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华师大版（2024）八年级下册 18.2 菱形 分层练习
利用菱形的性质求角度
1如图，在菱形中，，，E、F为垂足，，则等于(　　)
A. B. C. D.
2如图，在菱形中，点E是边上一点，，连接．若，则的度数为(　　)

A. B. C. D.
3如图，在菱形中，直线分别交、、于点M、N和O，且，连接，若，则为(　　)

A. B. C. D.
4如图，已知四边形是菱形，对角线交于点O，，以点C为圆心，为半径作圆弧交线段于点E，则 ．
5如图，在菱形ABCD中，，则的度数是 ．
6如图，在菱形中，于点，于点．，求的度数．

利用菱形的性质求线段的长
1已知菱形的两条对角线长为8和6，那么这个菱形的高是(　　)
A. B. C. D.
2菱形中， 若对角线， 则菱形的周长是(　　)
A. B. C. D.
3如图，菱形中，，的度数是度数的2倍，则对角线长为(　　)
A. B. C. D.
4如图，木制活动衣帽架由3个全等的菱形挂钩构成，在A、E、F、C、G、H处安装上、下两排挂钩，可以根据需要改变挂钩间的距离，并在B、M处固定．已知菱形的边长为，要使两排挂钩的距离（即）为，则之间的距离是 ．

5如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作，过C点作， 两线交于E点， 连接 、，交于点F．
(1)求证：；
(2)若菱形的边长为4，，求的长．
利用菱形的性质求面积
1如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，若，则菱形的面积是(　　)

A. B.1 C. D.4
2如图，菱形的边长是5，对角线相交于点，若，则菱形的面积是(　　)
A.6 B.12 C.24 D.48
3如图，菱形的边长为，对角线相交于点O，且，则菱形的面积为(　　)

A.5 B. C.2 D.4
4如图，在菱形中，，于点E，交对角线于点P，过点P作于点F．若，则菱形的面积为 ．

5如图，已知菱形，，E、F分别是、的中点，连接、．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求菱形的面积．
利用菱形的性质证明
1如图，在菱形中，E是边上一点，连接，点F，G均在上，连接，，且，只添加一个条件，能判定的是(　　)
A. B. C. D.
2证明命题“菱形的一条对角线平分这一组对角”．
已知：如图3，是菱形的一条对角线．
求证：，．
证明：∵四边形是菱形，
…，
∴，．
以下是“…”处排乱的证明过程：①∴；②∵；③∴，．正确的证明顺序是(　　)

A.①②③ B.③①② C.②①③ D.③②①
3如图，在菱形中，对角线与相交于点O，过点C作交于点E，下列结论不一定正确的是（　　）
A. B.平分 C. D.
4如图1，将一张菱形纸片沿对角线剪开，得到和，再将以D为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使，得到如图2所示的，连接，，，有下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是 ．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
5如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作，且，连接．求证：四边形为矩形．

菱形中的翻折问题
1如图，在菱形纸片中，是边上一点，将沿直线翻折，使点落在上，连接．已知、，则的度数为(　　)

A. B. C. D.
2如图，为矩形的对角线，点E、F分别在边上，将边沿折叠，点B恰好落在上的点M处，将边沿折叠、点D恰好落在上的点N处，若四边形是菱形，则的度数为（　　）
A. B. C. D.
3如图，菱形中，，E是上的点，沿折叠，点A恰好落在上的点F，那么的度数是 ．
4如图，在菱形中，，分别在边上，，将沿折叠，点落在的延长线上的点处，则 ．

菱形中的动点问题
1如图，在菱形中，，，是边上一动点，过点分别作于点，于点，连接，则的最小值为(　　)
A. B. C. D.
2如图，在菱形中，，，点P从点A出发，以的速度沿向点B运动，同时，点Q从点C出发，以的速度沿向点B运动，设点P的运动时间为，当为等边三角形时，t的值为（　　）
A.1 B.1.3 C.1.5 D.2
3如图，在菱形中，°，在对角线上任取一点Р（端点除外），连接、．在BA的延长线上取一点Q，使．当点Р在线段上移动时：①；②当点P沿CA方向运动时，的度数先变小，后变大；③；④．其中，说法正确的序号是 ．
4在菱形ABCD中，∠C=120°，点E是AD边的中点，点P是对角线BD上的动点，则当PA+PE的值最小时，∠APB= ．
5如图，在菱形中，，，点E是边的中点，点M是边上的一个动点（且不与点A重合），延长交的延长线于点N，连接，．
(1)求证：；
(2)当为何值时，四边形是矩形？并说明理由．
6在中，，点D为射线上一动点（点D不与B，C重合），以为边作菱形，使，连接．
(1)如图1，当点D在线段上时，直接写出线段与的数量关系；
(2)如图2，当点D在线段BC的延长线上，且时，求证：．
用定义判定菱形
1如图，在中，，，将线段水平向右平移a个单位长度得到线段，当四边形为菱形时，则a的值为(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4
2如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是(　　)
A. AB＝BC B. AC＝BC C. ∠B＝60° D. ∠ACB＝60°
3汶川地震后，吉林电视台法制频道在端午节组织发起“绿丝带行动”，号召市民为四川受灾的人们祈福．人们将绿丝带剪成小段，并用别针将折叠好的绿丝带别在胸前，如图所示，绿丝带重叠部分形成的图形是（　　）
A.正方形 B.等腰梯形 C.菱形 D.矩形
4如图，在矩形中，，点M、N分别在边上，连．若，则四边形的形状是 ．
5如图，已知AB∥CD，∠BAC的平分线与CD交于点E，∠ACD的平分线与AB交于点F，试说明：四边形ACEF是菱形．
用边判定菱形
1四条边都相等的四边形是(　　)
A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.任意四边形
2如图，已知△ABC，AB＝AC，将△ABC沿边BC翻转，得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC，则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是(　　)
A.一组邻边相等的平行四边形是菱形
B.四条边相等的四边形是菱形
C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D.对角线互相垂直的平分四边形是菱形
3如图，在矩形中，对角线相交于点O，且，．求证：四边形是菱形．
4如图，是由在平面内绕点旋转而得，且，，连接．

(1)求证：；
(2)试说明四边形为菱形．
添加一个条件是菱形
1如图，平行四边形中，点在对角线上，且，要使四边形为菱形，现有三种方案：

①只需要满足；
②只需要满足；
③只需要满足
则上述方案正确的是(　　)
A.①②③ B.①③ C.③ D.②③
2如图，的对角线，相交于点，添加下列条件仍不能判断四边形是菱形的是(　　)

A. B. C. D.
3嘉嘉自编一题：“如图，在四边形中，对角线交于点O，，．求证：四边形是菱形．”并将自己的证明过程与同学淇淇交流．
证明：∵，，
∴垂直平分，
∴，，
∴四边形是菱形．

淇淇看完后认为这个题目需要补充一个条件才能证明．下列正确的是(　　)
A.题目严谨，不用添加条件
B.题目不严谨，可补充：
C.题目不严谨，可补充：
D.题目不严谨，可补充：
4如图，四边形是平行四边形，分别延长至点F、E，使得，连接．请再添加一个条件： ，使得四边形是菱形，并说明理由．（不再添加任何线条、字母）
5如图，已知平行四边形中，延长至点，使，连接和．
(1)求证：；
(2)请你给图中补充适当的条件，使四边形成为菱形；请结合补充条件证明.
6如图，的对角线与相交于点O，过点B作，过点C作，与相交于点P．

(1)证明四边形为平行四边形；
(2)给添加一个条件，使得四边形为菱形，并说明理由．
综合利用菱形的判定与性质进行求解
1在中，用直尺和圆规作图的痕迹如图所示．若，则(　　)
A.10 B.8 C.6 D.4
2如图，在矩形中，对角线相交于点，，，若，，则四边形的周长为(　　)

A. B. C. D.
3如图，将一张矩形纸片沿着对角线向上折叠，顶点C落到点E处，交于点F．过点D作，交于点G，连接交于点O，，，则 ．

4如图，在的两边上分别截取，使，分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C，连接，若，四边形的面积为，则的长为 ．
5如图，在中，是它的一条对角线，作的垂直平分线，分别交于点．

(1)求证：；
(2)连接，若，求的度数．
综合利用菱形的判定与性质进行证明
1如图，现有一张矩形纸片，，，点M，N分别在矩形的边，将矩形纸片沿直线折叠，使点C落在边上点P处，连接，交于点Q，
①；
②四边形是菱形；
③P，A重合时，；
④点C、M、G三点共线．
其中正确的结论有（　　）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2如图，在四边形中，是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，则下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④．其中正确的个数为(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4
3如图，在中，分别以B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线交于点O，交于点E，F，下列结论不正确的是(　　)

A. B. C. D.
4如图，是的边的垂直平分线，垂足点为点O，与的延长线交于点E，连接，，，则下列结论：①；②四边形是菱形；③；④，其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号）．
5如图，在四边形中，，交于点，过四边形的顶点作，且，线段交于点，交于点，若三点共线，则以下说法：四边形为菱形； ； ； ，正确的有 ．
6如图，中，是上一点，交于，交于．

(1)求证：四边形是中心对称图形；
(2)若平分，求证：点，关于直线对称．
7如图，在平行四边形中，，，，，相交于点O．

(1)求的长；
(2)若，，连接，求证：．
华师大版（2024）八年级下册 18.2 菱形 分层练习（参考答案）
1利用菱形的性质求角度
1如图，在菱形中，，，E、F为垂足，，则等于(　　)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】连接．
，，
，
是等边三角形，
，
又，，
，
，
又，
．
故选：B．
2如图，在菱形中，点E是边上一点，，连接．若，则的度数为(　　)

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】四边形是菱形，
，，
，，
，，
，
，
，
，
故选：B．
3如图，在菱形中，直线分别交、、于点M、N和O，且，连接，若，则为(　　)

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，且，
∴，
故选：C．
4如图，已知四边形是菱形，对角线交于点O，，以点C为圆心，为半径作圆弧交线段于点E，则 ．
【答案】
【解析】∵四边形是菱形， ，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
5如图，在菱形ABCD中，，则的度数是 ．
【答案】
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴，，
∴，
故答案为：．
6如图，在菱形中，于点，于点．，求的度数．

【答案】解：在菱形中，，
，，
于点，于点，
，
在和中，，
．
2利用菱形的性质求线段的长
1已知菱形的两条对角线长为8和6，那么这个菱形的高是(　　)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，四边形是菱形，，，，，
作于E，
∴，
∴，
∴菱形的面积=，
∴，
∴，
即菱形的高为．
故选：C．
2菱形中， 若对角线， 则菱形的周长是(　　)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，交于点，
四边形是菱形，，
， ， ，
，
，
菱形的周长为．
故选：B．
3如图，菱形中，，的度数是度数的2倍，则对角线长为(　　)
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵四边形是菱形，
∴，
∵的度数是度数的2倍，
∴，
∴，
∴，
故选：A.
4如图，木制活动衣帽架由3个全等的菱形挂钩构成，在A、E、F、C、G、H处安装上、下两排挂钩，可以根据需要改变挂钩间的距离，并在B、M处固定．已知菱形的边长为，要使两排挂钩的距离（即）为，则之间的距离是 ．

【答案】36
【解析】如图，设与交于点O，

则，，
，
，
，
故答案为：36．
5如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作，过C点作， 两线交于E点， 连接 、，交于点F．
(1)求证：；
(2)若菱形的边长为4，，求的长．
【答案】（1）证明：，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，为对角线，
，
，
∴平行四边形是矩形．
．
（2）解：四边形为菱形，且边长为4，
，，，
，
又，
是等边三角形，
，
在中，由勾股定理得：，
由（1）得四边形是矩形，
，，
在中，由勾股定理得：．
3利用菱形的性质求面积
1如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，若，则菱形的面积是(　　)

A. B.1 C. D.4
【答案】C
【解析】∵，，
∴，，
∵四边形是菱形，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
2如图，菱形的边长是5，对角线相交于点，若，则菱形的面积是(　　)
A.6 B.12 C.24 D.48
【答案】C
【解析】∵四边形是菱形 ，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
3如图，菱形的边长为，对角线相交于点O，且，则菱形的面积为(　　)

A.5 B. C.2 D.4
【答案】D
【解析】∵菱形的边长为，对角线相交于点O，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
故选：D．
4如图，在菱形中，，于点E，交对角线于点P，过点P作于点F．若，则菱形的面积为 ．

【答案】
【解析】四边形是菱形，
平分, ，
又，
，
，
，
，
，
，
菱形的面积，
故答案为：.
5如图，已知菱形，，E、F分别是、的中点，连接、．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求菱形的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∵E是的中点，
∴，
∴，
∵E、F分别是、的中点，
∴，，
∵四边形是菱形，
∴且，
∴且，
则四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵是等边三角形，，
∴．
4利用菱形的性质证明
1如图，在菱形中，E是边上一点，连接，点F，G均在上，连接，，且，只添加一个条件，能判定的是(　　)
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】四边形是菱形，
，
，
，
，
当时，，
，
．
2证明命题“菱形的一条对角线平分这一组对角”．
已知：如图3，是菱形的一条对角线．
求证：，．
证明：∵四边形是菱形，
…，
∴，．
以下是“…”处排乱的证明过程：①∴；②∵；③∴，．正确的证明顺序是(　　)

A.①②③ B.③①② C.②①③ D.③②①
【答案】D
【解析】∵四边形是菱形，
③∴，．
②∵，
①∴，
∴，．
故选D．
3如图，在菱形中，对角线与相交于点O，过点C作交于点E，下列结论不一定正确的是（　　）
A. B.平分 C. D.
【答案】D
【解析】∵四边形是菱形，
∴， ，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
故选项A不符合题意；
∵为四边形是菱形，
∴平分，
故选项B不符合题意；
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
故选项C不符合题意；
∵不能得出四边形是菱形，
∴不一定等于，故选项D符合题意；
故选：D．
4如图1，将一张菱形纸片沿对角线剪开，得到和，再将以D为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使，得到如图2所示的，连接，，，有下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是 ．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
【答案】①②③
【解析】如图2中，过点D作于点E，
由旋转的性质，得，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
同理，，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴；；故①②正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；故③正确，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，故④错误，
∴正确的有①②③，
故答案为①②③．
5如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作，且，连接．求证：四边形为矩形．

【答案】证明：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，，
∴，
∴四边形为平行四边形．
∵，
∴四边形为矩形．
5菱形中的翻折问题
1如图，在菱形纸片中，是边上一点，将沿直线翻折，使点落在上，连接．已知、，则的度数为(　　)

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由翻折得，，
四边形是菱形，
，，
，
，
,
故选：C．
2如图，为矩形的对角线，点E、F分别在边上，将边沿折叠，点B恰好落在上的点M处，将边沿折叠、点D恰好落在上的点N处，若四边形是菱形，则的度数为（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵四边形是矩形，
∴，
由折叠的性质得：，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
3如图，菱形中，，E是上的点，沿折叠，点A恰好落在上的点F，那么的度数是 ．
【答案】75°
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，∠A+∠ABC=180°，BD平分∠ABC，
∵∠A=120°，
∴∠ABC=60°，
∴∠FBC=30°，
根据折叠可得AB=BF，
∴FB=BC，
∴∠BFC=∠BCF=（180°-30°）÷2=75°，
故答案为：75°．
4如图，在菱形中，，分别在边上，，将沿折叠，点落在的延长线上的点处，则 ．

【答案】
【解析】∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵将沿折叠后得，
∴，，
∴，
∴在中，，
∴，
故答案为：．
6菱形中的动点问题
1如图，在菱形中，，，是边上一动点，过点分别作于点，于点，连接，则的最小值为(　　)
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】连接，
∵四边形是菱形，，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
当时，值最小，
此时，，
∴，
∴的最小值为．
故选：A．
2如图，在菱形中，，，点P从点A出发，以的速度沿向点B运动，同时，点Q从点C出发，以的速度沿向点B运动，设点P的运动时间为，当为等边三角形时，t的值为（　　）
A.1 B.1.3 C.1.5 D.2
【答案】D
【解析】如图，延长至点M，使，连接．
∵四边形是菱形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，．
又∵，
∴是等边三角形，
∴．
∵，，
∴．
∵．
∴．
故选：D．
3如图，在菱形中，°，在对角线上任取一点Р（端点除外），连接、．在BA的延长线上取一点Q，使．当点Р在线段上移动时：①；②当点P沿CA方向运动时，的度数先变小，后变大；③；④．其中，说法正确的序号是 ．
【答案】①③④
【解析】连接，过点分别作于点，于点，如图所示，
四边形为菱形，
，．
，
，
，，
①和④正确．
，，
为等边三角形，
．
，，
，．
，
．
，
．
为定值．
②不正确．
，，
是等边三角形．
，，
，
，，
．
．
③正确．
故答案为：①③④
4在菱形ABCD中，∠C=120°，点E是AD边的中点，点P是对角线BD上的动点，则当PA+PE的值最小时，∠APB= ．
【答案】60°
【解析】如图，连接AC，CE，AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴，AO=CO，，AB=BC=CD=AD，，
∴AP=CP， ，
∵∠BCD=120°，
∴∠ADC=∠ABC=60°，
∴△ABC和△ACD都是等边三角形，
又∵点E为AD的中点，
∴CE⊥AD，
∵CP+PE≥CE，AP=CP，
∴当C，P，E三点共线时，PA+PE的值最小，等于CE的长，
此时，∠ADP=∠DAP=30°，
∴∠APB=30°+30°=60°．
故答案为：60°．
5如图，在菱形中，，，点E是边的中点，点M是边上的一个动点（且不与点A重合），延长交的延长线于点N，连接，．
(1)求证：；
(2)当为何值时，四边形是矩形？并说明理由．
【答案】（1）证明：∵四边形为菱形，
∴，
∴．
∵E为的中点，
∴.
在和中，
，
∴．
（2）解：当时，四边形是矩形．
理由如下：
由（1）知，
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
∵在菱形中，，M为的中点，
∴．
又∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴平行四边形为矩形．
6在中，，点D为射线上一动点（点D不与B，C重合），以为边作菱形，使，连接．
(1)如图1，当点D在线段上时，直接写出线段与的数量关系；
(2)如图2，当点D在线段BC的延长线上，且时，求证：．
【答案】解：（1）四边形是菱形，
，
，
，
，
≌，
．
（2）四边形是菱形，
，
，
，
，
≌，
，
，，
∴由勾股定理，得，
，
．
7用定义判定菱形
1如图，在中，，，将线段水平向右平移a个单位长度得到线段，当四边形为菱形时，则a的值为(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】四边形是平行四边形，
，，，
将线段水平向右平得到线段，
，
四边形为平行四边形，
当时，为菱形，
此时．
故选：B.
2如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是(　　)
A. AB＝BC B. AC＝BC C. ∠B＝60° D. ∠ACB＝60°
【答案】B
【解析】∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，
∴AC平行且等于ED，
∴四边形ACDE为平行四边形，
当AC＝BC时，则DE＝EC，
∴平行四边形ACED是菱形．
故选B.
3汶川地震后，吉林电视台法制频道在端午节组织发起“绿丝带行动”，号召市民为四川受灾的人们祈福．人们将绿丝带剪成小段，并用别针将折叠好的绿丝带别在胸前，如图所示，绿丝带重叠部分形成的图形是（　　）
A.正方形 B.等腰梯形 C.菱形 D.矩形
【答案】C
【解析】过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，因为两条彩带宽度相同，
所以AB∥CD，AD∥BC，AE＝AF．
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵S ABCD＝BC AE＝CD AF．又AE＝AF．
∴BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形．
故选：C．
4如图，在矩形中，，点M、N分别在边上，连．若，则四边形的形状是 ．
【答案】菱形
【解析】∵四边形是矩形，
∴四边形是平行四边形，
设
∴平行四边形是菱形，
故答案为：菱形．
5如图，已知AB∥CD，∠BAC的平分线与CD交于点E，∠ACD的平分线与AB交于点F，试说明：四边形ACEF是菱形．
【答案】证明：∵AB∥CD，
∴∠AFC＝∠ECF，
∵CF平分∠ACD，
∴∠ECF＝∠ACF，
∴∠ACF＝∠AFC，
∴AF＝AC，
同理：AC＝CE，
∴AF＝CE＝AC，
又∵AF∥CE，
∴四边形ACEF是平行四边形，
∵AF＝AC，
∴四边形ACEF是菱形．
8用边判定菱形
1四条边都相等的四边形是(　　)
A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.任意四边形
【答案】C
【解析】四条边都相等的四边形是菱形．
故选：C．
2如图，已知△ABC，AB＝AC，将△ABC沿边BC翻转，得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC，则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是(　　)
A.一组邻边相等的平行四边形是菱形
B.四条边相等的四边形是菱形
C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D.对角线互相垂直的平分四边形是菱形
【答案】B
【解析】如题图所示；
∵将△ABC延底边BC翻折得到△DBC，
∴AB＝BD，AC＝CD，
∵AB＝AC，
∴AB＝BD＝CD＝AC，
∴四边形ABDC是菱形，
故选B.
3如图，在矩形中，对角线相交于点O，且，．求证：四边形是菱形．
【答案】证明：四边形是矩形，
，，．
．
，，，
．
，．
．
四边形是菱形．
4如图，是由在平面内绕点旋转而得，且，，连接．

(1)求证：；
(2)试说明四边形为菱形．
【答案】（1）证明：是由在平面内绕点旋转而得，
，，，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：由（1）得，
是由旋转而得，
，
，，
又，
，
四边形为菱形．
9添加一个条件是菱形
1如图，平行四边形中，点在对角线上，且，要使四边形为菱形，现有三种方案：

①只需要满足；
②只需要满足；
③只需要满足
则上述方案正确的是(　　)
A.①②③ B.①③ C.③ D.②③
【答案】B
【解析】在中，，，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
①∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是菱形，
∴，
∴平行四边形是菱形，①符合要求；
②：平行四边形中存在，
根据②，无法确定平行四边形是菱形，②不符合要求；
③∵平行四边形中，，
∴平行四边形是菱形，③符合要求；
故选：B．
2如图，的对角线，相交于点，添加下列条件仍不能判断四边形是菱形的是(　　)

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵，
∴，即，
∴是菱形，
故选项A正确，但不符合题意；
∵，
∴是菱形，
故选项B正确，但不符合题意；
∵四边形是平行四边形，
∴，，
又，
∴，
∴是矩形，
故选项C错误，符合题意；
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴是菱形，
故选项D正确，但不符合题意；
故选：C．
3嘉嘉自编一题：“如图，在四边形中，对角线交于点O，，．求证：四边形是菱形．”并将自己的证明过程与同学淇淇交流．
证明：∵，，
∴垂直平分，
∴，，
∴四边形是菱形．

淇淇看完后认为这个题目需要补充一个条件才能证明．下列正确的是(　　)
A.题目严谨，不用添加条件
B.题目不严谨，可补充：
C.题目不严谨，可补充：
D.题目不严谨，可补充：
【答案】C
【解析】根据题意得：嘉嘉的说法无法证得四边形是菱形，故A选项不符合题意；
若添加无法说明四边形是平行四边形，
则不能得到四边形是菱形，故B选项不符合题意；
若添加，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，故C选项符合题意；
若添加无法说明四边形是平行四边形，
则不能得到四边形是菱形，故D选项不符合题意；
故选：C．
4如图，四边形是平行四边形，分别延长至点F、E，使得，连接．请再添加一个条件： ，使得四边形是菱形，并说明理由．（不再添加任何线条、字母）
【答案】（答案不唯一）
【解析】添加条件．
理由：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
故答案为：（答案不唯一）．
5如图，已知平行四边形中，延长至点，使，连接和．
(1)求证：；
(2)请你给图中补充适当的条件，使四边形成为菱形；请结合补充条件证明.
【答案】（1）证明：∵平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴.
（2）解：补充条件为：且，
证明如下：在平行四边形中，，．
∴四边形是平行四边形，
∵且,
∴是等边三角形，
∴，
又∵．
∴,
∴平行四边形是菱形．
6如图，的对角线与相交于点O，过点B作，过点C作，与相交于点P．

(1)证明四边形为平行四边形；
(2)给添加一个条件，使得四边形为菱形，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：添加条件，理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴平行四边形是菱形．
10综合利用菱形的判定与性质进行求解
1在中，用直尺和圆规作图的痕迹如图所示．若，则(　　)
A.10 B.8 C.6 D.4
【答案】B
【解析】如图，连接，设交点为O，
由尺规作图得：是的角平分线，，
∴，
∵四边形是平行四边形，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
四边形是菱形，
，
在中，
，
．
故选：B．
2如图，在矩形中，对角线相交于点，，，若，，则四边形的周长为(　　)

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵四边形为矩形，
∴，，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∴四边形的周长为，
故选：．
3如图，将一张矩形纸片沿着对角线向上折叠，顶点C落到点E处，交于点F．过点D作，交于点G，连接交于点O，，，则 ．

【答案】
【解析】由折叠的性质可知：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
∵，，
∴，
∴．
设 ，
∴．
∴在直角中，，即，
解得，
即，
∴，
∴，
故答案为：．
4如图，在的两边上分别截取，使，分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C，连接，若，四边形的面积为，则的长为 ．
【答案】10
【解析】根据作图，，
，
，
四边形是菱形，
，四边形的面积为，
，
解得．
故答案为：10．
5如图，在中，是它的一条对角线，作的垂直平分线，分别交于点．

(1)求证：；
(2)连接，若，求的度数．
【答案】（1）证明：如图所示：

四边形是平行四边形，
，，
，
垂直平分，
，
在和中，
，
，
，
，，
；
（2）解：连接，如图所示：
由（1）知，
，，
∴四边形是平行四边形，
垂直平分，即，
∴四边形是菱形，
，
，
菱形中，对角线平分，
．
11综合利用菱形的判定与性质进行证明
1如图，现有一张矩形纸片，，，点M，N分别在矩形的边，将矩形纸片沿直线折叠，使点C落在边上点P处，连接，交于点Q，
①；
②四边形是菱形；
③P，A重合时，；
④点C、M、G三点共线．
其中正确的结论有（　　）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
【解析】，
，
由翻折可知：，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，故②正确；
，，
，
，
若，则，
，这个不一定成立，故①错误；
点与点重合时，如图2，

设，则，
在中，，
即，
解得，
，
，
，
，
，故③正确；
由折叠可知：，
，
四边形是菱形，
，
，
，，三点一定在同一直线上，故④正确，
综上所述：正确的结论有②③④，共3个，
故选：C．
2如图，在四边形中，是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，则下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④．其中正确的个数为(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】∵，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，故②正确；
∵四边形为平行四边形，，
∴四边形是菱形，
∴，故③正确；
∵四边形BDFC是菱形，
∴，
∴，
∴，故④错误．
∴正确的结论为①②③，
故选：C．
3如图，在中，分别以B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线交于点O，交于点E，F，下列结论不正确的是(　　)

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据作图可知：垂直平分，
∴，
∴点O为的对称中心，

∴，
∵，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，故B正确；
∴，
∴，故A正确；
∴四边形是菱形，
∴，故C正确；
与不一定相等，故D错误，
故选：D．
4如图，是的边的垂直平分线，垂足点为点O，与的延长线交于点E，连接，，，则下列结论：①；②四边形是菱形；③；④，其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号）．
【答案】①②③
【解析】∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∵垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
∴为直角三角形，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，故②正确，
∴，，
∵，
∴，故③正确，
∵，
∴，
∵，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∵，故④错误；
综上分析可知：①②③正确；
故答案为：①②③．
5如图，在四边形中，，交于点，过四边形的顶点作，且，线段交于点，交于点，若三点共线，则以下说法：四边形为菱形； ； ； ，正确的有 ．
【答案】
【解析】∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴四边形为菱形，故正确；
∵四边形为菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，故错误；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故正确；
连接，在上取一点，使得，连接，
∵，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵垂直平分线段，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
∵，
∴，故错误；
∴正确的有，
故答案为：．
6如图，中，是上一点，交于，交于．

(1)求证：四边形是中心对称图形；
(2)若平分，求证：点，关于直线对称．
【答案】证明：（1），，
四边形是平行四边形，
四边形是中心对称图形；
（2）平分，
，
又，
，
，
，
又四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
垂直平分，
点、关于直线对称．
7如图，在平行四边形中，，，，，相交于点O．

(1)求的长；
(2)若，，连接，求证：．
【答案】（1）解：∵四边形是平行四边形，，
∴平行四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∴．
（2）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
由（1）得，四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴平行四边形是矩形，
∴，
∴．

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