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陕西咸阳市实验中学2025-2026学年高一下学期期中质量检测数学试卷
一、单选题
1．设复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知一灯罩呈圆台结构，上、下底皆挖空，上底半径为，下底半径为，母线长为，侧面计划选用丝绸材质布料制作，若不计制作布料的浪费，则制作这样两个灯罩需要的丝绸材质布料面积为（ ）
A． B． C． D．
3．有一块四边形的菜地，用斜二测画法画出它的直观图是直角梯形，如图所示，，，，，则这块菜地的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．设有两条不同的直线、和两个不同的平面，，下列说法正确的是（ ）
A．若，且，则
B．若，且，则
C．若，，则
D．若，，且，，则
5．已知向量，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，某建筑物的高度，一架无人机上的仪器观测到建筑物顶部的仰角为15°，地面某处的俯角为45°，且，则此无人机距离地面的高度为（ ）
A． B． C． D．
7．棱长均为2的四面体的外接球体积为（ ）
A． B． C． D．
8．在△ABC中，设，那么动点M的轨迹必通过△ABC的（ ）
A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心
二、多选题
9．已知复数，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．的实部为1
C．
D．若，则的最大值为8
10．如图所示，圆锥的底面半径，高，是底面圆周的一条直径，M为底面圆周上与B不重合的一点，则下列命题正确的是（ ）
A．圆锥的体积为
B．圆锥的表面积为
C．的面积的最大值是
D．有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A爬行到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为
11．已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，则下列说法错误的是（ ）
A．若，则
B．若是边长为1的正三角形，则
C．若，，，则有两解
D．若，则是等腰直角三角形
三、填空题
12．已知空间两个角与，若，，，则______.
13．已知正方体的棱长为2，平面过体对角线，且与直线平行，则平面截该正方体所得截面的周长为__________.
14．如图，在中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同两点M，N．设，，，，，则t的最小值为________．
四、解答题
15．已知复数，．
(1)若z是实数，求m的值．
(2)若z是纯虚数，求m的值．
(3)若z对应复平面上的点在第四象限，求m的范围；
16．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F，G分别在边AB，AD，BC上，且满足AE＝AB，AF＝AD，BG＝BC，设，.
（1）用，表示，；
（2）若EF⊥EG，，求角A的值.
17．已知向量，且与的夹角为.
(1)求；
(2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
18．在中，角的对边分别为，满足.
(1)求角的大小；
(2)若，求周长的最小值；
(3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围.
19．如图，四棱锥中，，，分别为线段的中点，与交于O点．

(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面；
(3)设平面交平面于直线l．
①求证：；
②求的值．
参考答案
1．D
【详解】由题意知，复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限.
2．B
【详解】如下图所示：
由题意可知制作这样两个灯罩需要的丝绸材质布料面积为.
3．A
【详解】在直观图中，过点作，垂足为点，
则在中，，，所以，
而四边形为矩形，，所以，
所以.
由此可还原原图形如图所示.在原图形中，，，，
且，，
所以这块菜地的面积为.
4．C
【详解】对于A选项，若，且，则与平行、相交或异面，A错；
对于B选项，若，且，则与平行或相交，B错；
对于C选项，若，，由面面平行的性质可知，C对；
对于D选项，若，，且，，则与平行或相交，D错.
5．A
【详解】向量，，
则在上的投影向量为.
6．B
【详解】由题意，在中，，，所以.
在中，，，
所以，
由正弦定理，.
又为等腰直角三角形，所以.
故选项B正确.
7．B
【详解】作在底面上的投影，连接，则外接球球心位于上，
连接，
设外接球半径为，则，已知，则
，
，
在中，，即，
解得，
．
8．C
【详解】设的中点是，
，
即，所以，
所以动点在线段的中垂线上，故动点的轨迹必通过的外心，
故选：C.
9．ACD
【详解】由，得，A正确；
，实部为，B错误；
，C正确；
由条件得：，
平方得： ，
该式表示：点在以为圆心、为半径的圆上，
是点到原点的距离的平方：
原点到圆心的距离为，圆上点到原点的最大距离为，
故的最大值为 ，D正确.
10．AB
【详解】圆锥的底面半径，高，所以母线长为2；
对于A.圆锥的体积为，所以A正确；
对于B.圆锥的表面积为，所以B正确；
对于C. 由轴截面为等腰三角形，且顶角为，
当等腰的顶角为时，的面积取得最大值为：，所以C错误；
对于D. 圆锥的底面圆周长为，所以侧面展开图的圆心角为，所以圆锥侧面展开图中圆弧，蚂蚁沿圆锥的侧面从点A爬行到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为线段，且，所以D错误；
故选：AB.
11．BD
【详解】中，大角对大边，若，则，
由正弦定理，则，
，即，故A正确；
正三角形中，夹角为，
，故B错误；
已知，，，
所以，故有两解，故C正确；
由正弦定理得，则可化为
，即，有两种情况：
，即，为等腰三角形；
或，即，为直角三角形；
所以不一定是等腰直角三角形，故D错误．
12．或
【详解】因为，，故或，
故答案为：或
13．
【详解】
如图，因为，平面，平面，
所以平面，又平面，
所以平面截该正方体所得截面即为正方体对角面，
易知，
所以平面截该正方体所得截面的周长为.
14．
【详解】由题意，又共线，则，
，，，
所以，
当且仅当，即时取等号，即的最小值为.
15．(1)或；
(2)；
(3).
【详解】（1）因为为实数，
所以，解得或.
（2）因为是纯虚数，所以有，解得.
（3）因为对应复平面上的点在第四象限，所以有，
解得.
16．（1），；（2）.
【详解】（1）由平面向量的线性运算可知，
.
（2）由题意，因为EF⊥EG，所以
，解得，
所以，则可化简上式为，解得，又，故.
17．(1)；
(2).
【详解】（1）由向量，得，且，
由与的夹角为，得，解得，则 ，
于是，所以.
（2）由（1）知向量，
则，
由与的夹角为锐角，得且与不共线，
由，解得且，
所以实数的取值范围为.
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为，所以，
由余弦定理可得，
因为，所以；
（2）因为，
所以，
由基本不等式可知，当且仅当时等号成立，
所以，即，
所以当时，周长有最小值为；
（3）由正弦定理可得，所以，，
因为，所以，
则
，
因为是锐角三角形，有，即，
所以，，，
因为，
所以，即面积的取值范围是.
19．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)①证明见解析；②
【详解】（1）证明：连接EC，
，，
，，
四边形是平行四边形，
O为的中点，
又F是的中点，
，
又平面，平面，
平面BEF．
（2）证明：F，H分别是的中点，
，
又平面PAD，平面PAD，
平面PAD，
又O是的中点，H是的中点，
，平面，平面，
平面，
又在平面内相交于点H，
平面平面．
（3）①证明：，平面，平面，
平面，
又平面，平面平面直线l，
．
②且，
，
又E，H分别为的中点，
，且三棱锥与三棱锥高之比为，
．

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