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深圳外国语学校（集团）龙华高中部 2025级高一数学 2026年 4月 22日
高一（下）数学测试 8
一、单项选择题（本题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分）
1．设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．在 中， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．已知圆锥的体积为 ，侧面积是底面积的 3倍，则其底面圆的半径为（ ）
A． B．2 C． D．
4．已知 为单位向量， ， ，则 在 上的投影向量的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．已知正方形 的边长为 ，点 在线段 上，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．降雨量是在一定时间内降落在水平地面上某一单位面积上的水层深度（未经蒸发 渗漏
流失），以 计算 降雨量的等级划分如下：
降雨量
等级 小雨 中雨 大雨 暴雨 大暴雨 特大暴雨
某数学小组为了测量当地某日的降雨量，用一个开口半径为 ，底面半径
为 ，高为 的圆台型铁桶（如图所示）收集雨水，若在一次降水
过程中用此桶水平放置接了 的雨水后，桶内水深为 ，则当日降雨量
的等级是（ ）
A．小雨 B．大雨 C．中雨 D．暴雨
二、多项选择题（本题共 2 小题，每题 6 分，共 12 分）
7．已知向量 ，则（ ）
A．若 与 垂直，则 B．若 ，则 的值为-5
C．若 ，则 D．若 ，则 与 的夹角为
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深圳外国语学校（集团）龙华高中部 2025级高一数学 2026年 4月 22日
8. 如图，在 中， ， ， ，若点 为 的中点，点 在 上，
且 ， 与 相交于点 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题（本题共 2 小题，每题 6 分，共 12 分）
9．已知复数 满足 ，则 （ 为虚数单位）的最大值为_______.
10．已知正四棱锥 O-ABCD的体积为 ，底面边长为 ，则以 O为球心，OA为半径的
球的表面积为________.
四、解答题（本题共 1 小题，共 13 分）
11．在 中，角 的对边分别为 ，满足 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 周长的最小值；
(3)若 是锐角三角形，且 ，求 面积 的取值范围.
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《2026 年 4 月 20 日高中数学作业》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B A C A D BC ABD 14 24
11．(1) (2) (3)
【详解】（1）因为 ，所以 ，
由余弦定理可得 ，---------------------2分
因为 ，所以 ；---------------------3分
（2）因为 ，所以 ，-------------5分
由基本不等式可知 ，当且仅当 时等号成立， 所以 ，-----6分
即 ，所以当 时， 周长有最小值为 ；--------------7分
（3）由正弦定理可得 ，所以 ， ，-----------8分
因为 ，所以 ，
则
，---------------------10分
因为 是锐角三角形，有 ，即 ，-------------11分
所以 ， ， ， -----------12分
因为 ，
所以 ，即 面积 的取值范围是 .-----------13分
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1．B【详解】由题意可得 ，则 .
2．B【详解】因为 ，
所以由正弦定理得 ，即 ，
则 ，故 ，
又 ，所以 .故选：B.
3．A【详解】设圆锥的底面半径为 ，高为 ，则母线长为 ，
因为圆锥的体积是 ，其侧面积是底面积的 3倍，
所以 即 ，解得 ．
4．C【详解】由题意可知 ， ， ，
所以 ，解得 ，则 在 上的投影向量为 ，
所以 在 上的投影向量的坐标为 .
5．A【详解】已知正方形 ，以 建立平面直角坐标系，
， ， ， ，
设 ，点 在线段 上， ，则 ，
，
，
时， 的最大值为 .
6．D【详解】设水面半径为 ， 根据三角形相似可得 ，解得 .
则 .
又接雨面积为桶的开口面积 ，
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根据降雨量定义， .
结合 降雨量的等级划分可得，当日降雨量的等级是暴雨.
7．BC【详解】因为向量 ， ，
对于 A中，若 与 垂直，可得 ，解得 ，所以 A不正确；
对于 B中，若 ，可得 ，解得 ，即 ，
则 ，所以 B正确；
对于 C中，若 ，可得 ，则 ，
所以 ，所以 C正确；
对于 D中，若 ，可得 ，则 ，
此时 ，所以 D错误.
8.ABD 【详解】因为 ， ， ，
由余弦定理知 ，
所以 ，故 A项正确；
因为点 在 上，且 ，
所以 ，故 B项正确；
因为 为 的中点， ，所以 ， ，
则
，故 C项不正确；
由已知， ,又 ， ，所以 ，又 ,
则 ，
所以 ，故 D项正确.
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9. 14
10． 【详解】设正四棱锥的高为 h，则 ×( )2h＝ ，解得高 h＝ .则底面正方
形的对角线长为 × ＝ ，所以 OA＝ ＝ ，S 2球＝4π( ) ＝24π.
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