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华师大版（2024）八年级下册 17.2 平行四边形的判定 分层练习
根据定义判定平行四边形
1如图，平移到的位置，则下列说法：①；②；③平移的方向是点C到点E的方向；④四边形为平行四边形．其中说法正确的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2如图，点E是四边形的边延长线上的一点，且，则添加下列选项中的条件，不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A. B. C. D.
3在四边形ABCD中，已知∠A+∠B＝180°，要使四边形ABCD是平行四边形，还需添加一个条件，这个条件可以是　 　．（只需填写一种情况）
4如图，在中，，点为上任一点，连接，过点，分别作与交于点，则线段的最小值为 ．
5如图，已知四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D，求证：四边形ABCD是平行四边形．
6如图，已知EF∥AC，B，D分别是AC和EF上的点，∠EDC＝∠CBE．求证：四边形BCDE是平行四边形．
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
1如图，下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（　　）
A.
B.
C.
D.
2求证：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
已知：如图，在四边形中，，．
求证：四边形是平行四边形．
以下是排乱的证明过程：
①∴，∴．
②∴四边形是平行四边形．（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
③连接，∵，，，
④，
证明步骤正确的顺序是（ ）
A.③→④→①→② B.③→①→④→② C.③→①→②→④ D.②→③→①→④
3如图，点、在直线上，为直线外一点，连接，分别以点、为圆心，、的长为半径画弧，两弧交于点，连接、，则可以判定四边形是平行四边形的理由是 ．
4中，是对角线，交于点，交于点，连接、．求证：四边形是平行四边形．
5如图，已知相交于．
(1)求证：．
(2)作关于直线的对称图形，求证：四边形是平行四边形．
对角线互相平分的四边形是平行四边形
1对角线（ ）的四边形是平行四边形.
A.相等 B.互相平分 C.垂直 D.垂直且相等
2要使如图所示的四边形是平行四边形，根据图中数据，可以添加的条件是（ ）
A. B. C. D.
3如图，在四边形ABCD中，AO＝OC，BD＝12厘米，则当OB＝　 　厘米时，四边形ABCD是平行四边形．
4如图，四边形ABCD，如果AC＝6，BD＝10，那么AO＝　 　，BO＝　 　时，四边形ABCD是平行四边形．
5如图，在四边形中，，，，．
(1)求线段的长．
(2)求证：四边形为平行四边形．
6如图，四边形的对角线相交于点O，，过点O且与，分别相交于点E，F，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)连接，若，的周长是15，求四边形的周长．
判定能否构成平行四边形
1下面各项不能判断是平行四边形的是（ ）
A.，
B.，
C.，
D.，
2在四边形中，对角线与相交于点，给出下列五组条件，能判定此四边形是平行四边形的有（ ）组．
（1），；（2），；（3），；（4），；（5），．
A.1 B.2 C.3 D.4
3依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（ ）
A. B. C. D.
4在四边形中，若分别给出四个条件：①，②，③，④．现以其中的两个为一组，能判定四边形为平行四边形的条件是 （只填序号，填上一组即可，不必考虑所有可能情况）．
5下列条件能判断一个四边形是平行四边形的是 （填上正确答案的序号）
①一组对边平行，一组对边相等；②一组对边平行且相等；③两组对边分别相等；④两组对边分别平行；⑤两条对角线相等．
6在四边形中，对角线与相交于点．
①如果，，那么四边形是平行四边形；
②如果，，那么四边形是平行四边形；
③如果，，那么四边形是平行四边形；
④如果，，那么四边形是平行四边形．
（1）判断上述四个命题的真假；
（2）证明上述四个命题的真假．
（提示：证明一个命题是假命题，只要举个反例．）
7已知，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．
(1)请在平面直角坐标系中描出点和；
(2)若C为坐标系内一点，且以O，A，C，B为顶点的四边形为平行四边形，请在给出的坐标系中画出所有满足条件的平行四边形，并直接写出C点的坐标．
添加一个条件成为平行四边形
1如图，在四边形中，，若添加一个条件，使四边形为平行四边形，则下列正确的是（ ）
A. B. C. D.
2如图，在中，对角线与相交于点O，E、F是对角线上的点．下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A. B. C. D.
3如图，在四边形中，，垂足分别为．请你只添加一个条件 （不另加辅助线），使得四边形为平行四边形．
4如图，在四边形中，厘米，则当 厘米时，四边形是平行四边形．
5如图，在平行四边形中，点，是对角线上两个不同点．连接，，，，添加一个条件使得四边形是平行四边形．
(1)请在以下选项中选择所有符合条件的选项，将其序号填写在下方横线上．
①，，、为垂足；②；③；④．符合条件的选项有：_____________．
(2)选择其中一个条件，写出证明过程：
我选择________，
证明过程如下：_____________________________.
6如图，在平行四边形中，点，是对角线上的两点，请添加一个不同于“”的条件，使四边形是平行四边形，并写出证明的过程．
平行四边形的个数问题
1平面上的一组3条平行线与另一组5条平行线相交，可构成平行四边形的个数为（ ）
A. B. C. D.
2如图，已知平行四边形ABCD的对角线的交点是O，直线EF过O点，且平行于AD，直线GH过O点且平行于AB，则图中平行四边形共有( )
A.15个 B.16个 C.17个 D.18个
3如图，ABCD中，EG∥AB，FH∥CD，则图中平行四边形的个数是（ ）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
4把边长分别为，，的两个全等的三角形拼成四边形，一共可拼成 种不同的四边形，其中平行四边形有 个．
5如图所示，在□ABCD中，E，F分别为AB，DC的中点，连接DE，EF，FB，则图中共有 个平行四边形．
6如图所示，在中，两条对角线相交于点，点、、、分别是、、、的中点，以图中的任意四点(即点、、、、、、、、中的任意四点)为顶点画两种不同的平行四边形．
动点中的平行四边形判定问题
1如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间t为（　　）秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形.
A.1 B.1.5 C.1或3.5 D.1.5或2
2如图，等边△ABC的边长为6 cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1 cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2 cm/s的速度运动．设运动时间为t（s），当以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，运动时间t为（　　）
A.1 s或2 s B.2 s或3 s C.2 s或4 s D.2 s或6 s
3如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＝12 cm．点P从点A出发，以3 cm/s的速度在射线AD上运动；同时，点Q从点C出发，以1 cm/s的速度在射线CB上运动．运动时间为t，当t＝　 　秒（s）时，点P、Q、C、D构成平行四边形．
4如图，∠ABM为直角，点C为线段BA的中点，点D是射线BM上的一个动点（不与点B重合），连接AD，作BE⊥AD，垂足为E，连接CE，过点E作EF⊥CE，交BD于F．
（1）求证：BF＝FD；
（2）点D在运动过程中能否使得四边形ACFE为平行四边形？如不能，请说明理由；如能，求出此时∠A的度数．
综合运用平行线的性质与判定进行求解
1如图，分别交于点，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
2如图，在中，∠A＝70°，，以点B为旋转中心把按顺时针旋转一定角度，得到，点恰好落在上，连接，则度数为（ 　）
A. B. C. D.
3如图，垂直平分，交于，，，垂足为A，，，则的长为 ．
4如图，在四边形中，，，，，求的长．
综合运用平行线的性质与判定进行证明
1如图，平行四边形的对角线交于点过点且分别交于点，在上找点（点在点下方），使以点为顶点的四边形为平行四边形，在甲、乙、丙三个方案中，正确的方案是（ ）
A.甲、乙、丙 B.只有甲、乙 C.只有甲、丙 D.只有乙、丙
2如图，在中，，分别是，的中点，，是对角线上的两点，且．对于结论：①；②；③四边形是平行四边形；④ ．正确的个数为( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3如图，中，要在对角线上找点E、F，使四边形为平行四边形，现有甲、乙、丙三种方案，则正确的方案是（　　）
甲：只需要满足
乙：只需要满足
丙：只需要满足
A.甲、乙、丙都是
B.只有甲、丙才是
C.只有甲、乙才是
D.只有乙、丙才是
4四边形中，，对角线、相交于点，于点，于点，连接、，当时，以下四个结论：①；②；③四边形是菱形：④．其中正确的个数是 ．
5如图，在中，对角线相交于点于点于点连接，给出下列结论：；；图中共有八对全等三角形．其中正确结论的序号是 ．
6如图，在中，E、F分别是的中点．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)对角线分别与交于点M、N，求证：．
华师大版（2024）八年级下册 17.2 平行四边形的判定 分层练习（参考答案）
1根据定义判定平行四边形
1如图，平移到的位置，则下列说法：①；②；③平移的方向是点C到点E的方向；④四边形为平行四边形．其中说法正确的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
【解析】由平移的性质可知，，故①正确；
由平移的性质可知，，因此，故②正确；
平移的方向是点C到点F的方向，故③错误；
由平移的性质可知，，，，
因此四边形为平行四边形，故④正确；
综上可知，正确的有①②④，共3个．
故选C．
2如图，点E是四边形的边延长线上的一点，且，则添加下列选项中的条件，不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】A中由可得，，能判定四边形是平行四边形，故不符合要求；
B中由可得，，不能判定四边形是平行四边形，故符合要求；
C中由可得，，能判定四边形是平行四边形，故不符合要求；
∵，
∴，
D中由可得，，即，能判定四边形是平行四边形，故不符合要求；
故选：B．
3在四边形ABCD中，已知∠A+∠B＝180°，要使四边形ABCD是平行四边形，还需添加一个条件，这个条件可以是　 　．（只需填写一种情况）
【答案】AB∥CD
【解析】添加条件AB∥CD，
∵∠A+∠B＝180°，
∴AD∥CB，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
故答案为：AB∥CD．
4如图，在中，，点为上任一点，连接，过点，分别作与交于点，则线段的最小值为 ．
【答案】3
【解析】，，，
，
，，
四边形为平行四边形，
的最小值等于平行线与之间的距离．
故答案为：3．
5如图，已知四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D，求证：四边形ABCD是平行四边形．
【答案】证明：∵∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，∠A＝∠C，∠B＝∠D，
∴∠A+∠B＝180°，
又∵∠A＝∠C，
∴∠B+∠C＝180°，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）．
6如图，已知EF∥AC，B，D分别是AC和EF上的点，∠EDC＝∠CBE．求证：四边形BCDE是平行四边形．
【答案】证明：∵EF∥AC，
∴∠EDC+∠C＝180°，
又∵∠EDC＝∠CBE，
∴∠CBE+∠C＝180°，
∴EB∥DC，
∵DE∥BC，BE∥CD，
∴四边形BCDE是平行四边形．
2两组对边分别相等的四边形是平行四边形
1如图，下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】.根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”即可判断，可以判定，符合题意；
.，邻边相等的四边形不一定是平行四边形，不可以判定，不符合题意；
.三边相等的四边形不一定是平行四边形，不可以判定，不符合题意；
.一次邻边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，不可以判定，不符合题意；
故选：．
2求证：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
已知：如图，在四边形中，，．
求证：四边形是平行四边形．
以下是排乱的证明过程：
①∴，∴．
②∴四边形是平行四边形．（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
③连接，∵，，，
④，
证明步骤正确的顺序是（ ）
A.③→④→①→② B.③→①→④→② C.③→①→②→④ D.②→③→①→④
【答案】A
【解析】连接，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
∴四边形是平行四边形．（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
即顺序为③→④→①→②，
故选：A．
3如图，点、在直线上，为直线外一点，连接，分别以点、为圆心，、的长为半径画弧，两弧交于点，连接、，则可以判定四边形是平行四边形的理由是 ．
【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形
【解析】根据题意可得：，
所以根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形；
故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
4中，是对角线，交于点，交于点，连接、．求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
四边形为平行四边形．
5如图，已知相交于．
(1)求证：．
(2)作关于直线的对称图形，求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明：（1），，，
，
（2），
，
，
，
，
，
、关于直线对称，
，，
，
四边形是平行四边形．
3对角线互相平分的四边形是平行四边形
1对角线（ ）的四边形是平行四边形.
A.相等 B.互相平分 C.垂直 D.垂直且相等
【答案】B
【解析】对角线互相平分的四边形是平行四边形，
故选：B．
2要使如图所示的四边形是平行四边形，根据图中数据，可以添加的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵,,
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是平行四边形，
故选：B．
3如图，在四边形ABCD中，AO＝OC，BD＝12厘米，则当OB＝　 　厘米时，四边形ABCD是平行四边形．
【答案】6
【解析】∵AO＝OC，
∴当OB＝OD时，四边形ABCD是平行四边形，
∵BD＝12厘米，
∴OBBD12＝6（厘米），
故答案为：6．
4如图，四边形ABCD，如果AC＝6，BD＝10，那么AO＝　 　，BO＝　 　时，四边形ABCD是平行四边形．
【答案】3；5
【解析】∵AC与BD相交于点O，AC＝6，BD＝10，
∴当AO＝3，BO＝5时，则AO＝CO＝3，BO＝DO＝5，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：3，5．
5如图，在四边形中，，，，．
(1)求线段的长．
(2)求证：四边形为平行四边形．
【答案】（1）解：，，，
在中，．
，
．
故答案为：13．
（2）证明：由（1）得，，
，
，
四边形是平行四边形．
6如图，四边形的对角线相交于点O，，过点O且与，分别相交于点E，F，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)连接，若，的周长是15，求四边形的周长．
【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵，
∴，
∴，
即，
的周长．
4判定能否构成平行四边形
1下面各项不能判断是平行四边形的是（ ）
A.，
B.，
C.，
D.，
【答案】C
【解析】，，
四边形是平行四边形，
，，
四边形是平行四边形，
，，不可以判定四边形是平行四边形，
，，
，，
四边形是平行四边形，
故选：C.
2在四边形中，对角线与相交于点，给出下列五组条件，能判定此四边形是平行四边形的有（ ）组．
（1），；（2），；（3），；（4），；（5），．
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】D
【解析】（1），，不能判定此四边形是平行四边形；
（2），，能判定此四边形是平行四边形；
（3），，能判定此四边形是平行四边形；
（4），，能判定此四边形是平行四边形；
（5），，能判定此四边形是平行四边形．
综上，有4组能判定此四边形是平行四边形．
故选：D．
3依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A．∵，，
∴一组对边平行，另一组对边不平行，
∴图中的四边形不可能是平行四边形，故A不符合题意；
B．由图中数据只能得到一组对边平行，不能判断四边形是平行四边形，故B不符合题意；
C．由图中数据可得两组对边分别相等，能判断四边形是平行四边形，故C符合题意；
D．由图中数据只能得到一组对边相等，不能判断四边形是平行四边形，故D不符合题意．
故选：C．
4在四边形中，若分别给出四个条件：①，②，③，④．现以其中的两个为一组，能判定四边形为平行四边形的条件是 （只填序号，填上一组即可，不必考虑所有可能情况）．
【答案】①④（答案为唯一）
【解析】①④ 组合，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形能判定四边形是平行四边形；
①②组合，不能判定四边形判定平行四边形；
①③组合，∵，∴，
∵，
∴，
∴，
从而利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形能判定四边形是平行四边形；
②④组合，利用两组对边分别相等的四边形能判定四边形是平行四边形；
③④组合不能判定四边形判定平行四边形.
故答案为：①④（答案为唯一）．
5下列条件能判断一个四边形是平行四边形的是 （填上正确答案的序号）
①一组对边平行，一组对边相等；②一组对边平行且相等；③两组对边分别相等；④两组对边分别平行；⑤两条对角线相等．
【答案】②③④
【解析】一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故①错误，②正确；
③两组对边分别相等，符合平行四边形的判定条件，故③正确；
④两组对边分别平行，符合平行四边形的判定条件，故④正确；
对角线互相平分的四边形是平行四边形，故⑤错误；
故答案为：②③④．
6在四边形中，对角线与相交于点．
①如果，，那么四边形是平行四边形；
②如果，，那么四边形是平行四边形；
③如果，，那么四边形是平行四边形；
④如果，，那么四边形是平行四边形．
（1）判断上述四个命题的真假；
（2）证明上述四个命题的真假．
（提示：证明一个命题是假命题，只要举个反例．）
【答案】解：（1）①如果，，那么四边形是平行四边形是真命题；
②如果，，那么四边形是平行四边形是真命题；
③如果，，那么四边形是平行四边形是假命题；
④如果，，那么四边形是平行四边形是假命题．
（2）①，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形；
②，
，
，
，
四边形是平行四边形；
③如图1，当，时，则四边形不是平行四边形；
④如图2，当，时，则四边形不是平行四边形．
7已知，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．
(1)请在平面直角坐标系中描出点和；
(2)若C为坐标系内一点，且以O，A，C，B为顶点的四边形为平行四边形，请在给出的坐标系中画出所有满足条件的平行四边形，并直接写出C点的坐标．
【答案】解：（1）如图，点A、点B即为所求；
（2）如图，平行四边形OABC1，平行四边形OAC2B，平行四边形OC3AB即为所求作；
C点的坐标为或或．
5添加一个条件成为平行四边形
1如图，在四边形中，，若添加一个条件，使四边形为平行四边形，则下列正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A.由，，不能判定四边形为平行四边形，还有可能是等腰梯形，故本选项不符合题意；
B.∵，
∴，
不能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意；
C.由，，不能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意；
D.∵，
，
，
，
，
又∵，
四边形是平行四边形，故本选项符合题意；
故选：D．
2如图，在中，对角线与相交于点O，E、F是对角线上的点．下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵，
∴，，，，，，
∵，
∴，，
∴四边形是平行四边形，故B不符合题意；
∵，，
∴，而，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，故C不符合题意；
∵，
∴，
∴，而，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，故D不符合题意；
当，而，，
∵，
∴，而，
此时不能得到：，，
∴添加不能判定四边形是平行四边形，故A符合题意；
故选A．
3如图，在四边形中，，垂足分别为．请你只添加一个条件 （不另加辅助线），使得四边形为平行四边形．
【答案】或或（答案不唯一）
【解析】添加条件为：或或，
①添加，
理由：∵，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
故答案为：．
②添加，
理由：∵，
∴是直角三角形，且，
在中，
，
∴，
∴，
∴，且，
∴四边形为平行四边形，
故答案为：．
③添加，
理由：∵，
∴，且，
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形，
故答案为：．
综上所示，添加的条件有或或，
故答案为：或或（答案不唯一）．
4如图，在四边形中，厘米，则当 厘米时，四边形是平行四边形．
【答案】6
【解析】当时，四边形是平行四边形，理由如下：
，，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
故答案为：6．
5如图，在平行四边形中，点，是对角线上两个不同点．连接，，，，添加一个条件使得四边形是平行四边形．
(1)请在以下选项中选择所有符合条件的选项，将其序号填写在下方横线上．
①，，、为垂足；②；③；④．符合条件的选项有：_____________．
(2)选择其中一个条件，写出证明过程：
我选择________，
证明过程如下：_____________________________.
【答案】解：（1）填①②④的任意一个都正确；
故答案为：①②④；
（2）选择①，，、为垂足；
∵，，
∴，
四边形是平行四边形，
，，
，
在与中，
，
，
，
四边形是平行四边形．
选择②，
证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
在与中，
，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形．
选择④，
证明：四边形是平行四边形，
，，
，
∵，
∴，
在与中，
，
，
，
四边形是平行四边形．
6如图，在平行四边形中，点，是对角线上的两点，请添加一个不同于“”的条件，使四边形是平行四边形，并写出证明的过程．
【答案】解：添加的条件为：．
∵，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∴ ，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形．
6平行四边形的个数问题
1平面上的一组3条平行线与另一组5条平行线相交，可构成平行四边形的个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】从一组中任选两条直线与另一组中任选两条直线，就可以构成一个平行四边形，从3条平行线中任选2条直线的方法有3种，从5条平行线中任选2条直线的方法有10种，故平行四边形的个数为，
故选：C.
2如图，已知平行四边形ABCD的对角线的交点是O，直线EF过O点，且平行于AD，直线GH过O点且平行于AB，则图中平行四边形共有( )
A.15个 B.16个 C.17个 D.18个
【答案】D
【解析】平行四边形有： AEOG， AEFD， ABHG， GOFD， GHCD， EBHO， EBCF， OHCF， ABCD， EHFG，
AEHO， AOFG， EODG， BHFO， HCOE， OHFD， OCFG， BOGE．
共18个．
故选D．
3如图，ABCD中，EG∥AB，FH∥CD，则图中平行四边形的个数是（ ）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
【答案】D
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，CD∥AB，
又∵EG∥AB，FH∥CD，
∴EG∥AB∥FH∥CD，
根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
可得图中平行四边形有：□ABGE、□ABHF、□ABCD、□EGCD、□EGHF、□FHCD，共6个.
故选D．
4把边长分别为，，的两个全等的三角形拼成四边形，一共可拼成 种不同的四边形，其中平行四边形有 个．
【答案】4；3
【解析】∵，
∴边长为，，的三角形是直角三角形，
分别将两个全等三角形中边长相等的边拼在一起，如下图所示，
∴共可拼成4种不同的四边形，其中平行四边形有3个，
故答案是4，3．
5如图所示，在□ABCD中，E，F分别为AB，DC的中点，连接DE，EF，FB，则图中共有 个平行四边形．
【答案】4
【解析】∵在 ABCD中，E，F分别为AB，DC的中点，
∴DF=CD=AE=EB，AB∥CD，
∴四边形AEFD，CFEB，DFBE是平行四边形，再加上 ABCD本身，共有4个平行四边形4．
故答案为4．
6如图所示，在中，两条对角线相交于点，点、、、分别是、、、的中点，以图中的任意四点(即点、、、、、、、、中的任意四点)为顶点画两种不同的平行四边形．
【答案】解：如图所示：
7动点中的平行四边形判定问题
1如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间t为（　　）秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形.
A.1 B.1.5 C.1或3.5 D.1.5或2
【答案】C
【解析】∵E是BC的中点，
∴BE＝CEBC＝8，
由题意可知：AP＝t，则DP＝6﹣t，CQ＝3t，
①当Q运动到E和B之间，设运动时间为t，
∴3t﹣8＝6﹣t，
解得：t＝3.5；
②当Q运动到E和C之间，设运动时间为t，
∴8﹣3t＝6﹣t，
解得：t＝1，
∴当运动时间t为1秒或3.5秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，
故选：C．
2如图，等边△ABC的边长为6 cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1 cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2 cm/s的速度运动．设运动时间为t（s），当以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，运动时间t为（　　）
A.1 s或2 s B.2 s或3 s C.2 s或4 s D.2 s或6 s
【答案】D
【解析】①当点F在C的左侧时，根据题意得：AE＝t cm，BF＝2t cm，
则CF＝BC﹣BF＝6﹣2t（cm），
∵AG∥BC，
∴当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形，
即t＝6﹣2t，
解得：t＝2；
②当点F在C的右侧时，根据题意得：AE＝t cm，BF＝2t cm，
则CF＝BF﹣BC＝2t﹣6（cm），
∵AG∥BC，
∴当AE＝CF时，四边形AEFC是平行四边形，
即t＝2t﹣6，
解得：t＝6；
综上可得：当t＝2 s或6 s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．
故选：D．
3如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＝12 cm．点P从点A出发，以3 cm/s的速度在射线AD上运动；同时，点Q从点C出发，以1 cm/s的速度在射线CB上运动．运动时间为t，当t＝　 　秒（s）时，点P、Q、C、D构成平行四边形．
【答案】3或6
【解析】由运动知，AP＝3t，CQ＝t，
∴DP＝AD﹣AP＝12﹣3t，
∵四边形PDCQ是平行四边形，
∴PD＝CQ，
∴12﹣3t＝t，
∴t＝3秒；
当P运动到AD线段以外时，AP＝3t，CQ＝t，
∴DP＝3t﹣12，
∵四边形PDCQ是平行四边形，
∴PD＝CQ，
∴3t﹣12＝t，
∴t＝6秒，
故答案为：3或6.
4如图，∠ABM为直角，点C为线段BA的中点，点D是射线BM上的一个动点（不与点B重合），连接AD，作BE⊥AD，垂足为E，连接CE，过点E作EF⊥CE，交BD于F．
（1）求证：BF＝FD；
（2）点D在运动过程中能否使得四边形ACFE为平行四边形？如不能，请说明理由；如能，求出此时∠A的度数．
【答案】解：（1）在Rt△AEB中，∵AC＝BC，
∴，
∴CB＝CE，
∴∠CEB＝∠CBE．
∵∠CEF＝∠CBF＝90°，
∴∠BEF＝∠EBF，
∴EF＝BF．
∵∠BEF+∠FED＝90°，∠EBD+∠EDB＝90°，
∴∠FED＝∠EDF，
∵EF＝FD．
∴BF＝FD．
（2）能．理由如下：
若四边形ACFE为平行四边形，则AC∥EF，AC＝EF，
∴BC＝BF，
∴BA＝BD，∠A＝45°．
∴当∠A＝45°时，四边形ACFE为平行四边形．
8综合运用平行线的性质与判定进行求解
1如图，分别交于点，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：A．
2如图，在中，∠A＝70°，，以点B为旋转中心把按顺时针旋转一定角度，得到，点恰好落在上，连接，则度数为（ 　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由旋转的性质可得，，，，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，解得，
故选：A．
3如图，垂直平分，交于，，，垂足为A，，，则的长为 ．
【答案】
【解析】垂直平分，
，，
，，
，即，
，
，
∴，
，垂直平分，，
∴，，
四边形为平行四边形，
，，
设，则，
在中，，
在中，，
，即，
解得：，
∴，
，
故的长为，
故答案为：．
4如图，在四边形中，，，，，求的长．
【答案】解：在中，，，，
根据勾股定理，得，
．
，，
，
又，
四边形为平行四边形．
．
9综合运用平行线的性质与判定进行证明
1如图，平行四边形的对角线交于点过点且分别交于点，在上找点（点在点下方），使以点为顶点的四边形为平行四边形，在甲、乙、丙三个方案中，正确的方案是（ ）
A.甲、乙、丙 B.只有甲、乙 C.只有甲、丙 D.只有乙、丙
【答案】A
【解析】甲方案：如图所示：
在平行四边形中，，，
，
在和中，
,
，
，
，
，
在四边形中，由对角线相互平分可知，四边形为平行四边形；
乙方案：如图所示：
在平行四边形中，，，
，
在和中，
,
，
，
，
，则，
在和中，
,
，
，
在四边形中，由一组对边平行且相等可知，四边形为平行四边形；
丙方案：如图所示：
在平行四边形中，，，
，，
在和中，
,
，
，
平分；平分；
，
在和中，
,
，
，
在四边形中，由对角线相互平分可知，，四边形为平行四边形；
综上所述，甲、乙、丙三种方案均可使以点为顶点的四边形为平行四边形，
故选：A．
2如图，在中，，分别是，的中点，，是对角线上的两点，且．对于结论：①；②；③四边形是平行四边形；④ ．正确的个数为( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】B
【解析】四边形是平行四边形，
，，
，
又E、F分别是、的中点，
∴，
∴，
在和中，
，
，
，，，故②正确,
，
，
四边形是平行四边形，故③正确,
，
而 不一定成立，故④不正确,
不一定等于，
不正确，故①不正确，
故选：B．
3如图，中，要在对角线上找点E、F，使四边形为平行四边形，现有甲、乙、丙三种方案，则正确的方案是（　　）
甲：只需要满足
乙：只需要满足
丙：只需要满足
A.甲、乙、丙都是
B.只有甲、丙才是
C.只有甲、乙才是
D.只有乙、丙才是
【答案】B
【解析】∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
甲：在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，故甲正确；
乙：由，不能证明，不能判定四边形为平行四边形，故乙不正确；
丙：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，故丙正确；
故选：B．
4四边形中，，对角线、相交于点，于点，于点，连接、，当时，以下四个结论：①；②；③四边形是菱形：④．其中正确的个数是 ．
【答案】3个
【解析】如图，∵DE=BF，
∴DF=BE，
∵AB=CD，
∴Rt△CDF≌Rt△ABE，
∴∠CDF=∠ABE，CF=AE，①正确；
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴，②正确，③不一定正确；
∵，，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴，④正确；
故答案为：3个．
5如图，在中，对角线相交于点于点于点连接，给出下列结论：；；图中共有八对全等三角形．其中正确结论的序号是 ．
【答案】①②③
【解析】在中，
，
，
，
于点，于点，
，
，
四边形是平行四边形，
，故①②正确，
，
，即，故③正确，
∵，
和是中心对称图形，点是对称中心，
易证，
，
，
∴共10对全等三角形，故④错误；
故答案为：①②③.
6如图，在中，E、F分别是的中点．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)对角线分别与交于点M、N，求证：．
【答案】解：（1）∵四边形是平行四边形，
．
分别是的中点，
，
∴四边形是平行四边形．
（2）∵四边形是平行四边形，
．
∵四边形是平行四边形，
，
，
，
．

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