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阜新市实验中学2025-2026学年八年级下学期5月限时作业
数学试卷
一、单选题
1．下列银行图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各项是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
3．不等式的解集表示在数轴上正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．在中，的对应边分别是，，．下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，已知，平分，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．在平面直角坐标系中，将点向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到点B，则点B的坐标是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，．按如下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点；作射线交边于点；②分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点；作直线交于点．则的面积为（ ）
A． B．2 C． D．
9．如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，若，，则的长为（ ）
A．5 B． C． D．2
10．若不等式组的解集是x＜2，则a的取值范围是（　　）
A．a＜2 B．a≤2 C．a＞2 D．a≥2
二、填空题
11．若点在第四象限，则m的取值范围是_________．
12．若能用完全平方公式因式分解，则k的值为__________．
13．若分式有意义，则x的取值范围为________．
14．直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集为__________．
15．如图，已知，射线上一点，以为边在下方作等边，点为射线上一点，若，则______．
三、解答题
16．计算：
(1)因式分解：；
(2)因式分解：；
(3)解不等式组．
17．先化简，再求值：，其中．
18．如图，在直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是．
(1)将向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到，请画出，并直接写出点的坐标为___________；
(2)画出关于原点对称的，并直接写出点的坐标为___________．
19．某学校在一次环保知识宣传活动中，需印刷若干份调查问卷．印刷厂有甲、乙两种收费方式，甲种方式：收制版费6元，每印一份收印刷费0.1元；乙种方式：不收制版费，每印一份收印刷费0.12元；设共印刷调查问卷x份，甲种方式应收费元，乙种方式应收费元．
(1)分别求，关于x的解析式；
(2)试问学校选用哪种印刷方式所需费用较少？
20．如图，在中，是的垂直平分线，，D为的中点．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
21．洛阳以古都历史文化为底蕴，通过一系列活动正吸引越来越多的游客来一场古今穿越之旅，某单位计划购进A，B两种汉服，若购进2套A种汉服与1套B种汉服共需560元；购进3套A种汉服与2套B种汉服共需920元．
(1)求购进A种汉服和B种汉服每套各多少元？
(2)若该单位因举办活动需要购进A，B两种汉服共21套，要求买A种汉服的数量不少于B种汉服数量的一半，怎样购买花费最少？
22．上数学课时，王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解：
，
当时，的值最小，最小值是，
，
当时，的值最小，最小值是，
的最小值是．
请你根据上述方法，解答下列各题．
(1)知识再现：当______时，代数式的最小值是______；
(2)知识运用：若，当为何值时，有最值，并求出最值．
(3)知识拓展：若，求的最小值．
23．李老师在数学课上开展小组活动，同学们将两个全等的含的直角三角板完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个直角三角板绕这个顶点旋转，来探索图形旋转的奥妙．
已知图1，在和中，，，．
【初识图形】
(1)如图2，在绕点A旋转过程中，当点E恰好落在的边上时，连接．则长为______，长为______．
【深度探析】
如图3，在绕点A旋转过程中，当时，连接，延长交于点F．
(2)求的度数；
(3)求证：点F为线段的中点．
【拓展探究】
(4)在绕点A旋转过程中，试探究B、D、E三点能否构成以为直角边的直角三角形．若能，直接写出线段的长；若不能，请说明理由．
参考答案及解析
1．B
解析：解：A、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故选项不符合；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项符合；
C、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故选项不符合；
D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故选项不符合；
故选B.
2．C
解析：解：选项A：，分子4和分母有公因数4，可约分为，不是最简分式；
选项B：，分子和分母有公因式b，可约分为，不是最简分式；
选项C：，分子y和分母没有公因式，是最简分式。
选项D：， ，与分子有公因式，可约分为，不是最简分式；
故选：C．
3．A
解析：解：解得：，在数轴上表示解集如图：
4．D
解析：解：∵，则
∴是直角三角形，故A选项不符合题意；
∵，
∴可设，
∴，
即，
∴是直角三角形，故B选项不符合题意；
∵，且，
∴,
∴是直角三角形，故C选项不符合题意；
∵，
∴最大角，
∴不是直角三角形，故D选项符合题意，
故选：D．
5．A
解析：解：因式分解是将一个多项式化为几个整式的积的形式，
A、符合因式分解的定义，故符合题意；
B、等式右边不是整式积的形式，不符合因式分解定义，不符合题意；
C、该变形是整式乘法，是将乘积化为多项式，不是因式分解，不符合题意；
D、左边不是多项式，不符合因式分解的要求，不符合题意．
6．A
解析：解：，
平分，
，
，
．
7．B
解析：解：∵点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点，
∴点的横坐标为，纵坐标为，
∴点的坐标为．
故选：B．
8．A
解析：解：根据尺规作图操作可得，平分，垂直平分线段，
∴点到边的距离相等，
∴，
∴．
9．A
解析：解：如图，连接，
∵是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
设，则，
由勾股定理得：，即，
解得：（负值舍去），
∴，，
∴．
10．D
解析：解：∵不等式组的解集是x＜2,
∴a≥2．
故选D．
11．
解析：解：∵第四象限内点的横坐标大于，纵坐标小于，点的纵坐标，
∴横坐标满足，
解得，
∴m的取值范围是．
12．5或/或5
解析：解： 能用完全平方公式因式分解，
根据完全平方公式的结构特征可得： ，
即或 ，
解得：或
∴k的值为5或．
13．
解析：解：由题意得，
，
解得，．
14．
解析：解：由函数图象可得，直线与直线的交点的横坐标为，
∴的不等式的解集为．
15．或
解析：解：①当点位于左侧时，如图，
是等边三角形，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
；
②当点位于右侧时，如图，
将绕着点顺时针旋转得到，
此时是等边三角形，
，
∵，
∴
∴
由旋转性质得
∴
∴
∴三点共线，
，
故答案为：或．
16．(1)
(2)
(3)
解析：（1）解：
（2）
（3）解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
不等式组的解集为．
17．，
解析：解：
，
当时，原式
18．(1)图见解析，
(2)图见解析，
解析：（1）解：如图，即为所求，点的坐标为；
（2）解：如图，即为所求，点的坐标为．
19．(1)（，且为整数）；（，且为整数）
(2)当印刷调查问卷少于300份时，乙种印刷方式所需费用较少；当印刷300份时，两种印刷方式所需费用相同；当印刷多于300份时，甲种印刷方式所需费用较少
解析：（1）解：根据题意，甲种收费方式收制版费6元，每印一份收印刷费0.1元，因此可得（，且为整数）
乙种收费方式不收制版费，每印一份收印刷费0.12元，因此可得（，且为整数）；
（2）解：分三种情况比较和的大小：
当时，得
解得，
此时甲种印刷方式费用较少；
当时，得
解得，
此时两种印刷方式费用相同；
当时，得，
解得 ，
此时乙种印刷方式费用较少．
20．(1)见解析
(2)
解析：（1）解：证明：如图，连接．
∵，且D为线段的中点，
∴垂直平分，
∴．
∵垂直平分，
∴，
∴．
（2）∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
21．(1)购进A种汉服每套元，B种汉服每套元；
(2)购买A种汉服套，B种汉服套时花费最少．
解析：（1）解：设购进A种汉服每套x元，购进B种汉服每套y元，根据题意得：
，
解得：．
答：购进A种汉服每套元，购进B种汉服每套元．
（2）解：设购进A种汉服a套，则购进B种汉服套，根据题意得：
，
解得，
设花费元，则，
，
随的增大而增大，
当时，有最小值，
此时，（套），
答：购买A种汉服套，B种汉服套时花费最少．
22．(1)；
(2)当时，有最大值，最大值是
(3)的最小值是
解析：（1）解：，
，
当时，的值最小，最小值是，
，
当时，的最小值是；
（2）解：，
，
当时，的值最小，最小值是，
当时，的值最大，最大值是，
，
当时，有最大值，最大值是；
（3）解：，
，
，
，
当时，的值最小，最小值是，
，
当时，的最小值是．
23．(1)2，4
(2)
(3)见解析
(4)能构成以为直角边的直角三角形，或或
解析：（1）解：连接，，如图所示：
在和中，，，．
,，，
，
，
，
，，
为等边三角形，
，
（2）解：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）证明：延长、相交于点，如图所示：
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点为线段的中点．
（4）解：能构成以为直角边的直角三角形，
由（1）图2可知，时，，
在绕点旋转过程中，当点恰好落在的边的延长线上时，连接、 ，如图所示：
由题意可知，，
，，
此时；
在绕点逆时针时，落在的边的延长线上时，连接、 ，如图所示：
，
为等边三角形，
，，
综上，或或．

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