资源简介

10.4 三元一次方程组的解法
一、选择题（共10小题）
1．（2026 唐山一模）有三种不同重量的物体“”“”“”，若图1中左、右手中盘内物体的重量相同，则图2中左、右盘内物体的重量（　　）
A．左盘内物体重
B．右盘内物体重
C．左右盘内物体重量相同
D．左盘内物体重量是右盘内物体重量的1.5倍
2．（2025秋 蛟河市期末）春节来临之际，某花店老板购进大量的康乃馨、百合、玫瑰，打算采用三种不同方式搭配成花束，分别取名为“眷恋”、“永恒”、“守候”．三种花束的每一束成本分别为a元、b元和c元．已知销售每束“眷恋”的利润率为10%，每束“永恒”的利润率为20%，每束“守候”的利润率为30%，当售出的三种花束数量之比为2：3：4时，老板得到的总利润率为25%；当售出的三种花束数量之比为3：2：1时，老板得到的总利润率为20%，则a：b：c为（　　）
A．1：2：3 B．1：3：4 C．2：3：5 D．3：4：5
3．（2025秋 安徽期末）已知实数a，b，c满足a+b+c＞0，a﹣b+c＝0，b+c﹣a＝0，则下列判断错误的是（　　）
A．a＞0 B．b＞0 C．b＝c D．a＝b
4．（2025春 莱西市期末）如果方程组的解是方程3x﹣5y﹣28＝0的一个解，则a＝（　　）
A．2.1 B．3 C．7 D．6
5．（2025 重庆校级开学）电影票有10元、15元、20元三种票价，班长用500元买了30张电影票，其中票价为20元的比票价为10元的多（　　）张
A．10 B．11 C．12 D．13
6．（2025春 凉山州期末）若实数x，y，z满足，则x+y+6z＝（　　）
A．﹣3 B．0
C．3 D．不能确定值
7．（2025春 西城区校级期末）有三种物体□，Δ，o，相同物体的重量相同，将它们放在天平上称量，结果如图（a）和图（b）所示，那么在图（c）所示的天平中，砝码的重量可能为（　　）
A．2g B．3.5g C．4.5g D．5.5g
8．（2025春 秦淮区期末）甲、乙、丙三种商品，若购买甲3件、乙2件、丙1件，共需270元；购买甲1件、乙2件、丙3件，共需242元，那么购买甲、乙、丙三种商品各一件共需（　　）
A．128元 B．130元 C．150元 D．160元
9．（2025春 重庆期中）已知方程组，则x+y的值为（　　）
A．14 B．2 C．﹣14 D．﹣2
10．（2025春 玄武区校级月考）小明两次购买三种口味奶茶的数量和总价如表．现各买一杯，需要花费的钱数是（　　）
口味 次数 茉莉 桂花 蜜桃 总价
第一次 2杯 3杯 4杯 126元
第二次 4杯 3杯 2杯 120元
A．41元 B．31元 C．40元 D．30元
二、填空题（共6小题）
11．（2026春 海门区期中）已知，则　 　 ．
12．（2025秋 达川区期末）将两块完全相同的长方体木块先按图①的方式放置，再按图②的方式放置，测得的数据如图所示（单位：cm），则桌子的高度h＝　 　 cm．
13．（2025春 龙华区校级期中）如果，则x+y+z的值为　 　 ．
14．（2025春 遂宁期末）在等式y＝ax2+bx+c中，若x＝0，y＝﹣3；若x＝1，y＝0；若x＝﹣1，y＝0；若x＝2，y＝　 　 ．
15．（2025秋 市中区月考）如图是一正方体的展开图，若正方体相对面所表示的数相等，则x＝　 　 ．
16．（2025秋 泉州期中）对于一个三位数m，它的各个数位上的数字非零且互不相等，满足百位上的数字减去个位上的数字的差等于十位上数字的2倍．定义一个新运算，我们把m的百位数字减去个位数字的差加上十位数字的和记为K（m），若K（m）＝9，那么m的值可能是　 　 ．
三、解答题（共8小题）
17．（2025春 宝山区校级期末）解下列方程组：．
18．（2025春 宝山区校级期末）解方程组：．
19．（2026春 萧山区期中）2026年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借可爱的形象“圈粉”无数．某商店销售甲、乙、丙三种型号以马为主题的生肖玩偶，已知购买1只甲型玩偶、2只乙型玩偶和4只丙型玩偶的总价格为360元，购买2只甲型玩偶、3只乙型玩偶和1只丙型玩偶的总价格为310元．
（1）若丙型玩偶的单价为50元，求甲、乙两种型号玩偶的单价各是多少元？
（2）在（1）的条件下，某班级计划用540元全部购买甲、乙两种型号玩偶（两种玩偶都要有）作为班级活动的奖品，请问该班级有几种购买方案？
（3）某班级计划购买12只甲型玩偶、19只乙型玩偶和13只丙型玩偶给班级的44位学生每人一只玩偶，请问该班级共需花费多少元？
20．（2025春 杭州校级期中）2024﹣2025年度中国篮球联赛（CBA）决赛的门票价格如下表：
等级 A B C
票价（元/张） 未知 未知 150
小聪带了2700元购票款前往购票，若购买2张A等票和5张B等票，付款2500元；若购买4张A等票和1张B等票，付款2300元．
（1）求A等票和B等票每张分别为多少元？
（2）若小聪要将2700元的购票款全部用于购买这三种门票，并且每种门票至少一张，请写出购买方案．
21．（2025春 天心区校级月考）有三张扑克牌，牌上写有互不相同的数字（即0，1，2，3，...，9中的三个数字），把三张牌洗好后，分别发给甲、乙、丙三人，每人记下自己牌上的数字，再重新洗牌、发牌、计数，如此反复三次后，三人各自记录自己的数字和分别是13，15，23．请问：这三张牌上的数字各是多少？
22．（2025春 千阳县月考）阅读材料：善于思考的小军在解方程组，时，采用了一种“整体代换”的解法．
解：将方程②变形：4x+10y+y＝5即2（2x+5y）+y＝5③，把方程①代入③得：2×3+y＝5，解得y＝﹣1，把y＝﹣1代入①得：2x+5×（﹣1）＝3，解得x＝4，所以，方程组的解为．
请你模仿小军的“整体代换”法解决以下问题：
（1）解方程组；
（2）已知x，y，z满足试求z的值．
23．（2025春 西乡塘区期末）【阅读理解】在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简．
（1）解方程组 解：把①代入②得：x+3×2＝10 x＝4 把x＝4代入①得：y＝2 ∴方程组的解为． （2）已知， 求x+y+z的值． 解：①+②得：4x+4y+4z＝24③ ③，得：x+y+z＝6
【类比迁移】
（1）直接写出方程组的解；
（2）若，求x+y+z的值；
【实际应用】
（3）端午节是中华民族传统节日，吃粽子是端午节的传统习俗，某食品店推出的肉粽、豆沙粽和蛋黄粽深受顾客喜欢，现采购1个肉粽、2个豆沙粽和3个蛋黄粽需要45元；3个肉粽、5个豆沙粽和7个蛋黄粽需要113元，那么采购10个肉粽、10个豆沙粽和10个蛋黄粽需要多少钱？
24．（2025春 前郭县期末）甲地到乙地全程是3.3km，一段上坡，一段平路，一段下坡，如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需51min，从乙地到甲地需53.4min，从甲地到乙地时，上坡、平路、下坡的路程各是多少？
一、选择题（共10小题）
1．【答案】B
设物体三种物体的重量依次为x，y，z，根据题意得：图1中左盘内物体重量为2x，右盘内物体重量为3y，图2中左盘内物体重量为x+2z，右盘内物体重量为2y+2z，再由图1中左、右手中盘内物体的重量相同，可得x＝1.5y，再作差，即可．
【解答】解：设物体三种物体的重量依次为x，y，z，
根据题意得：图1中左盘内物体重量为2x，右盘内物体重量为3y，图2中左盘内物体重量为x+2z，右盘内物体重量为2y+2z，
∵图1中左、右手中盘内物体的重量相同，
∴2x＝3y，
∴x＝1.5y，
∴x+2z＝1.5y+2z，
∴（1.5y+2z）﹣（2y+2z）
＝﹣0.5y＜0，
即图2中右盘内物体重，
故选：B．
2．【答案】A
根据“当售出的三种花束数量之比为2：3：4时，老板得到的总利润率为25%；当售出的三种花束数量之比为3：2：1时，老板得到的总利润率为20%”，可列出关于a，b，c的三元一次方程组，解之可用含a的代数式表示出b，c的值，代入后可求出a：b：c的值．
【解答】解：根据题意得：，
解得：，
∴a：b：c＝a：2a：3a＝1：2：3．
故选：A．
3．【答案】C
根据已知等式a﹣b+c＝0和b+c﹣a＝0，通过相加得到c＝0，再代入得a＝b，结合a+b+c＞0可得a＞0和b＞0，因此b＝c错误．
【解答】解：根据已知等式a﹣b+c＝0和b+c﹣a＝0，通过相加得到c＝0，再代入得a＝b，结合a+b+c＞0可得：
∵a﹣b+c＝0①，b+c﹣a＝0②，
①+②可得（a﹣b+c）+（b+c﹣a）＝0，
∴c＝0，
将c＝0代入①得a﹣b+0＝0，
∴a＝b，故D选项正确；
∵a+b+c＞0，且a＝b，c＝0，
∴2a＞0即a＞0，同理可得b＞0，故A、B选项正确；
∵b＞0，c＝0，
∴b≠c，故C选项错误，
故选：C．
4．【答案】A
先解方程组，用含a的式子表示x，y的值，再代入方程3x﹣5y﹣28＝0得关于a的方程，求解即可．
【解答】解：解方程组得．
代入方程3x﹣5y﹣28＝0得10a28＝0，解得a＝2.1．
故选：A．
5．【答案】A
设三种票分别买了x，y，z张．则根据题意列出关于x，y，z的三元一次方程组，然后解z﹣x的值即可．
【解答】解：分别设三种票买了x，y，z张．
则根据题意列三元一次方程得，，
由②得y＝30﹣x﹣z③
将③代入①，得：z﹣x＝10．
即票价为20元的比票价为10元的多10张，
故选：A．
6．【答案】A
把z看作已知数表示出方程组的解，代入原式计算即可求出值．
【解答】解：，
①﹣②得：y＝﹣z﹣2，
把y＝﹣z﹣2代入①得：x+z+2＝1﹣4z，
解得：x＝﹣1﹣5z，
把x＝﹣1﹣5z，y＝﹣z﹣2代入得：x+y+6z＝﹣1﹣5z﹣z﹣2+6z＝﹣3．
故选：A．
7．【答案】B
由图（a）和图（b）可得b+c＝2.5，a+c＝2，进而根据b+c＜a+b+c＜（a+c）+（b+c），求出取值范围即可解题．
【解答】解：设种物体□，△，〇的重量分别为x克，y克，z克，
由图（a）和图（b）可得：2a+b+3c＝6.5①，2b+2c＝5，
即b+c＝2.5，a+c＝2，
所以2.5＜a+b+c＜4.5，
故选：B．
8．【答案】A
设甲商品的单价是x元，乙商品的单价是y元，丙商品的单价是z元，根据“购买甲3件、乙2件、丙1件，共需270元；购买甲1件、乙2件、丙3件，共需242元”，利用（方程①+方程②）÷4，即可得出结论．
【解答】解：设甲商品的单价是x元，乙商品的单价是y元，丙商品的单价是z元，
根据题意得：，
（①+②）÷4得：x+y+z＝128，
∴购买甲、乙、丙三种商品各一件共需128元．
故选：A．
9．【答案】B
将x+y看作一个整体，然后加减消元，去掉z，即可解答．
【解答】解：，
（1）+（2）得：
7x+7y＝14，
x+y＝2．
故选：B．
10．【答案】A
设小明购买茉莉口味奶茶一杯需要花费x元，购买桂花口味奶茶一杯需要花费y元，购买蜜桃口味奶茶一杯需要花费z元，根据表中信息列出三元一次方程组，求出x+y+z的值即可．
【解答】解：设小明购买茉莉口味奶茶一杯需要花费x元，购买桂花口味奶茶一杯需要花费y元，购买蜜桃口味奶茶一杯需要花费z元，
由题意得：，
①+②得：6x+6y+6z＝246，
∴x+y+z＝41，
即现各买一杯，需要花费41元，
故选：A．
二、填空题（共6小题）
11．【答案】．
把z看作已知数表示出x与y，即可求出所求．
【解答】解：方程组整理得：，
②×4﹣①得：11y＝22z，
解得：y＝2z，
把y＝2z代入②得：x+4z＝7z，
解得：x＝3z，
则．
故答案为：．
12．【答案】80．
设长方体木块的长为xcm，高为ycm，而桌子的高度为hcm，再根据图形性质可得方程组，再解方程组即可．
【解答】解：设长方体木块的长为xcm，高为ycm，而桌子的高度为hcm，
根据题意列三元一次方程组得，，
由①﹣②，得60﹣h＝h﹣100，
整理得，2h＝160，
解得h＝80，
即桌子的高度为80cm．
故答案为：80．
13．【答案】4．
把三个方程相加即可．
【解答】解：根据方程组特点和所求形式，把三个方程相加可得：3x+3y+3z＝12，
所以x+y+z＝4，
故答案为：4．
14．【答案】9．
先运用待定系数法求函数解析式，然后将x＝2代入求y的值即可．
【解答】解：根据待定系数法可得：
，
解得，
∴y＝3x2﹣3，
当x＝2时，y＝3x2﹣3＝9．
故答案为：9．
15．【答案】1．
根据相对的两个面的代数式的值相等可得方程组，再解方程组即可．
【解答】解：由题意可得：，
解得：．
故答案为：1．
16．【答案】731或832．
先设这个三位数字的百位数字为x，十位数字为y，个位数字为z，然后根据题意可以得到方程组，再求解即可，注意这个三位数各个数位上的数字非零且互不相等．
【解答】解：设这个三位数字的百位数字为x，十位数字为y，个位数字为z，
由题意可得：，
解得y＝3，x﹣z＝6，
∵一个三位数m，它的各个数位上的数字非零且互不相等，
∴这个三位数为731或832，
故答案为：731或832．
三、解答题（共8小题）
17．【答案】．
利用加减消元法解方程组即可．
【解答】解：，
①+②得：4x+2z＝12，
则2x+z＝6④，
③+④得：3x＝9，
解得：x＝3，
将x＝3代入③得：3﹣z＝3，
解得：z＝0，
将x＝3，z＝0代入①得：3+y+0＝8，
解得：y＝5，
故原方程组的解为．
18．【答案】．
利用加减消元法进行计算，即可解答．
【解答】解：，
②+③得：8x﹣y＝12④，
②×3得：3x﹣6y+3z＝36⑤，
①+⑤得：8x﹣7y＝36⑥，
④﹣⑥得：6y＝﹣24，
解得：y＝﹣4，
把y＝﹣4代入④得：8x+4＝12，
解得：x＝1，
把x＝1，y＝﹣4代入①得：5+4﹣3z＝0，
解得：z＝3，
∴原方程组的解为：．
19．【答案】（1）甲型号玩偶的单价是40元，乙型号玩偶的单价是60元；
（2）该班级有4种购买方案；
（3）该班级共需花费2270元．
（1）设甲型号玩偶的单价是m元，乙型号玩偶的单价是n元，根据题意列方程组可解得答案；
（2）设购买甲型号玩偶a个，购买乙型号玩偶b个，可得：40a+60b＝540，求出其正整数解即可；
（3）设甲型号玩偶的单价是x元，乙型号玩偶的单价是y元，丙型号玩偶的单价是z元，列方程组可得，再求出12x+19y+13z的值即可．
【解答】解：（1）设甲型号玩偶的单价是m元，乙型号玩偶的单价是n元，
根据题意得：，
解得，
∴甲型号玩偶的单价是40元，乙型号玩偶的单价是60元；
（2）设购买甲型号玩偶a个，购买乙型号玩偶b个，
根据题意得：40a+60b＝540，
∴b，
∵a，b都是正整数，
∴或或或，
∴该班级有4种购买方案；
（3）设甲型号玩偶的单价是x元，乙型号玩偶的单价是y元，丙型号玩偶的单价是z元，
∵购买1只甲型玩偶、2只乙型玩偶和4只丙型玩偶的总价格为360元，购买2只甲型玩偶、3只乙型玩偶和1只丙型玩偶的总价格为310元，
∴，
可得，
∴12x+19y+13z＝12（10z﹣460）+19（410﹣7z）+13z＝120z﹣5520+7790﹣133z+13z＝2270，
∴该班级共需花费2270元．
20．【答案】（1）A等票和B等票每张分别为500元和300元；
（2）方案一：购买3张A等票，3张B等票，2张C等票；方案二：购买3张A等票，2张B等票，4张C等票；方案三：购买3张A等票，1张B等票，6张C等票．
（1）设A等票和B等票每张分别为x元和y元，根据购买2张A等票和5张B等票，付款2500元；购买4张A等票和1张B等票，付款2300元，列出方程组进行求解即可；
（2）设购买A，B，C三种门票分别为a，b，c张，列出三元一次方程，求出正整数解即可得出结果．
【解答】解：（1）设A等票和B等票每张分别为x元和y元，
由题意列二元一次方程组得：
，
解得，
即A等票和B等票每张分别为500元和300元，
答：A等票和B等票每张分别为500元和300元；
（2）设购买A，B，C三种门票分别为a，b，c张，
由题意列三元一次方程得：500a+300b+150c＝2700，
∴，
∵a，b，c均为正整数，
∴或或；
故共有3种方案，
方案一：购买3张A等票，3张B等票，2张C等票；
方案二：购买3张A等票，2张B等票，4张C等票；
方案三：购买3张A等票，1张B等票，6张C等票．
21．【答案】3，5，9．
设这三张牌的数字分别是a，b，c（a＜b＜c），根据反复三次后三人记录的数字之和为3（a+b+c），可列出关于a，b，c的三元一次方程，解之可得出a+b+c＝17，结合a，b，c是三个互不相同的一位正整数，可得出各组解，再结合三人各自记录的数字和分别为13、15、23，即可确定a，b，c的值．
【解答】解：设这三张牌的数字分别是a，b，c（a＜b＜c），
根据题意得：3（a+b+c）＝13+15+23，
∴a+b+c＝17，
∵a，b，c是三个互不相同的一位正整数，
∴或或或或或或，
又∵三人各自记录的数字和分别为13、15、23，且3+5+5＝13，3+3+9＝15，5+9+9＝23，
∴，
∴这三张牌的数字分别是3，5，9．
22．【答案】（1）；
（2）z＝2．
（1）方程组利用“整体代换”思想求出解即可；
（2）方程组两方程变形后，利用“整体代换”思路求出z的值即可．
【解答】解：（1），
由②得3（2x﹣3y）﹣2y＝9③，
把方程①代入③得，3×5﹣2y＝9，
解得：y＝3，
把y＝3代入①得，x＝7，
所以方程组的解为：；
（2），
由②知x+4y＝19﹣z③，
由①可变形为3×（x+4y）﹣2z＝47，
将③代入①得3×（19﹣z）﹣2z＝47，
解得：z＝2．
23．【答案】（1）；
（2）x+y+z＝3；
（3）采购10个肉粽、10个豆沙粽和10个蛋黄粽需要230元钱．
（1）利用整体代入解方程组，即可；
（2）利用①﹣②，可得出2x+2y+2z＝6③，再利用③，即可求出x+y+z的值；
（3）设肉粽的单价为m元，豆沙粽的单价为n元，蛋黄粽的单价为t元，根据“采购1个肉粽、2个豆沙粽和3个蛋黄粽需要45元；3个肉粽、5个豆沙粽和7个蛋黄粽需要113元”，可列出关于m，n，t的三元一次方程组，利用②﹣①×2，可得出m+n+t＝23③，再利用③×10，即可求出结论．
【解答】解：（1），
把②代入①得：5×2+4＝7a，
∴a＝2，
把a＝2代入②得：2+b＝0，
∴b＝0，
∴方程组的解为；
（2），
①﹣②得：2x+2y+2z＝6③，
③得：x+y+z＝3；
（3）设肉粽的单价为m元，豆沙粽的单价为n元，蛋黄粽的单价为t元，
根据题意得：，
②﹣①×2得：m+n+t＝23③，
③×10得：10m+10n+10t＝230．
答：采购10个肉粽、10个豆沙粽和10个蛋黄粽需要230元钱．
24．【答案】见试题解答内容
设甲地到乙地，上坡、平路、下坡路各是x千米，y千米，z千米，根据全程3.3km，甲到乙要51分钟，乙到甲要53.4分钟．分别列出方程，组成方程组，再求解即可．
【解答】解：设甲地到乙地，上坡、平路、下坡路各是x千米，y千米，z千米，根据题意得：
，
解得．
答：甲地到乙地，上坡路1.2千米、平路0.6千米、下坡路1.5千米．

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