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山东新泰市第一中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题
一、解答题
1．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且
(1)求；
(2)若，设点为的费马点，求；
(3)设点为的费马点，，求实数的最小值．
2．在中，内角对应的边分别是，且．
(1)若的面积是，求的周长；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围．
3．如图所示，一艘海轮在海面上的处发现两座小岛，测得小岛在的北偏东的方向上，小岛在的北偏东的方向上，海轮从处向正东方向航行海里后到达处，测得小岛在的北偏西的方向上，小岛在的北偏东的方向上.

(1)求处与小岛之间的距离；
(2)求两座小岛之间的距离.
4．已知向量，满足，向量的夹角为60°．
(1)求的值；
(2)求；
(3)求向量与的夹角的余弦值．
5．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.
(1)求角；
(2)若的面积，，求边的大小.
二、填空题
6．已知复数、分别满足：，，其中i为虚数单位，则的取值范围为________.
7．如图，将棱长为2的正方体六个面的中心连线，可得到八面体，则该八面体的表面积为________.

8．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，，则________.
三、多选题
9．如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是（ ）
A．圆锥的侧面积为
B．三棱锥体积的最大值为
C．圆锥外接球体积为
D．若，为线段上的动点，则的最小值为
10．下列命题中，正确的是（ ）
A．在中，若，则
B．在锐角中，不等式恒成立
C．在中，若，则必是等腰直角三角形
D．在中，若，，则必是等边三角形
11．下列关于空间几何体的叙述错误的是（ ）
A．底面是正方形的棱锥是正四棱锥
B．任何一个几何体都必须有顶点、棱和面
C．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
D．一个棱柱至少有5个面
四、单选题
12．已知直三棱柱中，，该三棱柱所有顶点都在球的球面上，则球的体积为（）
A． B． C． D．
13．在中，角，，所对的边分别为，，.若，，且该三角形有两解，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
14．在正四棱柱中，，分别为侧棱上一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．14
15．半径为cm的球被两个平行平面所截，两个截面圆的面积分别为cm2，cm2，则这两个平行平面的距离为（ ）cm.
A．2 B．14 C．2或14 D．6或8
16．已知向量满足，则（ ）
A． B． C．1 D．2
17．已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）
A． B． C． D．
18．已知向量满足，则（ ）
A． B． C．0 D．1
19．设，则（ ）
A． B． C． D．
参考答案
1．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由已知中，即，
故，由正弦定理可得，
故直角三角形，即.
（2）由（1），所以三角形的三个角都小于，
则由费马点定义可知：，
设，由得：
，整理得，
则
.
（3）点为的费马点，则，
设，
则由得；
由余弦定理得，
，
，
故由得，
即，而，故，
当且仅当，结合，解得时，等号成立，
又，即有，解得或（舍去），
故实数的最小值为.
2．(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理可得，
即，因为，所以，
则，即.
因为，所以，
由余弦定理可得，
即，所以，
则，所以，
则的周长为.
（2）由可得，
则
，
且为锐角三角形，则，解得，
所以，则，
所以，
即的取值范围是.
3．(1)
(2)
【详解】（1）由题可知在中，，，所以，
由正弦定理可得：，及，
所以（海里）．
（2）由题可知在中：，，所以．
所以（海里），
由余弦定理可得：
，
所以（海里），
由题意可知，在中，，
由余弦定理可得：
，
所以（海里）.
4．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题意可得，，
则；
（2）；
（3）由已知，，
则向量与的夹角的余弦值为．
5．(1)
(2)
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，
∴，
∴，
在中，，得，
，，
，.
（2），又，
，所以，得，
又∵，∴或，
由余弦定理得，
所以.
6．
【详解】设复数、在复平面内对应的点为，，
表示点与复数对应点的距离为2，
因此点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆；
表示点与复数对应点的距离为1，
因此点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆.
又因为，表示点，之间的距离，

所以 ，即.
7．
【详解】由题意八面体是由八个边长为的等边三角形所组成的，
故所求为.
故答案为：.
8．
【详解】由题意得，，
又因为，故.
9．BCD
【详解】由条件可知，，圆锥的侧面积为，故A错误；
B.当是的高时，此时的面积和三棱锥的体积最大，体积的最大值是，故B正确；
C.因为，所以圆锥外接球的球心即为点，半径为，所以外接球的体积为，故C正确；
D. 若，则是等腰直角三角形，，，
所以是等边三角形，如图，将沿翻折，使四点共面，
此时三点共线时，的最小值是，
中，，
由余弦定理可知，，故D正确.
故选：BCD
10．ABD
【详解】对于A， 在中，若，则，由正弦定理可得，A正确；
对于B，锐角中，，则，
故，B正确；
对于C，在中，若，则，
即得，故或，
故或，即是等腰三角形或直角三角形，C错误；
对于D，，，则，
故，，结合，可知是等边三角形，D正确，
故选：ABD
11．ABC
【详解】底面是正方形，且顶点在底面上的射影为底面正方形的中心的四棱锥是正四棱锥，A错误；
球没有顶点和棱，B错误；
将两个相同的棱台的底面重合得到的多面体满足有两个面互相平行，其余各面都是梯形，但是这样的多面体不是棱台，C错误；
棱柱的底面至少有3条边，所以一个棱柱至少有5个面，D正确．
故选：ABC．
12．A
【详解】如图所示，将直三棱柱补全成长方体，
则长方体的体对角线为该三棱柱外接球的直径，
所以其半径为
球O的体积为，
故选：．
13．C
【详解】因，
则当，即时，三角形有两解，
所以的取值范围是.
14．A
【详解】如图所示：
，
将正四棱柱（图1）的侧面展开，得到展开图（图2），
当五点共线时，取得最小值，
且最小值为.
故选：A
15．C
【详解】设两个截面圆的半径分别为、，球心到截面的距离分别为、，球的半径为.
由，得cm，cm，
由，得cm，cm，
如图所示，
当球的球心在两个平行平面的外侧时，
这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之差，
即cm.
如图所示，
当球的球心在两个平行平面之间时，
这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之和，即cm.
故选：C.
16．C
解：∵，
又∵
∴9，
∴
故选：C.
17．B
【详解】设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，解得.
故选：B.
18．B
【详解】向量满足，
所以.
故选：B
19．B
【详解】由题意可得，
则.
故选：B.

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