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2025级高一下学期期中考试
数 学 试 题 2026.5
姓名：___________班级：___________
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．在中，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知直线与平面，则下列选项可使得的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知是两个不共线的向量，向量共线，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
5．圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍，母线长为15，圆台的侧面积为，则圆台较小底面圆的半径为（ ）
A．3 B．5 C．6 D．7
6．如图，在中，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则一定是（ ）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形
8．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图，在堑堵中，，且.下列说法错误的是（ ）
A．四棱锥为“阳马” B．四面体为“鳖臑”
C．四棱锥体积的最大值为
D．过A点作于点E，过E点作交于点F，则面AEF
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．下列有关复数的叙述正确的是（ ）
A．若，则 B． 若，则
C．若，则 D．若，则的虚部为
10．已知向量，，，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若与的夹角为钝角，则 D．在上的投影向量为
11．如图，在正四棱台中，，，，为棱上的动点（包括端点），则（ ）

A．该正四棱台的体积为 B． 存在点，使得平面
C．三棱锥的体积为定值 D．的最小值为
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12．已知向量与的夹角为，且满足，，若，则实数k的值为______.
13．在中，角所对的边分别为，若边上的高，则的周长为______．
14．“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图是以一正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为1，则该多面体外接球的体积为_______.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本题13分）已知复数z＝（1＋i）m2－4i－3m＋2（m∈R）.
（1）若z是纯虚数，求m的值；
（2）若z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围.
16．（本题15分）已知正四棱锥P-ABCD，M，N分别是BC，PD的中点．
(1)证明：平面；
(2)若四棱锥各棱长均为2，求直线CN与AM所成角的余弦值．
17．（本题15分）已知分别为三个内角的对边，且．
(1)求角；
(2)若为锐角，边上的中线，求的面积最大值．
18．（本题17分）如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴 轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作.在此坐标系中，若，分别是的中点，分别与交于两点.
(1)求；
(2)求的坐标；
(3)若点在线段上运动，设，求的最大值.
19．（本题17分）如图，在等腰梯形中，，.将沿着翻折，使得点到点，且.
(1)求证：平面平面；
(2)求二面角平面角的正切值；
(3)求点到平面的距离.
2025级高一下学期期中考试
数学参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A B D C D A D C ABC BD ACD
三、填空题
12． 13．15 14．
四、解答题
15．【详解】（1）由题意可得z＝（m2－3m＋2）＋（m2－4）i，
则z的实部为m2－3m＋2，虚部为m2－4.
因为z是纯虚数，所以解得m＝1.
（2）由题意可得解得－2＜m＜1，
即m的取值范围是（－2，1）.
16．【详解】
（1）取的中点为，连接,
由于是中点，故,且，又且，
故,则四边形为平行四边形，故平面, 平面,故平面
（2）由（1）知：故或其补角即为直线CN与AM所成角，
由于为边长为2的等边三角形，故，
,
故,
故直线CN与AM所成角的余弦值为
17．【详解】（1）在三角形中，由正弦定理得：
．
中，，，
，，
或．
（2）为锐角，，
为的中点，，，
，即，
根据重要不等式知：，
，当且仅当时，等号成立．
因此，的面积最大值为
18．【详解】（1）由题，
.
（2）设·，
因为三点共线，所以，
所以；
设，
因为三点共线，所以，
所以.
（3）由题，
所以，
所以，
所以当时，取得最大值13.
19．【详解】
（1）证明：
连接，根据余弦定理，
∴，，∴，
又已知，平面，
∴平面，∵平面，
∴平面平面；
（2）
由（1）知平面平面，平面平面，
作于（中点），则平面，
作于，连接，因为平面，
所以平面，
∴，所以为二面角的平面角，
因为，
∴.
所以二面角平面角的正切值为.
（3）记点到平面的距离为，
∵，∴，
由（2）知，所以根据勾股定理可得，
∴.
所以点到平面的距离为.

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