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黑龙江省哈尔滨市呼兰区第八中学校等校2025-2026学年八年级下学期期中考试数学试卷
一、单选题
1．下列式子中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．龟背纹是中国传统经典的几何装饰纹样．如图是丝绸上设计的正六边形龟背纹图案，则它的一个内角的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为，在数轴上找到表示数3的点，然后过点作，使（如图）．以为圆心，的长为半径作弧，交数轴正半轴于点，则点所表示的数是（ ）

A． B． C． D．
5．如图，在平行四边形中，、相交于点，，若，．则的长为（ ）
A． B．10 C．8 D．14
6．如图，在四边形中，对角线和相交于点O，下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（ ）
A． ， B．，
C．， D．，
7．如图，在矩形中，对角线相交于点O，若，，则矩形的面积为（ ）
A． B．9 C． D．18
8．如图，直线，点P是直线上一个动点，当点P的位置发生变化时，的面积（ ）
A．向左移动变小 B．向右移动变小 C．始终不变 D．无法确定
9．如图，在平行四边形中，，以点为圆心作弧，交，于点，，分别以点，为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的长是（ ）
A．5 B． C．6 D．
10．如图，在中，分别是边的中点，是对角线上的两点，且，连接．则以下结论错误的是( )
A． B．
C．四边形是平行四边形 D．
二、填空题
11．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
12．七边形的内角和是________度．
13．在中，，D为斜边的中点．若，，则
的长为___________．
14．菱形的两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为_____．
15．如果三角形的三边长分别为，4，，则此三角形的面积是______．
16．如图，已知在四边形中，，点，分别是，的中点，连接，若，，则线段的长是______．
17．定义新运算：，则的运算结果是______．
18．矩形的一个内角平分线把矩形的一条边分成长为2和3两部分，则该矩形的面积为______．
19．如图是淇淇在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜反射后沿恰好入眼（为法线），已知淇淇的眼睛D到鞋底A处的距离，．若，且，，则淇淇的鞋底A处到镜子底端O的距离为______m．
20．如图，在正方形中，点，分别在，上，连接，，于点N，过点作的平行线交正方形的外角的平分线于点，连接，．有如下结论：①；②；③四边形是平行四边形；④若，，点为直线上的一个动点，则的最小值是．上述结论中，所有正确结论的序号是______．
三、解答题
21．先化简，再求值：，其中．
22．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，线段的两个端点均在格点上，按下列要求画图．
(1)在方格纸中画出矩形，点C，D都在格点上；
(2)请用无刻度的直尺取的中点E（保留作图痕迹，体现作图过程），连接，并直接写出的面积．
23．计算：
(1)；
(2)已知，，求的值．
24．如图1，点E、F分别在菱形的边、上，且．
(1)求证：
(2)如图2，若，连接，M是中点，连接，在不添加字母和任何辅助线的情况下，直接写出图中的所有直角三角形．
25．在物理课上，老师带领同学们进行物理实验，同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在滑轮A的正下方物体C上．滑块B与物体C均放置在水平地面上的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，实验初始状态如图1所示，物体C到滑块B的水平距离，绳子的总长度为18dm（定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计）．
(1)求物体C到滑轮A的垂直距离AC的长；
(2)如图2，若物体C升高了7dm，求滑块B向左滑动了多少dm
26．如图1，在四边形中，与互补，，连接，．
(1)求证：；
(2)如图2，的角平分线交延长线于点，延长至点，连接，若，求证：；
(3)在（2）的条件下，如图3，延长和交于点，若，，求线段的长．
27．如图1，在平面直角坐标系中，点为x轴上一点，以为边作平行四边形，交轴于点，，．
(1)求点的坐标；
(2)如图2，点在线段上，连接，若线段的长为，的面积为，用含m的式子表示s．
(3)在（2）的条件下，如图3，若时，交y轴于点F，点E在的延长线上，连接AE，若，求点E的横坐标．
参考答案含解析
1．B
解析：解：A、被开方数含分母，不是最简二次根式，选项说法错误，不符合题意；
B、被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，是最简二次根式，选项说法正确，符合题意；
C、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，选项说法错误，不符合题意；
D、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，选项说法错误，不符合题意；
故选：B．
2．D
解析：解：A．， A错误；
B．， B错误；
C．， C错误；
D．，计算结果正确， D正确．
3．D
解析：解：该正六边形的一个外角的度数为，
∴它的一个内角的度数为．
4．C
解析：解：由题意，，，，，
∴，
∴点P所表示的数是．
5．B
解析：解：四边形是平行四边形，
，．
，
．
， 即．
在中，由勾股定理得： ．
．
6．D
解析：解：A、，， ，
∴ ， ，
即： ，
∵，，
∴四边形是平行四边形，故选项不符合题意；
B、∵，，
∴四边形是平行四边形，故选项不符合题意；
C、∵，，
∴四边形是平行四边形，故选项不符合题意；
D、∵，，
∴四边形不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项符合题意．
7．C
解析：解：∵四边形是矩形，，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴矩形的面积为．
8．C
解析：解：∵直线，点P是直线上一个动点，
∴无论点P怎么移动，点P到的距离不变，
∴的底不变，高不变，面积也不变，
故选：C．
9．A
解析：解：在中，
∵，，
∴，
作图可知：，
∴，
∴，
∴，
又∵，即，
在中，，
∴
解得：．
10．A
解析：解：是的中点，是上的动点，
与不一定垂直，故A错误；
四边形是平行四边形，，分别是，的中点，
，，且，，
，，
在和中，
，
，
，故B正确；
，
，
，
，
四边形是平行四边形，故C正确；
∵
∴
又∵
∴四边形是平行四边形
∴
又∵
∴，故D正确．
11．
解析：解：由题意可得，
解得：，
故答案为：．
12．900
解析：解：七边形的内角和，
故答案为：900．
13．5
解析：解：在中，，，
．
D为斜边的中点，
．
故答案为5．
14．20
解析：解：如图，根据题意得AO=×8=4，BO=×6=3，
∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD．
∴△AOB是直角三角形．
∴．
∴此菱形的周长为：5×4=20
故答案为：20．
15．2
解析：解：∵ ，，
∴．
∴该三角形为直角三角形，两条直角边长分别为和．
∴三角形的面积为：．
16．/
解析：解：连接，
，，，
，
点，分别是，的中点，
．
17．
解析：解：
．
18．10或15
解析：解：如图，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴ ，
∵平分，
∴ ，
∴ ，
∴，
①当，时，
，，
矩形的面积 ；
②当，时，
，，
矩形的面积 ；
综上所述：该矩形的面积为10或15．
19．1
解析：解：∵，，
∴，
∵，
∴，
根据镜面的反射性质，反射角等于入射角，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴
∴，
即淇淇的鞋底A处到镜子底端O的距离为．
20．①③④
解析： 四边形 是正方形 ，
，
，
，
，
，
，
在 和 中
， 故结论①正确
若 ，则 在 和 中
，即 为 中点 题目未限定 为 中点，故 不一定等于 ，
故结论②错误，
在上取点，使，连接，如图2，
∵，过点 作 交 的延长线于点 ，
四边形 是正方形 ，
，，
∴，，
∴，
平分
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
四边形 是平行四边形 故结论③正确
，
，
在上取点，使， 如图3，连接、，
平分 ，
∴点 、是 关于直线 的对称点，连接，
∴，
∴ ，当、、三点在一条直线上时，等号成立，此时最小值为 的长，
∵，
∴，
的最小值是 故结论④正确．
综上所述，正确的结论是①③④ ．
21．，
解析：解：原式，
，
，
，
，
当时，原式，
，
．
22．(1)图见详解
(2)图见详解，5
解析：（1）
取格点，，根据网格性质可得，，
则四边形为矩形；
（2）解：如图，通过格点构造了矩形，连接与的交点即为，连接；
根据勾股定理得，，，
是的中点，
，
．
23．(1)
(2)
解析：（1）解：
．
（2）解：
，
∴ =
24．(1)证明见解析
(2)，，，
解析：（1）证明：四边形是菱形，
，，
在和中，
，
，
；
（2）解：由（1）得，
是等腰三角形，
M是中点，
，
，
和是直角三角形．
四边形是菱形，
，
，
在中，，
，
，
，
，
和是直角三角形，
故不添加任何辅助线的情况下，图中所有的直角三角形有，，，．
25．(1)
(2)
解析：（1）解：设，则，
在中，，
解得，
即；
（2）解：由题可知，物体C升高了7dm，则，，
如图，由（1）可知，，，
在中，，
，
则．
26．(1)见解析
(2)见解析
(3)
解析：（1）证明：∵在四边形中，与互补，即
∴
∵，
∴
∵
∴
∴
∴
∴；
（2）证明：如图，连接，
由（1）可得，的角平分线交延长线于点，
∴垂直平分，
∴，
又∵
∴
∴
∴
∵，
∴
∴
∴；
（3）解：设，则
由（1）可得，，则
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
在中，
∵
∴是等边三角形，
∴
在上截取
在和中，
∴
∴，
∴
∴
∴
∵
∴四边形是平行四边形，
∴
设，则，
∵，，
∴
解得：，则，
∴，
过点作于点，
∵
∴
∴
∴
在中，
在中，
∴．
27．(1)
(2)
(3)
解析：（1）解：由得，
又∵，故．
∵四边形为平行四边形，
∴且．
∴
又∵，
∴，
∴，，
∴
（2）解：如图，连接，
∵，
∴的面积为
（3）解：当时，即，解得，即，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，，，
∴，，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
过点作，垂足为，过点作，垂足为，
∴，
∴，
即是的角平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
即点E的横坐标为．

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