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湖北随州市第一中学2026届高三第三次阶段性质量检测
数学试题
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.
一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设全集U＝R，集合M＝{x|x＞﹣1}，N＝{x|﹣2＜x＜3}，则{x|x≤﹣2}＝（　　）
A． U（M∩N） B． U（M∪N） C．M∩（ UN） D．N∪（ UM）
2．若（2+3i）（ai﹣1）（a∈R，i为虚数单位）为纯虚数，则a＝（　　）
A． B． C． D．
3．若P（x0，4）为抛物线y2＝4x上一点，则点P到其焦点的距离为（　　）
A．4 B．5 C． D．6
4．已知随机变量ξ：N～（1，σ2），且P（ξ≤0）＝P（ξ≥a），则的最小值为（　　）
A．9 B．8 C． D．6
5．已知x1，x2是函数在定义域上的两个极值点，若，则a的值为（　　）
A． B． C． D．
6．已知，tanα＝3tanβ，则sin（α﹣β）＝（　　）
A． B． C． D．
7．若a＝ln4，，，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．b＞a＞c D．c＞a＞b
8．已知函数f（x）的定义域为R，且满足f2（x）﹣f2（y）＝f（x+y）f（x﹣y），f（1）＝1，f（3）＝﹣1，则下列结论错误的是（　　）
A．f（2）＝0 B．f（4）＝2
C．f（x）是奇函数 D．f（x+4）＝f（x）
二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．某车间为了解加工的零件数x（单位：个）与加工时间y（单位：min）的关系，收集到5组观测数据（如下表所示）：
零件数x/个 10 20 30 40 50
加工时间y/min 67 74 80 86 93
假设加工时间y与加工的零件数x满足的经验回归方程为，则（　　）
A．
B．当x＝60时，y的预测值为102
C．加工时间y的5个观测数据的60%分位数为80
D．当加工的零件数x＝50时，加工时间y的残差为0.2
10．已知函数f（x）＝sinx+cosx，则（　　）
A．f（x）的周期是2π
B．是f（x）的对称轴
C．f（x）的最大值为2
D．是f（x）的对称中心
11．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝4，AD＝2，E，F分别为棱CD，C1D1的中点，则（　　）
A．AF⊥BE
B．该长方体的外接球表面积为20π
C．平面CFA1∥平面AED1
D．四棱锥A﹣BEFB1的体积为
三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．若将5名男生和3名女生排成一排，则3名女生相邻的不同排法种数为　 　 ．
13．已知单位向量，满足，则向量在向量上的投影向量的模为 　 　 ．
14．已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，M（x0，y0）（x0＞0，y0＞0）是双曲线C上的一点，直线MF2与y轴交于点N，若，且|MF2|：|NF2|＝2：3，则双曲线的离心率为　 　 ．
四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（13分）某学校（含初中部和高中部）对食堂进行了改革，为了调查学生对新食堂的满意程度，学校分别对初中部的300名学生和高中部200名学生进行问卷调查，统计并得到如下列联表：
初中部学生 高中部学生 合计
不满意 100 50 150
满意 200 150 350
合计 300 200 500
（1）根据小概率值α＝0.01的独立性检验，分析学生的满意度是否与所处学部有关；
（2）从对新食堂不满意的学生中，采用分层抽样的方法随机抽取9名学生，再从这9名学生中随机抽取4人进一步调研，记4人中高中部人数为X，求X的分布列和数学期望．
附录：．
P（K2≥k0） 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
16．（15分）已知数列{an}中，a1＝5，且2an+1＝an+2，Sn为其前n项的和．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求满足不等式的最小正整数n的值；
（3）设，，其中λ＞0，若对任意m，n∈N*，总有成立，求λ的取值范围．
17．（15分）如图所示，在多面体GHL﹣ABCDEF中，ABCDEF为平面六边形，平面GAF⊥平面ABC，平面LCD⊥平面ABC，AB⊥AF，BC⊥CD，△GAF与△LCD都是边长为2的等边三角形，AB∥EF∥GH，BC∥ED∥HL，AB＝BC＝6，FE＝ED＝4，M，N，K分别为AF，BE，CD的中点．
（Ⅰ）求证：GM∥LK，HN⊥平面ABC；
（Ⅱ）棱ED上是否存在点P，使得HP与平面ABHG成角？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
18．（17分）已知中心在原点的椭圆C的一个焦点为，且过点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知A（x1，y1），B（x2，y2），N（x3，y3）在C上，
①若A是C与x轴的一个交点，B是C与y轴的一个交点，求△ABN的面积的最大值；
②记线段AB中点为M，，记△OBN的面积为S△OBN，判断S△OBN是否为定值，并说明理由．
19．（17分）已知函数f（x）＝2ex﹣sinx﹣1，g（x）＝1﹣aln（x+1）．
（1）求f（x）在x＝0处的切线方程；
（2）当a＝1时，，数列满足x1∈（0，1），且xn+1＝h（xn），证明：xn+1+xn+3＞2xn+2；
（3）当x∈[0，π]时，f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围．
参考答案
一．选择题
1．B．
2．C．
3．B．
4．B．
5．A．
6．D．
7．B．
8．B．
二．多选题
9．AD．
10．ABD．
11．ACD．
三．填空题
12．4320．
13．1．
14．．
四．解答题
15．解：（1）零假设H0为：学生的满意度与学部无关，
代入2×2列联表中的数据得，
根据小概率值α＝0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，
所以可以认为H0成立，
则可认为学生的满意度与所处学部无关；
（2）从不满意的学生中，采用分层抽样的方法，
此时初中部学生与高中部学生的抽样比为2：1，
所以9名使用者中初中部6人、高中部3人，
因为4人中高中部人数为X，
所以X的所有可能取值为0，1，2，3，
此时，，
，，
则X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
故．
16．解：（1）因为2an+1＝an+2，所以，所以，
而a1﹣2＝3，所以{an﹣2}是以3为首项，为公比的等比数列，
所以，则；
（2），
所以，
由得2n＞12138，则n＞13，所以n的最小值为14；
（3）恒成立，所以（bm﹣cn）min，
因为，
而，所以，
所以，
由得n＜2，所以，则有，
所以，解得3λ2﹣4λ﹣7＞0，
因为λ＞0，所以解得，
即λ的取值范围是（，+∞）．
17．（Ⅰ）证明：因为△GAF与△LCD均为等边三角形，且M，K分别为AF，CD中点，
所以GM⊥AF，LK⊥DC，
又平面GAF⊥平面ABC，平面GAF∩平面ABC＝AF，GM 平面GAF，
所以GM⊥平面ABC，
同理LK⊥平面ABC，
所以GM∥LK；
又GM 平面HLKN，LK 平面HLKN，
所以GM∥平面HLKN，
而平面GMNH∩平面HLKN＝HN，
所以GM∥NH，
又GM⊥平面ABC，
所以HN⊥平面ABC．
（Ⅱ）解：过E作ET⊥AB于T，
因为AB⊥AF，AB∥EF，AB＝6，EF＝4，AF＝2，
所以ET＝AF＝2，AT＝EF＝4，BT＝AB﹣AT＝6﹣4＝2，
所以△BTE是等腰直角三角形，∠TBE，
同理可得∠CBE，
所以AB⊥BC，
又M，N，K 分别为AF，BE，CD中点，所以MN∥AB，KN∥CB，
所以MN⊥KN，
由（Ⅰ）知HN⊥平面ABC，
所以HN⊥NM，HN⊥NK，即HN，NM，NK两两垂直，
故以N为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为MN∥AB∥GH，GM∥HN，
所以四边形GMNH为平行四边形，所以，
则E（1，1，0），D（1，5，0），A（5，﹣1，0），B（﹣1，﹣1，0），H（0，0，），G（5，0，），
所以，
设平面ABHG的法向量为，则，
不妨取，
设，λ∈[0，1]，
则，
因为HP与平面ABHG成角，
所以sin|cos，|，
解得，
所以存在点P，使得HP与平面ABHG成角，此时．
18．解：（1）因为椭圆C的一个焦点为，所以，所以a2＝b2+c2＝b2+2，
因此可设椭圆的标准方程为，
又因为椭圆C过点，因此，
解方程可得b2＝1或（舍去）．
因此椭圆C为；
（2）①根据椭圆的对称性，不妨取，
那么直线AB为，即，
设，
那么N到直线AB的距离，
因此当时，，又，
因此三角形ABN的面积的最大值为；
②S△OBN为定值，且定值为，理由如下：
当直线AB的斜率存在时，设直线AB为y＝kx+b，
联立，那么可得（kx+m）2+3x2﹣3＝0，
整理得（k2+3）x2+2kmx+m2﹣3＝0，根据韦达定理可得，，
由于线段AB中点为M，因此，因此，
由于，因此，所以，
又N（x3，y3）在C上，因此，
整理得12m2+4k2m2＝（k2+3）2，所以4m2＝k2+3，
又因为
，
又点O到直线AB的距离，
因此．
又由于线段AB中点为M，所以S△ABO＝2S△BMO，
又，所以S△OBN＝2S△BMO，所以S△OBN＝S△ABO，
所以S△OBN是否为定值，定值为；
当直线AB的斜率不存在时，线段AB的中点M在x轴上，
由对称性不妨取N（1，0），此时，此时|AB|＝3，；
综上所述：S△OBN为定值，且定值为．
19．解：（1）因为f（x）＝2ex﹣sinx﹣1，
所以f′（x）＝2ex﹣cosx，
所以f（0）＝2﹣0﹣1＝1，f'（0）＝2﹣1＝1，
所以f（x）在x＝0处的切线方程为y﹣1＝x，
即y＝x+1；
（2）证明：因为当a＝1时，g（x）＝1﹣ln（x+1），
所以（x＞0），
则h'（x），
所以当x∈（0，1）时，h'（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0；
所以h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
所以h（x）min＝h（1）＝1，
所以h（x）≥1，
因为x1∈（0，1），x2＝h（x1）＞1，x3＝h（x2）＞1， ，
由此可得xn+1＝h（xn）＞1，
要证xn+1+xn+3＞2xn+2，即证xn+3﹣xn+2＞xn+2﹣xn+1，
又xn+3＝h（xn+2），xn+2＝h（xn+1），
即证h（xn+2）﹣xn+2＞h（xn+1）﹣xn+1，
令，
则，
所以m（x）在[1，+∞）上为减函数，且m（x）max＝m（1）＝0，
所以m（x）≤0，
因为xn+2﹣xn+1＝h（xn+1）﹣xn+1＝m（xn+1），
又xn+1＞1，所以m（xn+1）＜0，
所以xn+2﹣xn+1＜0，则xn+2＜xn+1，
所以m（xn+2）＞m（xn+1），
即h（xn+2）﹣xn+2＞h（xn+1）﹣xn+1，
所以xn+3﹣xn+2＞xn+2﹣xn+1成立，原式得证．
（3）因为f（x）﹣g（x）＝2ex+aln（x+1）﹣2﹣sinx≥0恒成立，x∈[0，π]，
令m（x）＝2ex+aln（x+1）﹣2﹣sinx，x∈[0，π]，
则m（0）＝2﹣2＝0，
所以当x∈[0，π]时，f（x）≥g（x）等价于m（x）≥m（0）恒成立．
由于，x∈[0，π]，
（i）当a≥0时，m'（x）≥2ex﹣1＞0，函数y＝m（x）在[0，π]上单调递增，
所以m（x）≥m（0）＝0，在区间[0，π]上恒成立，符合题意；
（ii）当a＜0时，在[0，π]上单调递增，
m'（0）＝2+a﹣1＝1+a．
①当1+a≥0，即﹣1≤a＜0时，m'（x）≥m'（0）＝1+a≥0，
函数y＝m（x）在[0，π]上单调递增，
所以m（x）≥m（0）＝0在[0，π]上恒成立，符合题意；
②当1+a＜0，即a＜﹣1时，m'（0）＝1+a＜0，，
若m'（π）≤0，即a≤﹣（π+1）（2eπ+1）时，m′（x）在（0，π）上恒小于0，
则m（x）在（0，π）上单调递减，m（x）＜m（0）＝0，不符合题意；
若m′（π）＞0，
即﹣（π+1）（2eπ+1）＜a＜﹣1时，存在x0∈（0，π），使得m'（x0）＝0，
所以当x0∈（0，π）时，m'（x）＜0，
则m（x）在（0，x0）上单调递减，
则m（x）＜m（0）＝0，不符合题意．
综上所述，a∈[﹣1，+∞）．

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