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11.3 一元一次不等式组
一、选择题（共10小题）
1．（2026 松山区校级模拟）把不等式组中每个不等式的解集在同一个数轴上表示出来，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2026 山西模拟）不等式组的解集是（　　）
A． B． C．x＞﹣3 D．
3．（2026春 罗湖区校级期中）深圳中学组织某次“每周半天计划”活动，学生需完成参观博物馆和参加讲座两项内容．其中讲座时间比参观时间的2倍少10分钟．已知参观时间需超过30分钟，讲座时间不少于60分钟．设参观时间为x分钟，则讲座时间为（2x﹣10）分钟，则下列不等式组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2026春 临泉县月考）若关于x的不等式组，恰有3个整数解，则字母a的取值范围是（　　）
A．a≤﹣1 B．﹣1≤a＜0 C．a＜﹣1 D．﹣1＜a≤0
5．（2026春 临泉县月考）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
6．（2026春 市南区校级期中）定义一种运算：a#b＝b﹣a（a≥b），现有两个满足该运算条件的式子：a＝2x﹣1和b＝1﹣x，则不等式（2x﹣1）#（1﹣x）＞﹣1的解集是（　　）
A． B．x＞1 C． D．
7．（2025秋 玉环市期末）定义：符号T（a，b，c，d）＝ad﹣bc，例如：T（1，2，3，4）＝1×4﹣3×2＝﹣2，若关于m的不等式组，恰好有4个整数解，则k的取值范围为（　　）
A．6＜k＜13 B．6＜k≤13 C．6≤k＜13 D．6≤k≤13
8．（2026春 西湖区校级月考）已知点A（a﹣2，a）在第二象限，则a的取值范围是（　　）
A．a＜﹣3或a＞2 B．﹣3＜a＜2 C．0＜a＜2 D．a＞﹣3
9．（2026春 临海市月考）关于x的不等式组的解集为x＜﹣6，那么a的取值范围为（　　）
A．a＝2 B．a≥﹣6 C．a＜2 D．a＞﹣6
10．（2026春 滕州市校级月考）已知关于x的不等式组的整数解有且仅有4个：﹣1，0，1，2，那么适合这个不等式组的所有可能的整数对（a，b）的个数有（　　）
A．1 B．2 C．4 D．6
二、填空题（共7小题）
11．（2026春 深圳期中）若关于x的不等式组有实数解，则a的取值范围　 　 ．
12．（2026 宿迁校级模拟）不等式组的整数解之和为　 　 ．
13．（2026 徐汇区二模）不等式的解集是　 　 ．
14．（2026春 金山区期中）若点A（3﹣x，x﹣5）在平面直角坐标系的第二象限内，则x的取值范围是　 　 ．
15．（2026春 西城区校级期中）已知关于x，y的方程组，其中﹣3≤a＜1，给出下列说法：①当a＝﹣2时，x、y的值互为相反数；②是方程组的解；③方程组的解也是方程x+y＝a+2的解；④若x＜0，则．其中说法正确的有　 　 ．
16．（2026春 黄浦区期中）若不等式组无解，则a的取值范围是　 　 ．
17．（2025 项城市三模）“绿波”，是车辆到达前方各路口时，均遇上绿灯，提高通行效率．小亮爸爸行驶在最高限速80km/h的路段上，某时刻的导航界面如图所示，前方第一个路口显示绿灯倒计时32s，第二个路口显示红灯倒计时44s，此时车辆分别距离两个路口480m和880m．已知第一个路口红、绿灯设定时间分别是30s、50s，第二个路口红、绿灯设定时间分别是45s、60s．若不考虑其他因素，小亮爸爸以不低于40km/h的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），则车速v（km/h）的取值范围是　 　 ．
三、解答题（共7小题）
18．（2026 朝阳区校级模拟）解不等式组：．
19．（2026 济南模拟）解不等式组：，并写出它所有的正整数解．
20．（2026 滨海新区一模）解不等式组．
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得　 　 ；
（Ⅱ）解不等式②，得　 　 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为　 　 ．
21．（2026 温江区模拟）2026年都江堰放水节（国家级非物质文化遗产）盛大启幕，活动联动成都春假，引爆文旅消费热潮．某景区专营店售卖放水节纪念徽章和李冰治水主题书签两种文创产品，在传播传统文化的同时实现良好经营收益．已知购进2枚纪念徽章和3套主题书签，总进价为130元；购进4枚纪念徽章和1套主题书签，总进价为150元．
（1）求每枚纪念徽章、每套主题书签的进价；
（2）该店计划购进两种文创产品共50件，其中主题书签的数量不超过纪念徽章数量的2倍，且购进两种产品的总进价不超过1400元．求符合条件的进货方案共有多少种？并求出最小总进价及对应的进货方案．
22．（2026春 五华县期中）已知在关于x，y的二元一次方程组中，x为非负数，y为负数．
（1）求m的取值范围．
（2）在（1）的条件下，若不等式（2m+1）x﹣2m＜1的解集为x＞1，则整数m的值是多少？
23．（2026春 锦江区校级月考）据相关报道，2026年成都国际工业博览会在西部国际博览城举行，组委会计划搭建A，B两类特色展位，展示工业自动化与机器人主题．
（1）若搭建2个A类展位和3个B类展位，共需搭建费用1800元；搭建4个A类展位和1个B类展位，共需搭建费用1600元．求A类展位和B类展位的搭建费用单价各是多少？
（2）组委会计划搭建A，B两类展位共80个，其中A类展位的数量不少于B类展位数量的2倍．若总搭建预算资金不超过30000元，求组委会至少要搭建多少个A类展位？
24．（2026春 锦江区校级月考）小王周末参与2025年四川足球超级联赛（简称“川超”）的赛事文创推广社会实践活动，负责筹备川超主题周边产品，已知4个纪念徽章的成本与5个吉祥摆件的成本相同；采购3个纪念徽章和10个吉祥摆件成本总共需要220元．
（1）求每个纪念徽章和每个吉祥摆件的成本；
（2）若小王计划用不超过1800元购进这两种产品共100个，购进的吉祥摆件数量不多于纪念徽章数量的2倍，那么小王有多少种采购方案？请帮他算一算．
一、选择题（共10小题）
1．【答案】D
分别求出每个不等式的解集，把每个解集在数轴上表示出来即可判断．
【解答】解：解不等式x﹣3≥﹣1得：x≥2；
解不等式﹣x﹣3＜﹣2得：x＞﹣1；
把这两个解集在数轴上表示出来为：
故选：D．
2．【答案】B
先分别求解不等式组中每个一元一次不等式的解集，再取两个解集的公共部分，利用“同大取大”的规则即可得到结果．
【解答】解：解不等式2x+6＞0，得x＞﹣3，
解不等式3x＜8，得，
故不等式组的解集是．
故选：B．
3．【答案】B
根据题意和题目中的数据，可以列出相应的不等式组．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：B．
4．【答案】B
先得到不等式组的解集，再根据整数解个数确定具体的整数解，最后结合边界确定a的范围，注意端点值的取舍．
【解答】解：∵不等式组恰有3个整数解，
∴不等式组的解集为a＜x＜3，这3个整数解为2，1，0，
∴﹣1≤a＜0．
故选：B．
5．【答案】D
分别计算出两个不等式的解集，画出数轴即可．
【解答】解：由3x＜5x+4得：x＞﹣2，
由x﹣3（x﹣2）≤8得：x≥﹣1，
解集在数轴上表示为：，
∴不等式的解集为：x≥﹣1．
故选：D．
6．【答案】D
根据新运算的定义可得，解不等式组即可得．
【解答】解：∵a#b＝b﹣a（a≥b），不等式（2x﹣1）#（1﹣x）＞﹣1，
∴，
解不等式①得：，
解不等式②得：x＜1，
则不等式组的解集是．
故答案为：D．
7．【答案】B
根据新定义得到，求出不等式组的解集，再由不等式组恰好有4个整数解进行求解即可．
【解答】解：根据题意得：，
由①得：m≥﹣1，
由②得：m，
∵关于m的不等式组，恰好有4个整数解，
∴2，
∴6＜k≤13，
故选：B．
8．【答案】C
根据第二象限内点的横坐标小于零，纵坐标大于零，可得不等式组，然后求解即可．
【解答】解：∵点A（a﹣2，a）在第二象限，
∴，
解得0＜a＜2，
即a的取值范围为0＜a＜2，故选项C符合题意，
故选：C．
9．【答案】B
本题考查了解一元一次不等式组，关键是熟悉不等式组解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．先解不等式3x﹣2＞4（x+1）得到x＜﹣6，再根据x＜﹣6，由不等式组解集的规律即可得解．
【解答】解：解不等式3x﹣2＞4（x+1）得到x＜﹣6，
∵不等式组的解集为x＜﹣6，
∴a≥﹣6．
故选：B．
10．【答案】D
先解关于x的不等式组的解集，再根据其整数解确定a，b的值．
【解答】解：，
由①解得：x，
由②解得：，
∵不等式组的整数解有且仅有4个：﹣1，0，1，2，故，
则﹣21，b＝5或6时符合题意．
故a＝﹣3或﹣4或﹣5，b＝5或者b＝6时符合题意．
因此整数对（a，b）有6个，
故选：D．
二、填空题（共7小题）
11．【答案】a＞﹣3．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：由2x﹣a＜0，得：x，
由，得：x，
∵不等式组有实数解，
∴，
解得a＞﹣3，
故答案为：a＞﹣3．
12．【答案】0．
先分别求解不等式组中两个一元一次不等式，得到不等式组的解集，再找出解集范围内的整数解，计算整数解的和即可．
【解答】解：解不等式2x﹣3≤0得：，
解不等式x+2＞0得：x＞﹣2，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的整数解为﹣1，0，1，
∴整数解之和为﹣1+0+1＝0．
故答案为：0．
13．【答案】x≤1．
先分别解出两个一元一次不等式，再取它们的公共部分，即为不等式组的解集．
【解答】解：，
解不等式①得，x，
解不等式②得，x≤1，
∴不等式组的解集是：x≤1，
故答案为：x≤1．
14．【答案】x＞5．
根据解一元一次不等式组解答即可．
【解答】解：由点A在第二象限可知：
，
解得：x＞5．
故答案为：x＞5．
15．【答案】①③④．
先解二元一次方程组，得到用含a的代数式表示的x和y，再逐个代入验证四个说法，结合a的取值范围判断正误即可．
【解答】解：，
①﹣②解得：y＝1﹣a，
将y＝1﹣a代入②得：x＝1+2a，
因此方程组的解为，其中﹣3≤a＜1．
①当a＝﹣2时，x＝1+2×（﹣2）＝﹣3，y＝1﹣（﹣2）＝3，
x+y＝0，则x，y互为相反数，故①正确，符合题意；
②将代入解，得1+2a＝5，1﹣a＝﹣1，
解得：a＝2，不满足﹣3≤a＜1，故②错误，不符合题意；
③∵，
∴x+y＝a+2，
故方程组的解也是方程x+y＝a+2的解；故③正确，符合题意；
④若x＜0，则1+2a＜0，解得，
结合﹣3≤a＜1，得，
不等式两边同乘﹣1，不等号方向改变，得，
不等式两边同时加1，得，即，故④正确，符合题意；
故答案为：①③④．
16．【答案】a≥﹣1．
根据解一元一次不等式组的步骤进行求解即可．
【解答】解：由题知，
因为不等式组无解，
所以2﹣a≤3，
解得a≥﹣1．
故答案为：a≥﹣1．
17．【答案】54≤v≤72．
利用路程＝速度×时间，结合小亮爸爸以不低于40km/h的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），可列出关于v的一元一次不等式组，解之即可得出车速v（km/h）的取值范围．
【解答】解：vkm．
根据题意得：，
解得：54≤v≤72，
故答案为：54≤v≤72．
三、解答题（共7小题）
18．【答案】﹣4≤x＜1．
分别求解两个一元一次不等式，再求出其公共解集即可．
【解答】解：，
解不等式①得x≥﹣4；
解不等式②得x＜1；
故不等式组的解集为﹣4≤x＜1．
19．【答案】，不等式组的正整数解为1，2．
根据解一元一次不等式组的步骤进行求解，并写出正整数解即可．
【解答】解：解不等式①得，x≤2，
解不等式②得，x，
所以不等式组的解集为，
则不等式组的正整数解为1，2．
20．【答案】（Ⅰ）x＞﹣4；
（Ⅱ）x≤1；
（Ⅲ）；
（Ⅳ）﹣4＜x≤1．
本题需先分别解两个一元一次不等式，再取它们解集的公共部分，即为不等式组的解集．
【解答】解：（Ⅰ）解不等式①2x+1＞x﹣3，
移项得：2x﹣x＞﹣3﹣1，
合并同类项得：x＞﹣4，
故答案为：x＞﹣4；
（Ⅱ）解不等式②：x≤2x，
两边同乘2去分母得：5x≤4x+1，
移项得：5x﹣4x≤1，
合并同类项得：x≤1，
故答案为：x≤1；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示如图所示：
；
（Ⅳ）原不等式组的解集为：﹣4＜x≤1．
故答案为：﹣4＜x≤1．
21．【答案】（1）每枚纪念徽章进价32元，每套主题书签进价22元；
（2）共14种进货方案；购进纪念徽章17件、主题书签33件时，总进价最小，最小总进价1270元．
（1）设两种文创进价为未知数，根据两组购进数量与总进价列二元一次方程组，求解得单价；
（2）设徽章数量为m，根据数量关系、总进价限制列不等式组，求整数解，再利用一次函数求最小总进价．
【解答】解：（1）设每枚纪念徽章进价x元，每套主题书签进价y元，
根据题意列方程组：，
解得：，
答：每枚纪念徽章进价32元，每套主题书签进价22元；
（2）设购进纪念徽章m件，则主题书签（50﹣m）件，
根据题意列不等式组：，
解得：m≤30，
m为正整数，
所以m＝17，18，19，……，30共14种进货方案，
总进价：W＝32m+22（50﹣m）＝10m+1100，
W随m增大而增大，所以m取最小值17时，总进价最小，
进货方案：纪念徽章17件，主题书签50﹣17＝33件，
最小总进价：W＝10×17+1100＝1270元．
共14种进货方案；购进纪念徽章17件、主题书签33件时，总进价最小，最小总进价1270元．
22．【答案】（1）；
（2）整数m的值是﹣1．
（1）先解二元一次方程组得到用m表示的x，y，再根据x为非负数，y为负数列出不等式组，求解得到m的取值范围；
（2）整理不等式后，根据解集x＞1判断x系数的符号，得到m的新范围，结合（1）的范围即可求出整数m．
【解答】解：（1），
①+②，得2x＝18﹣4m，
解得x＝9﹣2m；
②﹣①，得2y＝﹣4﹣2m，
解得y＝﹣2﹣m．
∵x为非负数，y为负数，
∴，
解第一个不等式，得；
解第二个不等式，得m＞﹣2．
因此m的取值范围是；
（2）整理不等式（2m+1）x﹣2m＜1得（2m+1）x＜2m+1，
∵不等式（2m+1）x﹣2m＜1的解集为x＞1，
∴2m+1＜0，
∴，
结合（1）中，可得．
∴整数m的值为﹣1．
23．【答案】（1）A类展位的搭建费用单价是300元，B类展位的搭建费用单价是400元；
（2）组委会至少要搭建54个A类展位．
（1）设A类展位的搭建费用单价是x元，B类展位的搭建费用单价是y元，根据“搭建2个A类展位和3个B类展位，共需搭建费用1800元；搭建4个A类展位和1个B类展位，共需搭建费用1600元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设组委会搭建m个A类展位，则搭建（80﹣m）个B类展位，根据“搭建A类展位的数量不少于B类展位数量的2倍，且总搭建预算资金不超过30000元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设A类展位的搭建费用单价是x元，B类展位的搭建费用单价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：A类展位的搭建费用单价是300元，B类展位的搭建费用单价是400元；
（2）设组委会搭建m个A类展位，则搭建（80﹣m）个B类展位，
根据题意得：，
解得：m，
又∵m为正整数，
∴m的最小值为54．
答：组委会至少要搭建54个A类展位．
24．【答案】（1）每个纪念徽章成本为20元，每个吉祥摆件成本为16元；
（2）共有17种采购方案．
（1）根据题干给出的两个等量关系，设未知数列二元一次方程组求解得到两种产品的成本；
（2）根据总费用不超过1800元，吉祥摆件数量不超过纪念徽章数量2倍两个限制条件，列一元一次不等式组，求出符合条件的正整数解的个数，即可得到采购方案的数量．
【解答】解：（1）设每个纪念徽章成本为x元，每个吉祥摆件成本为y元，
，
解得，
答：每个纪念徽章成本为20元，每个吉祥摆件成本为16元；
（2）设购进纪念徽章m个，则购进吉祥摆件（100﹣m）个，m为正整数，
根据题意可得，
解得，
因为m为正整数，所以m的取值为34，35，...，50，
m的可取值个数为50﹣34+1＝17，
答：若小王计划用不超过1800元购进这两种产品共100个，购进的吉祥摆件数量不多于纪念徽章数量的2倍，那么小王共有17种采购方案．

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