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华师大版（2024）八年级下册 17.1 平行四边形的性质 分层练习
利用平行四边形的对边平行且相等求解
1已知平行四边形ABCD的周长为32，AB＝4，则BC的长为(　　)
A. 4 B. 12 C. 24 D. 28
2如图，在 ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝6，EF＝2，则BC长为(　　)
A. 8 B. 10 C. 12 D. 14
3 如图，在 ABCD中，P是CD边上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，若AD＝5，AP＝8，则△APB的周长是__________．
4如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB于点F，交DC的延长线于点G，则DE＝__________.
利用平行四边形的对边平行且相等证明
1如图，在中，由尺规作图的痕迹，判断下列结论中不一定成立的是（　　　）
A. B. C. D.
2题目：求证：平行四边形的两组对边分别相等．
已知：如图，四边形是平行四边形．
求证：，．
证明：连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，．
其中，在“”处应补充的步骤依次是（　　）
A.，
B.，
C.，
D.，
3如图，在 中，分别以、为边向外作等边、，延长交于点，点在点、之间，连接、，则以下四个结论一定正确的是（ ）
①≌；②；③是等边三角形；④．
A.只有①② B.只有①②③ C.只有③④ D.①②③④
4如图，，四边形是平行四边形，依据以上条件可以判定，这种判定三角形全等的方法，可以简写为“ ”（答案不唯一）．
5如图，在中，E点是BD的中点，MN经过E点分别与AD、BC相交于点M、N．下列四个结论：
①；②；③A、C、E三点共线；④若，则．其中正确的结论有 ．（写出所有正确结论的序号）
6 如图，在 ABCD中，E、F为对角线BD上的两点，且BE＝DF.求证：∠BAE＝∠DCF.
利用平行四边形的对角相等求解
1如图，在 ABCD中，若∠B+∠D＝110°，则∠B的度数为（　　）
A.45° B.55° C.65° D.70°
2如图，在平行四边形ABCD中，BA＝BD，∠AEB＝90°，若∠C＝70°，则∠DAE＝（　　）
A.10° B.20° C.30° D.40°
3在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C＝2：3：2，则∠D＝（　　）
A.36° B.108° C.72° D.60°
4如图，在平行四边形ABCD中，DB＝DC，∠A＝67°，CE⊥BD于点E，则∠BCE＝______.
5如图，在平行四边形ABCD中，E是BC上的一点，且AB＝BE，AE、DC的延长线相交于点F，∠F＝62°，求∠D的度数．
6如图，如果 ABCD的一内角∠BAD的平分线交BC于点E，且AE＝BE，求 ABCD的内角∠D、∠BAD的度数．
利用平行四边形的对角相等证明
1如图，四边形ABCD为平行四边形，若将△ACB沿对角线AC翻折得到△ACE，连接ED，则图中与∠CAD度数一定相等（除∠CAD外）的角的个数有（　　）
A.2个 B.4个 C.5个 D.7个
2如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE、BF相交于H，AB=BH，直线BF交线段AD的延长线于G，下面结论①∠A=∠BHE；②BD=BE；③∠BDE=45°；④∠BHD=∠BDG，其中正确的个数是（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3如图，四边形是平行四边形，点在上．以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接，．求证：．
4如图，在中，点、分别在、的延长线上，且，分别与、交于点、，求证：．
求平行线间的距离
1已知直线mn，如图，下列哪条线段的长可以表示直线与之间的距离（ ）
A.只有 B.只有 C.和均可 D.和均可
2如图，，，的面积为，则四边形的面积为（ ）
A. B. C. D.
3如图，在中，，，，则与间的距离为（ ）
A.5 B.10 C. D.26
4如图，，点为直线上的任意一点，三角形的面积为6，，则直线与的距离为 ．
5如图，直线，与，分别相交于点A，，且，交直线于点．
(1)若∠1=58°，求的度数；
(2)若，，，求直线与的距离．
6如图所示，已知AD∥BC，AB∥EF，CD∥EG，且点E在直线AD上，点F，H，G在直线BC上，EH平分∠FEG，∠A＝∠D＝110°，线段EH的长是不是两条平行线AD，BC之间的距离？为什么？
利用平行线间的距离解决问题
1如图，，，，垂足为 A，，垂足为D．下面四个结论：①；②；③；④．其中正确的有（　　）
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
2如图，将面积为5的三角形沿方向平移至三角形的位置，平移的距离是边长的两倍，那么图中的四边形的面积是（ ）
A.15 B.20 C.25 D.30
3如图，，AC与BD相交于点O．若三角形AOB的面积为4，则三角形COD的面积为（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
4如图，的面积为18，点E在上，点F，G在上，则图中阴影部分的面积为 ．
5如图，在中，按下列要求画图并填空：
(1)画边上的高；
(2)在上，连接，使得，请画出点；
(3)已知，，，那么点到直线的距离为_______，的面积为_______．
利用平行四边形的对角线互相平分求解
1如图，在中，，对角线，相交于点O，则的长不可以是（ ）
A. B. C. D.
2如图，平行四边形的对角线交于点O，若，则的长为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
3如图，在中，对角线相交于点O，过点O作交于点E．若，则的长为 ．
4如图，在平行四边形中，，，，则的长为 ．
5如图，的对角线交于点O，，，且．
(1)求的长；
(2)求的面积．
6综合与实践：
如图，已知中，对角线，交于点，过点任作直线分别交，于点，．
(1)请判断与的数量关系，并说明理由；
(2)若，，，求四边形的周长；
(3)若，，，，请直接写出的长．
利用平行四边形的对角线互相平分证明
1证明：平行四边形对角线互相平分，
已知：四边形是平行四边形，如图所示．
求证：，．
以下是排乱的证明过程，正确的顺序应是（　　）
∴，．
∵四边形是平行四边形．
∴，．
∴．
∴，．
A. B. C. D.
2平行四边形中，对角线、交于点（如图），则图中全等三角形的对数为（　　）
A.2 B.3 C.4 D.5
3如图，点O是对角线的交点，过点O分别交于点E，F，则下列结论不成立的是 ．（填序号）
①；②；③；④
4以下是华师版八年级下册数学教材第78页的部分内容：
例6：如图平行四边形的对角线和相交于点O，过点O且与边，分别相交于点E和点F．求证：．
(1)请你写出完整的证明过程；
(2)连接，若，的周长是5，则平行四边形的周长是__________．
5[教材呈现]如图是华师版八年级下册数学教材第77页的部分内容．
请根据教材提示，结合图1，写出完整的证明过程．
[性质应用]如图2，在中，对角线相交于点，过点且与边分别相交于点．
求证：．
[拓展提升]在[性质应用]的条件下，连结．若，的周长是，则的周长是________．
华师大版（2024）八年级下册 17.1 平行四边形的性质 分层练习（参考答案）
1利用平行四边形的对边平行且相等求解
1已知平行四边形ABCD的周长为32，AB＝4，则BC的长为(　　)
A. 4 B. 12 C. 24 D. 28
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∵平行四边形ABCD的周长是32，
∴2(AB＋BC)＝32，
∴BC＝12.
故选B.
2如图，在 ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝6，EF＝2，则BC长为(　　)
A. 8 B. 10 C. 12 D. 14
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，DC＝AB＝6，AD＝BC，
∴∠AFB＝∠FBC，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠FBC，则∠ABF＝∠AFB，
∴AF＝AB＝6，
同理可证：DE＝DC＝6，
∵EF＝AF＋DE－AD＝2，即6＋6－AD＝2，解得AD＝10，
故选B.
3 如图，在 ABCD中，P是CD边上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，若AD＝5，AP＝8，则△APB的周长是__________．
【答案】24
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AB∥CD，
∴∠DAB＋∠CBA＝180°，
又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，
∴∠PAB＋∠PBA＝(∠DAB＋∠CBA)＝90°，
在△APB中，∠APB＝180°－(∠PAB＋∠PBA)＝90°；
∵AP平分∠DAB，
∴∠DAP＝∠PAB，
∵AB∥CD，
∴∠PAB＝∠DPA，
∴∠DAP＝∠DPA，
∴△ADP是等腰三角形，
∴AD＝DP＝5，
同理：PC＝CB＝5，
即AB＝DC＝DP＋PC＝10，
在Rt△APB中，AB＝10，AP＝8，
∴BP＝＝6，
∴△APB的周长＝6＋8＋10＝24.
4如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB于点F，交DC的延长线于点G，则DE＝__________.
【答案】
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝3，BC＝AD＝4，AB∥CD，
∴∠GCE＝∠B＝60°，
∵E是BC的中点，
∴CE＝BE＝2，
∵EF⊥AB，
∴EF⊥DG，
∴∠G＝90°，
∴CG＝CE＝1，
∴EG＝＝=，DG＝CD＋CG＝3＋1＝4，
∴DE＝＝＝.
2利用平行四边形的对边平行且相等证明
1如图，在中，由尺规作图的痕迹，判断下列结论中不一定成立的是（　　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由作图的痕迹得AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE，所以A选项不符合题意；
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，CD∥AB，
∴∠BAE=∠DEA，
∴∠DEA=∠DAE，
∴DA=DE，所以B选项不符合题意，
∴CD=DE，所以D选项不符合题意，
不能确定DE=BE，所以C选项符合题意．
故选：C．
2题目：求证：平行四边形的两组对边分别相等．
已知：如图，四边形是平行四边形．
求证：，．
证明：连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，．
其中，在“”处应补充的步骤依次是（　　）
A.，
B.，
C.，
D.，
【答案】D
【解析】连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，．
∴在“”处应补充的步骤依次是，．
故选：D．
3如图，在 中，分别以、为边向外作等边、，延长交于点，点在点、之间，连接、，则以下四个结论一定正确的是（ ）
①≌；②；③是等边三角形；④．
A.只有①② B.只有①②③ C.只有③④ D.①②③④
【答案】B
【解析】、是等边三角形，
，，
∵四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
≌，故正确；
，
，
，故正确；
同理可得：，
，
≌，
，
，
，
，
是等边三角形，故正确；
在等边三角形中，
等边三角形顶角平分线、底边上的中线、高和垂直平分线是同一条线段，
如果，则是的中点，，题目缺少这个条件，不能求证，故错误．
故选：B．
4如图，，四边形是平行四边形，依据以上条件可以判定，这种判定三角形全等的方法，可以简写为“ ”（答案不唯一）．
【答案】（答案不唯一，，，，）
【解析】∵四边形是平行四边形，
∴
∵，
∴，则，
在中，，
∴ ,
∵，
∴，
在与中，，
∴ ,
在与中，，
∴ ,
在与中，，
∴ ,
在与中，，
∴ ,
故答案为：（答案不唯一，，，，）．
5如图，在中，E点是BD的中点，MN经过E点分别与AD、BC相交于点M、N．下列四个结论：
①；②；③A、C、E三点共线；④若，则．其中正确的结论有 ．（写出所有正确结论的序号）
【答案】①③④
【解析】∵平行四边形ABCD中，E是BD的中点，
∴BE=DE，AD∥BC，AD=BC，
∴∠MDE=∠NBE，∠DME=∠BNE，
∴ DME BNE，
∴DM=BN，
∴AM=CN，故①正确；
由图可得：BM>AB≠AD=BC，
故②错误；
连接AE、CE，
四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∵平行四边形ABCD中，E是BD的中点，
∴BE=DE，
∴ ADE CBE，
∴AE=CE，∠AED=∠CEB，
点A、E、C三点共线，故③正确；
如图所示：过点D、E两点向BC作垂线分别为Q和P点，
∵E是BD的中点，且点E为平行四边形对角线的交点，
∴DQ=2EP，
，
，
∴，故④正确；
故答案为：①③④．
6 如图，在 ABCD中，E、F为对角线BD上的两点，且BE＝DF.求证：∠BAE＝∠DCF.
【答案】证明　∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，
在△ABE和△DCF中，BA=DC,
∠ABE＝∠CDF，BE＝DF，
∴△ABE≌△DCF(SAS)，
∴∠BAE＝∠DCF.
3利用平行四边形的对角相等求解
1如图，在 ABCD中，若∠B+∠D＝110°，则∠B的度数为（　　）
A.45° B.55° C.65° D.70°
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，
∵∠B+∠D＝110°，
∴∠B＝∠D＝55°，
故选：B．
2如图，在平行四边形ABCD中，BA＝BD，∠AEB＝90°，若∠C＝70°，则∠DAE＝（　　）
A.10° B.20° C.30° D.40°
【答案】B
【解析】∵平行四边形ABCD，
∴BA＝CD，AD∥BC，
∵BA＝BD，
∴BD＝CD，
∴∠DBC＝∠C＝70°，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC＝70°，
∵∠AEB＝90°，
∴∠AED＝90°，
∴∠DAE＝90°﹣70°＝20°，
故选：B．
3在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C＝2：3：2，则∠D＝（　　）
A.36° B.108° C.72° D.60°
【答案】B
【解析】在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D＝2：3：2：3，
设每份比为x，则得到2x+3x+2x+3x＝360°，
解得x＝36°
则∠D＝108°．
故选：B．
4如图，在平行四边形ABCD中，DB＝DC，∠A＝67°，CE⊥BD于点E，则∠BCE＝______.
【答案】23°
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD＝∠A＝67°，
∵DB＝DC，
∴∠DBC＝∠BCD＝67°，
∵CE⊥BD，
∴∠CEB＝90°，
∴∠BCE＝90°－67°＝23°.
5如图，在平行四边形ABCD中，E是BC上的一点，且AB＝BE，AE、DC的延长线相交于点F，∠F＝62°，求∠D的度数．
【答案】解　∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＝∠B，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠F＝62°，
∵AB＝BE，
∴∠AEB＝∠BAE＝62°，
∴∠B＝180°－2×62°＝56°，
∴∠D＝56°.
6如图，如果 ABCD的一内角∠BAD的平分线交BC于点E，且AE＝BE，求 ABCD的内角∠D、∠BAD的度数．
【答案】解　∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠B＝∠D，∠C＝∠BAD，
∵EA平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝∠AEB，
∵AE＝BE，
∴∠EAB＝∠B＝∠AEB，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠B＝∠D＝60°，∠C＝∠BAD＝120°.
4利用平行四边形的对角相等证明
1如图，四边形ABCD为平行四边形，若将△ACB沿对角线AC翻折得到△ACE，连接ED，则图中与∠CAD度数一定相等（除∠CAD外）的角的个数有（　　）
A.2个 B.4个 C.5个 D.7个
【答案】B
【解析】设AD与CE交于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠B=∠ODC，，BC=AD，
∴∠CAD=∠ACB，
由折叠的性质可得：AE=AB，∠B=∠AEO，BC=CE，
∴AE=CD，∠AEO=∠CDO，AD=CE，
又∵∠AOE=∠COD，
∴△AOE≌△COD（AAS），
∴OD=OE，
∴OA=OC，
∴∠CAD=∠ACO，∠OED=∠ODE，
∵∠AOC=∠EOD，
∴∠OED+∠ODE=∠OAC+∠OCA，
∴∠CAD=∠ACO=∠OED=∠ODE，
∴与∠CAD度数一定相等的角的个数为4个，
故选B．
2如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE、BF相交于H，AB=BH，直线BF交线段AD的延长线于G，下面结论①∠A=∠BHE；②BD=BE；③∠BDE=45°；④∠BHD=∠BDG，其中正确的个数是（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，AB=BH，
∴AB=CD=BH，∠A=∠C，
∵DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，
∴∠C+∠CBF=∠C+∠CDE=90°，
∴∠CBF=∠CDE，
在△BEH和△DEC中，
∴△BEH≌△DEC，
∴∠BHE=∠C，
∴∠A=∠BHE；所以①正确；
∵△BEH≌△DEC，
∴BE=DE，
∴△BDE为等腰直角三角形，
∴BD=BE，∠BEH=∠BDE=45°，所以②③正确；
∵∠BHD=90°+∠EBH，∠BDG=90°+∠BDE，
∵∠BDE＞∠EBH，
∴∠BDG＞∠BHD，所以④错误；
综上，①②③正确．
故选：C．
3如图，四边形是平行四边形，点在上．以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接，．求证：．
【答案】证明：根据题意得：，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
在和中，
，
∴，
．
4如图，在中，点、分别在、的延长线上，且，分别与、交于点、，求证：．
【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
∴，
在和中，
,
，
．
5求平行线间的距离
1已知直线mn，如图，下列哪条线段的长可以表示直线与之间的距离（ ）
A.只有 B.只有 C.和均可 D.和均可
【答案】C
【解析】从一条平行线上的任意一点到另一条平行线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，
线段和都可以示直线与之间的距离，
故选：C．
2如图，，，的面积为，则四边形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，
四边形为平行四边形，
，
，
，
点和点到直线的距离相等，
设点到的距离为，
的面积为，
，
解得，
四边形的面积．
故选：B．
3如图，在中，，，，则与间的距离为（ ）
A.5 B.10 C. D.26
【答案】B
【解析】∵四边形为平行四边形，
∴，与互相平分，
又∵，
∴，
在中，，
∴，
故与间的距离为10；
故选：B．
4如图，，点为直线上的任意一点，三角形的面积为6，，则直线与的距离为 ．
【答案】3
【解析】作PM⊥AB于M，
∵AB//CD，
∴PM的长就是两平行线间的距离，
∵三角形PAB的面积为6，AB=4，
∴AB PM=6，即×4PM＝6，
∴PM=3．
故答案为：3．
5如图，直线，与，分别相交于点A，，且，交直线于点．
(1)若∠1=58°，求的度数；
(2)若，，，求直线与的距离．
【答案】解：（1）∵，
∴∠BAC=90°，
∵∠1=58°，
∴∠ABC=90°-58°=32°,
∵,
∴∠2=∠ABC=32°．
（2）如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，
所以线段AD的长度等于a与b之间的距离，
因为AB⊥AC，
所以AB·AC=BC·AD，
所以AD= ，
所以a与b的距离为．
6如图所示，已知AD∥BC，AB∥EF，CD∥EG，且点E在直线AD上，点F，H，G在直线BC上，EH平分∠FEG，∠A＝∠D＝110°，线段EH的长是不是两条平行线AD，BC之间的距离？为什么？
【答案】解：是．
理由：因为AB∥EF，
所以∠A＝∠FED＝110°.
因为CD∥EG，所以∠D＝∠AEG＝110°，
所以∠AEF＝∠DEG.
因为EH平分∠FEG，
所以∠FEH＝∠GEH，
所以∠FEH＋∠AEF＝∠GEH＋∠DEG，
即∠AEH＝∠DEH.
而∠AEH＋∠DEH＝180°，
所以∠AEH＝∠DEH＝90°，
所以EH⊥AD，
所以EH的长是两条平行线AD，BC之间的距离．
6利用平行线间的距离解决问题
1如图，，，，垂足为 A，，垂足为D．下面四个结论：①；②；③；④．其中正确的有（　　）
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【答案】A
【解析】∵，，，，
∴四边形和四边形均为平行四边形，
∴，，，，
∴向右平移即可得到，
∴，
∵平行四边形和平行四边形有公共边和公共的高，
∴，
∴① ② ③ ④都正确，
故选：A．
2如图，将面积为5的三角形沿方向平移至三角形的位置，平移的距离是边长的两倍，那么图中的四边形的面积是（ ）
A.15 B.20 C.25 D.30
【答案】B
【解析】如图连接，
由平移的性质可得三角形的面积等于三角形的面积，
由平移的定义可得平移距离，，
∴，
由可得、间的距离相等，
∴三角形、三角形和三角形等高，
∴三角形的面积等于三角形的面积，三角形的面积等于2倍三角形的面积，
∵四边形的面积=三角形的面积+三角形的面积+三角形的面积，
∴四边形的面积，
故选：B．
3如图，，AC与BD相交于点O．若三角形AOB的面积为4，则三角形COD的面积为（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
【答案】A
【解析】过点A作于D点E，如图所示．
因为，
所以，
，
所以，
所以，
所以，
即．
4如图，的面积为18，点E在上，点F，G在上，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】9
【解析】∵四边形是平行四边形，
∴，
设和之间的距离是h，则，
∵，
∴，
∴图中阴影部分的面积为9，
故答案为：9．
5如图，在中，按下列要求画图并填空：
(1)画边上的高；
(2)在上，连接，使得，请画出点；
(3)已知，，，那么点到直线的距离为_______，的面积为_______．
【答案】解：（1）如图所示，即为所求；
（2）如图所示，点E即为所求；
（3）∵，，
∴点到直线的距离为4；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
7利用平行四边形的对角线互相平分求解
1如图，在中，，对角线，相交于点O，则的长不可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵．
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴．
∴，
∴A不符合题意，
故选：A．
2如图，平行四边形的对角线交于点O，若，则的长为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】A
【解析】四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，
故选：A．
3如图，在中，对角线相交于点O，过点O作交于点E．若，则的长为 ．
【答案】
【解析】连接，
∵四边形是平行四边形，对角线相交于点O，
∴，又，
∴垂直平分线，
∴，又，
∴，则，
∴，则，
在中，，
∴，
故答案为：．
4如图，在平行四边形中，，，，则的长为 ．
【答案】5
【解析】∵在平行四边形中，，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
即，
∵，
∴，
故答案为：5．
5如图，的对角线交于点O，，，且．
(1)求的长；
(2)求的面积．
【答案】解：（1）∵，
∴，
∵，
∴设．
∵四边形是平行四边形，
∴，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，
∴.
（2）∵四边形是平行四边形，
∴.
6综合与实践：
如图，已知中，对角线，交于点，过点任作直线分别交，于点，．
(1)请判断与的数量关系，并说明理由；
(2)若，，，求四边形的周长；
(3)若，，，，请直接写出的长．
【答案】解：（1），理由如下：
四边形是平行四边形，
，，，
，
在和中，
，，，
，
．
（2），
，
，
又，
四边形的周长．
（3）∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴.
8利用平行四边形的对角线互相平分证明
1证明：平行四边形对角线互相平分，
已知：四边形是平行四边形，如图所示．
求证：，．
以下是排乱的证明过程，正确的顺序应是（　　）
∴，．
∵四边形是平行四边形．
∴，．
∴．
∴，．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，，
故答案为：．
2平行四边形中，对角线、交于点（如图），则图中全等三角形的对数为（　　）
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】C
【解析】∵四边形是平行四边形，
，，，，
在和中，
，
；
在和中，
，
；
在和中，
，
；
在和中，
，
；
所以图中全等三角形的对数共有4对，
故选：C．
3如图，点O是对角线的交点，过点O分别交于点E，F，则下列结论不成立的是 ．（填序号）
①；②；③；④
【答案】②③④
【解析】∵点O是对角线的交点，
∴，
∴
又∵，
∴ ，
∴，①成立；
∴，但不一定得出，
则不一定等于，②不一定成立；
若，则，
由题意无法明确推出此结论，③不一定成立；
由 得，但不一定得出，
则不一定等于，④不一定成立；
故答案为：②③④．
4以下是华师版八年级下册数学教材第78页的部分内容：
例6：如图平行四边形的对角线和相交于点O，过点O且与边，分别相交于点E和点F．求证：．
(1)请你写出完整的证明过程；
(2)连接，若，的周长是5，则平行四边形的周长是__________．
【答案】（1）证明：∵为平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：∵为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵的周长是5，
∴，即，
∴平行四边形的周长是10，
故答案为：10．
5[教材呈现]如图是华师版八年级下册数学教材第77页的部分内容．
请根据教材提示，结合图1，写出完整的证明过程．
[性质应用]如图2，在中，对角线相交于点，过点且与边分别相交于点．
求证：．
[拓展提升]在[性质应用]的条件下，连结．若，的周长是，则的周长是________．
【答案】解：[教材呈现]
四边形是平行四边形，
，，
，，
在和中，
，
，
，；
性质应用
四边形是平行四边形，
，，
，，
在和中，
，
，
；
[拓展提升]
如图2，，
，，
，
是等腰三角形，
，
，
的周长，
四边形是平行四边形，
，，
的周长，
故答案为：．

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