注意解二元一次方程组的方法有加减消元法和代入消元法．
【解答】解：设A款植保无人机每小时可为x亩土地进行农药喷洒，B款植保无人机每小时可为y亩土地进行农药喷洒，
由题意得，，
解得，
即A款植保无人机每小时可为80亩土地进行农药喷洒，B款植保无人机每小时可为100亩土地进行农药喷洒，
答：A款植保无人机每小时可为80亩土地进行农药喷洒，B款植保无人机每小时可为100亩土地进行农药喷洒．
18．【答案】（1）每个笔袋16元，每个笔记本31元；
（2）小明购买笔记本10个．
【分析】（1）根据两种购买方案的总花费，设未知数列出二元一次方程组求解，即可得到笔袋和笔记本的单价；
（2）根据购买数量的关系和售价差的条件，设未知数列出分式方程，检验后即可得到购买笔记本的数量．
【解答】解：（1）设每个笔袋x元，每个笔记本y元．
根据题意列方程组得，
解得，
即每个笔袋 16 元，每个笔记本 31 元，
答：每个笔袋 16 元，每个笔记本 31 元；
（2）设小明购买笔记本m个，则购买笔袋的数量为（1﹣50%）m＝0.5m个．
根据题意可知，笔记本单价为元，笔袋单价为元．
∵每个笔袋比每个笔记本售价少9元，
∴，
整理得，4.5m＝45，
解得m＝10，
检验：当m＝10时，分母不为0，符合题意．
答：小明购买笔记本10个．
19．【答案】该景区起点到终点的路程为3.1km．
【分析】设该景区起点到终点的坡路有xkm，平路有ykm，利用时间＝路程÷速度，结合从起点到终点及从终点返回起点所需时间，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的值，再将其代入（x+y）中，即可求出结论．
【解答】解：设该景区起点到终点的坡路有xkm，平路有ykm，
根据题意得：，
解得：，
∴x+y＝1.5+1.6＝3.1（km）．
答：该景区起点到终点的路程为3.1km．
20．【答案】（1）该车间有男生31人，女生54人；
（2）应该分配25名工人负责生产大齿轮，60名工人负责生产小齿轮．
【分析】（1）设该车间有男生x人，有女生y人，根据该车间有工人85人，其中女生人数比男生人数的2倍少8人，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设应该分配m名工人负责生产大齿轮，则分配（85﹣m）名工人负责生产小齿轮，根据2个大齿轮与3个小齿轮配套，列出一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设该车间有男生x人，有女生y人，
根据题意得：，
解得：，
答：该车间有男生31人，女生54人；
（2）设应该分配m名工人负责生产大齿轮，则分配（85﹣m）名工人负责生产小齿轮，
根据题意得：3×16m＝2×10（85﹣m），
解得：m＝25，
∴85﹣m＝60，
答：应该分配25名工人负责生产大齿轮，60名工人负责生产小齿轮．
21．【答案】10名工人生产螺栓，12名工人生产螺帽．
【分析】设应安排x名工人生产螺栓，则安排（22﹣x）名工人生产螺帽，根据1个螺栓要配2个螺帽，列出方程进行求解即可．
【解答】解：设应安排x名工人生产螺栓，则安排（22﹣x）名工人生产螺帽，由题意，得：
2×1200x＝2000（22﹣x），
解得x＝10，
∴22﹣x＝12；
答：应安排10名工人生产螺栓，12名工人生产螺帽．
22．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题意和表格可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求出a、b的值；
（2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得小王家本月用水量为多少吨．
【解答】解：（1）根据题意可得，
，
解得，，
即a的值是2.2，b的值是4.2；
（2）设小王家6月份用水x吨，
根据题意知，30吨的水费为：17×2.2+13×4.2+30×0.8＝116，
∵184＞116，
∴小王家6月份计划用水超过了30吨
∴6.0（x﹣30）+116+0.80×（x﹣30）＝184，
解得，x＝40
即小王家6月份用水量40吨．
23．【答案】（1）他昨日购进黄瓜10kg，购进西红柿30kg；
（2）今天的西红柿售价应为5.1元．
【分析】（1）设他昨天购进黄瓜xkg，西红柿ykg，利用总价＝单价×数量，结合购进两种蔬菜40kg共花费114元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设今天的西红柿售价应为m元，利用利润＝销售单价×销售数量﹣进货总成本，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设他昨天购进黄瓜xkg，西红柿ykg，
依题意得：，
解得：．
答：他昨日购进黄瓜10kg，购进西红柿30kg；
（2）设今天的西红柿售价应为m元，
依题意得：3×（10+10）+4×30+50×（1﹣20%）m﹣114﹣2.4×10﹣3×50＝（114+2.4×10+3×50），
解得：m＝5.1．
答：今天的西红柿售价应为5.1元．
24．【答案】（1）每袋五香味牛肉干和香辣味牛肉干的售价分别是45元、50元；
（2）每袋五香味牛肉干的售价为50元．
【分析】（1）设每袋五香味牛肉干售价x元，每袋香辣味牛肉干售价y元，根据题意列出二元一次方程组求解即可；
（2）设每袋五香味牛肉干售价为a元，则每袋香辣味牛肉干为1.2a元，根据题意列出分式方程求解即可．
【解答】解：（1）设每袋五香味牛肉干售价x元，每袋香辣味牛肉干售价y元，
由题意得：，
解得，
答：每袋五香味牛肉干和香辣味牛肉干的售价分别是45元、50元．
（2）设每袋五香味牛肉干售价为a元，根据题意得：
，
解得：a＝50，
经检验，a＝50符合题意．
答：每袋五香味牛肉干的售价为50元．

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