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10.4 三元一次方程组的解法
一、选择题（共8小题）
1．（2025春 沈丘县期末）方程组的解是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025秋 冷水江市期末）已知，则x+y+z的值为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．（2025秋 鲁山县期末）方程组的解x、y的值互为相反数，则k的值为（　　）
A．0 B．2 C．4 D．6
4．（2025春 黄山期中）利用两块相同的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按如图1所示的方式放置，再交换两木块的位置，按如图2所示的方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（　　）
A．73cm B．74cm C．75cm D．76cm
5．（2025春 昆明校级期中）在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝0；当x＝2时，y＝3；求a，b，c的值为（　　）
A．a＝﹣2，b＝3，c＝﹣5 B．a＝3，b＝﹣2，c＝﹣5
C．a＝﹣5，b＝﹣2，c＝3 D．a＝﹣5，b＝3，c＝﹣2
6．（2025 江油市开学）有甲、乙、丙三种商品，如果购甲3件，乙2件，丙1件共需420元钱，购甲1件，乙2件，丙3件共需380元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需（　　）
A．200元 B．300元 C．350元 D．400元
7．（2025春 樊城区校级月考）若点P（x，y）满足方程组，则点P在第（　　）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
8．（2025 盐亭县开学）一种饮料大小包装有3种，1个中瓶比2个小瓶便宜2角，1个大瓶比1个中瓶加1个小瓶贵4角，大、中、小各买1瓶，需9元6角．3种包装的饮料每瓶各多少元（　　）
A．1个大瓶3元，1个中瓶2元，1个小瓶1元
B．1个大瓶5元，1个中瓶4元，1个小瓶3元
C．1个大瓶5元，1个中瓶3元，1个小瓶1.6元
D．1个大瓶4元，1个中瓶3.5元，1个小瓶2.6元
二、填空题（共8小题）
9．（2024秋 大祥区期末）方程组的解为　 　 ．
10．（2025秋 海淀区校级期末）中关村中学科技节初一年级的92名同学参加“中国古代科技展”、“音乐互动体验活动”、“速算巧想、巧板奇思数学挑战赛”三项体验活动．其中有48人参加了“中国古代科技展”，40人参加了“数学挑战赛”，参加“音乐互动体验活动”的人数是同时参加“中国古代科技展”和“音乐互动体验活动”人数的3.5倍，又是三项活动都参加人数的7倍，同时参加“数学挑战赛”和“音乐互动体验活动”的人数相当于三项都参加人数的2倍，同时参加“中国古代科技展”和“数学挑战赛”的人数有20人，那么参加“音乐互动体验活动”的学生有　 　 人．
11．（2025春 宁波月考）购买铅笔7支，作业本6个，中性笔4支共需33元；购买铅笔5支，作业本5个，中性笔3支共需26元；则购买铅笔2支，作业本1个，中性笔1支共需 　 　 元．
12．（2024秋 娄底校级期末）若三元一次方程组的解使ax+2y﹣z＝0，则a的值是　 　 ．
13．（2025秋 哈尔滨校级期中）某一鱼缸内有黑色、黄色、红色三种金鱼一共62条，其中黑色的数量、黄色的数量和红色的数量的比为9：10：12．则黑色的金鱼有　 　 条．
14．（2024秋 荔城区校级期末）若（m+2）x+y|m+1|+z＝4是关于x，y，z的三元一次方程，则m＝　 　 ．
15．（2025春 武威校级期末）秋季泡脚，睡前养生，9月份某商场从工厂进货了中药包、精油球和足浴液这三种类型的泡脚材料，数量之比为5：4：2，中药包与精油球单价之比为1：3，足浴液的单价是精油球的2倍，由于天气骤冷，足浴液销售火爆，10月份工厂对这三种泡脚材料的价格进行了调整，该商场也相应调整了进货量，相较于9月，商场采购中药包增加的费用占10月所有泡脚材料采购费用的且10月采购中药包与精油球的总费用之比为3：7，采购精油球、足浴液增加的费用之比为15：29，则精油球9月份与10月份的采购总费用之比为 　 　 ．
16．（2025春 洛江区期中）用高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵表示关于x，y，z的三元一次方程组，若5x+2y﹣z为定值，则t与m的关系为 　 　 ．
三、解答题（共8小题）
17．（2025春 崇明区期末）解方程组：．
18．（2024秋 奉贤区期末）解方程组：．
19．（2025春 闵行区校级月考）解方程组：．
20．（2025春 桂阳县月考）解方程组：
21．（2025春 夹江县期末）在一堂数学课上，刘老师布置了这样一道题目：已知方程组，求2x+2y+2z的值．针对此问题，乐乐同学认为可以用“整体思想”和“消元、转化”方法求解：用②﹣①得到x+3y＝4③，因为问题是求解2x+2y+2z整体的值，因此可以在原方程组中“分离”出x+y+z即可，即，接下来采用“代入消元法”或者“加减消元法”均可解决该问题了．
（1）请你替乐乐同学完成接下来的步骤，求解出2x+2y+2z的值；
（2）请你用上述思想方法求解问题：已知，求x﹣y+z的值．
22．（2025秋 闻喜县月考）数学活动课上，老师让大家解方程组
小明上台展示了自己的思路：“我观察后发现方程①的左边是x+y，而方程②的括号里也是x+y，于是我想到可以把x+y视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的”．
（1）请你按照小明的思路，完成解方程组的过程．
（2）请你仿照上述方法，解方程组
（3）已知，则x2+6y2＝　 　 ．
23．（2025春 南岗区校级月考）在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝1时，y＝4；当x＝﹣1时，y＝20；当x＝2与x＝6时，y的值相等，求a，b，c的值．
24．（2025春 闵行区校级期末）【学习材料】
在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易．
例如：已知，求2x+y+z的值．
解：②﹣①得，4x+2y+2z＝6③
③得，2x+y+z＝3
所以，2x+y+z的值为3．
【类似迁移】
（1）已知，求3x+4y+5z的值．
【实际应用】
（2）学校运动会即将到来，六（2）班学生准备购买若干啦啦队道具积极准备入场表演，根据商店的价格，若购买3条彩带、2个头饰、1面小红旗需要28元；若购买7条彩带、5个头饰、3面小红旗需要66元；六（2）班共45位同学，则购买45条彩带、45个头饰、45面小红旗需要多少元？
一、选择题（共8小题）
1．【答案】C
【分析】由③﹣①可得y＝﹣5，再把y＝﹣5代入②可得z＝﹣11，然后把z＝﹣11代入①，即可求解．
【解答】解：，
根据消元法可知由方程③﹣方程①得y＝﹣5，
把y＝﹣5代入②得z﹣2×（﹣5）＝﹣1，
解得z＝﹣11，
把z＝﹣11代入①得x﹣（﹣11）＝4，
解得x＝﹣7，
∴．
故选：C．
2．【答案】B
【分析】利用整体思想，把三个方程相加，得2（x+y+z）＝2+3+7＝12，解得x+y+z＝6，解答即可．
【解答】解：三个方程相加得2（x+y+z）＝12，
解得x+y+z＝6．
故选：B．
3．【答案】B
【分析】解关于x、y的方程组，x，y即可用k表示出来，再根据x、y的值互为相反数，即可得到关于k的方程，从而求得k的值．
【解答】解：解方程组得：
根据题意得：（2k﹣6）+（4﹣k）＝0
解得：k＝2
故选：B．
4．【答案】C
【分析】设长方体长xcm，宽ycm，桌子的高为acm，由图象建立方程组求出其解就可以得出结论．
【解答】解：设长方体长xcm，宽ycm，桌子的高为acm，
由题意列三元一次方程组得，
，
解得a＝75，
即桌子的高为75cm．
故选：C．
5．【答案】B
【分析】根据题意，列出方程组进行求解即可．
【解答】解：∵当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝0；当x＝2时，y＝3；
∴，
解得：；
故选：B．
6．【答案】A
【分析】设购甲、乙、丙三种商品各一件，分别需要x元、y元、z元，然后根据需要的钱数可得两个三元一次方程；然后将两个三元一次方程相加，不难得出购甲、乙、丙三种商品各一件需要的钱数．
【解答】解：设购甲、乙、丙三种商品各一件，分别需要x元、y元、z元，
根据题意有：，
把这两个方程相加得：
4x+4y+4z＝800，
4（x+y+z）＝800，
∴x+y+z＝200，
∴三种商品各一件共需200元钱．
故选：A．
7．【答案】B
【分析】利用加减消元法解方程组，然后根据各象限内的点的坐标特征即可求得答案．
【解答】解：，
①﹣②得：y﹣z＝7④，
③+④得：2y＝12，
解得：y＝6，
将y＝6代入①得：x+6＝3，
解得：x＝﹣3，
则P（﹣3，6）在第二象限，
故选：B．
8．【答案】C
【分析】根据题意可得，1个中瓶＝2个小瓶﹣0.2，1个大瓶＝1个中瓶+1个小瓶+0.4，1个大瓶+1个中瓶+1个小瓶＝9.6；设大、中、小瓶包装的饮料分别为x、y、z元，根据上述等量关系列出三元一次方程组，然后求解即可．
【解答】解：设大、中、小瓶包装的饮料每瓶分别为x、y、z元．根据题意得
解得
答：小瓶饮料每瓶1.6元，则中瓶饮料每瓶3元，大瓶饮料每瓶5元．
故选：C．
二、填空题（共8小题）
9．【答案】
【分析】先整理出x＝﹣3+z，再代入③，得出z＝4，再把z＝4代入②，得出y＝9，则把y＝9代入①解出x＝1，即可作答．
【解答】解：，
由①﹣②得出x﹣z＝﹣3，整理得x＝﹣3+z
把x＝﹣3+z代入③，得出﹣3+z+z＝5
解得z＝4
把z＝4代入②，得出y＝9
把y＝9代入①，得出x＝1
∴方程组的解为．
故答案为：．
10．【答案】42．
【分析】依据题意，设三项活动都参加的有x人，同时参加“中国古代科技展”和“音乐互动体验活动”的有y人，参加“音乐互动体验活动”的有z人，则，进而计算可以得解．
【解答】解：由题意，设三项活动都参加的有x人，同时参加“中国古代科技展”和“音乐互动体验活动”的有y人，参加“音乐互动体验活动”的有z人，
∴．
∴．
答：参加“音乐互动体验活动”的学生有42人．
故答案为：42．
11．【答案】7．
【分析】首先假设铅笔的单价是x元，作业本的单价是y元，中性笔的单价是z元．购买铅笔2支，作业本1本，中性笔1支共需a元．根据题目说明列出方程组，解方程组求出a的值，即为所求结果．
【解答】解：设铅笔的单价是x元，作业本的单价是y元，中性笔的单价是z元．购买铅笔2支，作业本1本，中性笔1支共需a元．
则由题意得：
，
由①﹣②得2x+y+z＝7，
于是：a＝7，
故答案为：7．
12．【答案】．
【分析】先将三元一次方程组解得，代入ax+2y﹣z＝0即可求得a的值．
【解答】解：，
①﹣②得y﹣x＝6④，
③+④得2y＝4，解得y＝2，
把y＝2代入④得，z＝﹣4，
把y＝2代入①得：x＝3，
∴，
把解代入ax+2y﹣z＝0得3a+2×2﹣（﹣4）＝0，
解得：，
故答案为：．
13．【答案】18．
【分析】根据黑色、黄色和红色金鱼的数量比为9：10：12，先计算总份数，再求出每份对应的金鱼数，最后乘以黑色金鱼所占的份数即可得到答案．
【解答】解：总份数为9+10+12＝31份，总金鱼数为62条，因此每份对应62÷31＝2条；
所以黑色金鱼占9份，故黑色金鱼有9×2＝18条，
故答案为：18．
14．【答案】0
【分析】由于（m+2）x+y|m+1|+z＝4是三元一次方程，可知指数为1，各未知数系数不为0．
【解答】解：∵（m+2）x+y|m+1|+z＝4是关于x，y，z的三元一次方程，
可得：m+2≠0，|m+1|＝1，
所以解得：m＝0，
故答案为：0
15．【答案】2：7．
【分析】设中药包的单价为x，则精油球单价是3x，足浴液的单价是6x，设9月份中药包、精油球和足浴液数量分别为5y，4y，2y，设10月采购中药包与精油球的总费用分别为3z，根据采购精油球、足浴液增加的费用之比为15：29列式，即可得到答案．
【解答】解：设中药包的单价为x，则精油球单价是3x，足浴液的单价是6x，设9月份中药包、精油球和足浴液数量分别为5y，4y，2y，设10月采购中药包与精油球的总费用分别为3z，7z，由题意可得，10月中药包采购费增加：3z﹣5xy，10月份所有泡脚材料采购费用为：，
∴10月份采购足浴液费用为：30z﹣50xy﹣7z﹣3z＝20z﹣50xy，
∵采购精油球、足浴液增加的费用之比为15：29，
∴（7z﹣12xy）：（20z﹣50xy﹣12xy）＝15：29，
∴z＝6xy，
∴精油球9月份与10月份的采购总费用之比为：12xy：7z＝2：7，
故答案为：2：7．
16．【答案】3t+m＝﹣1．
【分析】根据矩阵定义列方程组可解答．
【解答】解：由题意得：，
①×3+②得：5x+2y+3tz+mz＝11，
∵5x+2y﹣z为定值，
∴3t+m＝﹣1．
故答案为：3t+m＝﹣1．
三、解答题（共8小题）
17．【答案】．
【分析】方程组前两个方程相加消去y得到x与z的方程，与第三个方程联立求出x与z的值，进而求出y的值即可．
【解答】解：①+②得：9x﹣2z＝20④，
④﹣③得：8x＝16，
解得：x＝2，
把x＝2代入③得：2﹣2z＝4，
解得：z＝﹣1，
把x＝2，z＝﹣2代入②得：10﹣y﹣1＝7，
解得：y＝2，
则方程组的解为．
18．【答案】a＝﹣2，b＝4，c＝6．
【分析】解题思路是通过消元法，先消去一个未知数，将三元方程组转化为二元方程组，再进一步求解．
【解答】解：，
①﹣②：
（4a+2b+c）﹣（a﹣b+c）＝6﹣0，
3a+3b＝6，
a+b＝2④，
③﹣②得
（9a+3b+c）﹣（a﹣b+c）＝0﹣0，
8a+4b＝0，
2a+b＝0⑤，
⑤﹣④得：（2a+b）﹣（a+b）＝0﹣2
∴解得a＝﹣2，
把a＝﹣2代入④，
﹣2+b＝2，
∴b＝4，
把a＝﹣2，b＝4代入②，
﹣2﹣4+c＝0，
∴c＝6，
∴a＝﹣2，b＝4，c＝6．
19．【答案】．
【分析】利用代入消元法解方程组即可．
【解答】解：，
将③代入①得：x﹣y+3﹣3y＝﹣2，
整理得：x﹣4y＝﹣5④，
将③代入②得：3x+2y﹣3+3y＝0，
整理得：3x+5y＝3⑤，
⑤﹣④×3得：17y＝18，
解得：y，
将y代入④得：x5，
解得：x，
将y代入③得：z＝3，
故原方程组的解集为．
20．【答案】．
【分析】①+②得出5x+2y＝16④，③+②得出3x+4y＝18⑤，由④和⑤组成一个二元一次方程组，求出x、y的值，再求出z即可．
【解答】解：，
①+②，得5x+2y＝16④，
③+②，得3x+4y＝18⑤，
由④和⑤组成一个二元一次方程组，
解得：，
把代入①，得6﹣3+z＝4，
解得：z＝1，
所以原方程组的解是．
21．【答案】（1）40；
（2）1．
【分析】（1）根据“整体思想”和“消元、转化”方法求解即可；
（2）根据“整体思想”和“消元、转化”方法求解即可．
【解答】解：（1），
②﹣①得，x+3y＝4③，
将原方程变形成：
，
将③代入④，得8+（x+y+z）＝28，
即x+y+z＝20，
∴2x+2y+2z
＝2（x+y+z）
＝40；
（2），
①+②得：x+2z＝4③，
将原方程变形成：
，
将③代入④，得12+（x﹣y+z）＝13，
即x﹣y+z＝1．
22．【答案】（1）；
（2）；
（3）27．
【分析】（1）将x+y＝4整体代入②式进行消元解方程组即可；
（2）将①整体代入③即可求得c，然后即可求解其他未知数；
（3）由第一个方程得，然后整体代入第二个方程即可求解．
【解答】解：（1），
将①代入②得：5x﹣3×4＝3，
解得：x＝3，
将x＝3代入①得：y＝1，
故原方程组的解为；
（2）将①代入③得：6﹣c＝1，
解得c＝5，
将c＝5代入②得：2a+3×5＝19，
解得a＝2，
将a＝2代入①得：2+b＝6，
解得b＝4，
故原方程组的解为；
（3），
由①得，
把③代入②得，
8x2﹣3（3x2+4y2﹣15）+6y2＝18，
8x2﹣9x2﹣12y2+45+6y2＝18，
整理得x2+6y2＝27，
故答案为：27．
23．【答案】a＝1，b＝﹣8，c＝11．
【分析】将x，y对应值代入y＝ax2+bx+c，可得三个三元一次方程构成的方程组，通过消元即可求解．
【解答】解：∵当x＝1时，y＝4；当x＝﹣1时，y＝20；当x＝2与x＝6时，y的值相等，
∴，
①﹣②得：2b＝﹣16，
解得：b＝﹣8，
把b＝﹣8代入③得，4a﹣16+c＝36a﹣48+c，
解得：a＝1，
把b＝﹣8，a＝1代入①得：1﹣8+c＝4，
解得：c＝11，
∴a＝1，b＝﹣8，c＝11．
24．【答案】（1）18；
（2）450元．
【分析】（1）将两个方程相加后再两边同时除以2即可；
（2）设买一条彩带需要x元，一个头饰需要y元，一面红旗需要z元，根据题意列得方程组为，然后根据②﹣①×2求得x+y+z的值后再两边同时乘以45即可．
【解答】解：（1）①+②得：6x+8y+10z＝36，
两边同时除以2得：3x+4y+5z＝18，
即3x+4y+5z的值为18；
（2）设买一条彩带需要x元，一个头饰需要y元，一面红旗需要z元，
由题可得，
②﹣①×2：x+y+z＝10，
两边同时乘以45得：45x+45y+45z＝450，
即购买45条彩带、45个头饰、45面小红旗需要450元．

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