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西藏自治区日喀则市2025-2026学年高三下学期第二轮模拟考试数学试卷
一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．设，则在复平面内，对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．若，则（ ）
A． B． C． D．
4．统计学中算术平均数 几何平均数 调和平均数 加权平均数是数据分析中的重要工具.已知正数的调和平均数，则数据的调和平均数（ ）
A． B． C． D．
5．抛物线（）的准线被圆所截得的弦长为4，则（ ）
A．8 B． C．4 D．
6．已知函数的图象向左平移个单位长度后与原图象重合，则实数的最小值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
7．某单位国庆期间有4天假期，现安排甲、乙、丙3人值班，每人至少值班一天，每天只安排一人值班，且甲不安排在第一天值班的安排方法共有（ ）
A．20种 B．36种 C．24种 D．18种
8．若曲线关于直线对称，则（ ）
A． B．2 C．0 D．1
二、多选题
9．设为等差数列的前n项和，已知，，则（ ）
A．数列的公差为2 B．
C． D．当取得最大值时，或7
10．记的内角的对边分别为，已知，，为边上的中线，且，则（ ）
A． B．
C．的面积为 D．
11．已知是定义在上的偶函数，其导函数为，且，则（ ）
A．
B．
C．在上单调递减
D．函数只有一个极值点
三、填空题
12．已知向量，，若，则_________．
13．已知椭圆的左、右焦点分别为，圆经过原点且与相交于两点，若恰好为圆的一条切线，则的长轴长为_____．
14．如图，在多面体中，平面，，，，则多面体的体积为_________．
四、解答题
15．李先生计划在五一后错峰旅游，从自然景观类中的泸沽湖、玉龙雪山、大理洱海、石林风景区4个景区和人文与民族风情类中的大理古城、丽江古城2个景区中，随机选取3个景区游玩．
(1)求李先生选取的3个景区既有自然景观类，又有人文与民族风情类的概率；
(2)设X表示选取人文与民族风情类景区的个数，求X的分布列与数学期望．
16．记为数列的前n项和，已知，．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的前n项和．
17．如图,四棱锥中,底面,底面为菱形,,分别为的中点.
(1)证明：平面；
(2)求二面角的正弦值.
18．已知双曲线的左、右焦点分别为、，且到C的一条渐近线的距离为．
(1)若双曲线C的离心率为，求C的标准方程；
(2)过作直线l与C交于P，Q两点，其中点Q在第一象限，且点Q关于原点的对称点为M．
（ⅰ）若，，求直线l的方程；
（ⅱ）若，求a的最小整数值．
19．已知函数．
(1)设，若的导函数在上单调递减，求实数的取值范围；
(2)若，证明：当时，函数图象上任意一点处的切线总在的图象的上方；
(3)若不等式对任意恒成立，求可取的最大整数值．
参考答案
1．B
【详解】因为，若，则，
若，则，若，则，
所以，又，
.
故选：B.
2．A
【详解】，则，
则其在复平面所对应的点坐标为，
则对应的点位于第一象限.
3．D
【详解】，．
4．B
【详解】，所以.
故选：B.
5．B
【详解】抛物线的准线方程为，
圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离，
所以直线被圆所截得的弦长为，解得．
6．D
【详解】由题意知，是该函数的周期的整数倍，即，，
解得，，
又，故的最小值为．
7．C
【详解】若甲值一天班且甲不安排在第一天值班，则甲有种安排方式，
则剩下三天安排乙、丙2人值班，则其中有一人需安排值两天班，
则乙、丙2人有种安排方式，
此时甲、乙、丙3人共有种安排方式；
若甲值两天班且甲不安排在第一天值班，
先从乙、丙2人中选择一人安排在第一天值班，则有种安排方式，
再安排乙、丙2人中剩下的一人与甲值剩下三天班且甲值两天班，
有种安排方式，此时共有种安排方式；
综上，共有种安排方式.
故选：C
8．C
【详解】令，由，得或，故函数的定义域为．
由曲线关于直线对称，得定义域关于直线对称，则，
此时必有，即，解得，
此时，
因此函数的图象关于直线对称，即，满足题意，故．
9．BC
【详解】设数列的公差为d，则解得，，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
当取得最大值时，或，故D错误．
10．ACD
【详解】因为，所以由正弦定理得，所以，所以由余弦定理得，所以，所以由正弦定理得 ，又，所以，又，所以．
在中，由正弦定理得，即，所以，又，所以，A正确；
由得，所以，则，B错误；
的面积为，C正确；
在中，由余弦定理得，所以，D正确，故选ACD．
11．ABD
【详解】因为是定义在R上的偶函数，所以，两边取导数得，所以，A正确；
由①，得，则②，由①②得，B正确；
由①②得，知在上单调递增，则，所以在上单调递增，C错误；
由得，当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，则函数只有一个极值点，D正确．
12．
【详解】因为，，，
所以，即，
从而．
13．
【详解】由题意可知，圆的半径为，

因为直线与圆相切，由圆的几何性质可得，且，
由勾股定理可得，
因为点在椭圆上，由椭圆的定义可得．
故答案为：.
14．1
【详解】根据多面体的结构特征，将其补成长方体，所以多面体的体积为
．
15．(1)
(2)分布列见解析，1
【详解】（1）李先生选取的3个景区既有自然景观类，又有人文与民族风情类的概率为．
（2）X的可能取值为0，1，2，
则，，，
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
则．
16．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：由，得，
则，
所以，
因为，所以，
故数列是以2为首项，2为公比的等比数列．
（2）由（1）可知，，所以．
，
故．
17．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）连接,∵底面ABCD为菱形,,
∵在中，分别为的中点.
∴,∴
底面,所以,所以,
又∵与是平面上的两条相交直线,
∴⊥平面.
（2）连接交于点,过点,作向上的垂线平行于,
以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系；
又，，所以；
则，
所以；
设平面的一个法向量为，
可得，解得，令，则；
即为平面的一个法向量，
设平面的一个法向量为，
可得，解得，令，则；
即为平面的一个法向量，
可得，
设二面角为，可得；
所以二面角的正弦值为.
18．(1)
(2)（ⅰ）（ⅱ）2
【详解】（1）不妨设，
双曲线C的渐近线方程为，则，
又，所以，
所以双曲线C的标准方程为．
（2）由（1）知，设直线l的方程，，，
联立整理得，
，
则，．
（ⅰ）由，得，则，，
易知，，则，，得，，
所以，
解得，
故直线l的方程为，即．
（ⅱ）由得，又，，
则，，
，
．
所以
，
整理得，
又，则，
由Q在第一象限知，所以，所以，
整理得，解得，
故a的最小整数值为2.
19．(1)
(2)证明见解析
(3)．
【详解】（1）．
所以，
令，
因为在上单调递减，
所以对于恒成立，
可得对于恒成立，
令，则时，，
易知在上单调递增，
所以，所以．
即实数的取值范围为．
（2）当时，，
设切点为，则切线方程为，
令，依题意，只需证明即可．
，
令，
当时，，
在上单调递减，即在上单调递减，
又，
故当时，，单调递增，
当时，单调递减，
，则恒成立，即得证．
（3）不等式恒成立，即恒成立，
设，
则，
当时，恒成立，故在上单调递增，
因为，所以不符合题意；
当时，由，得，由，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则．
设，则恒成立，所以在上单调递增，又，
故可取的最大整数值为．

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