资源简介

试卷类型：A
高三四轮检测
数学试题
2026.05
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，或，则（ ）
A．或 B．
C． D．或
2．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．已知函数，若，则（ ）
A．1或3 B．-2或1 C．0或-4 D．1或-4
4．已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．6
5．已知，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知数列，，则“数列为递增数列”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知函数为增函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知圆与直线相切于点，与圆有三条公切线，若圆心的横坐标为自然数，则满足条件的所有圆的面积之和为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．下列选项正确的是（ ）
A．当样本相关系数的绝对值越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强
B．甲连续投篮两次，事件“恰好命中1次”与“两次均命中”互斥但不对立
C．若一组数据“，， ，”的方差为3，则“，， ，”的方差为29
D．若三名男生体测成绩的平均分为80，方差为6，两名女生的平均分为75，方差为4，则这五人的平均分为78，方差为
10．已知在棱长为2的正方体中，点，分别为棱、，的中点，点为线段上的动点，则下列选项正确的是（ ）
A．存在点，使得平面
B．三棱锥的体积为定值
C．以为直径的球的表面积为
D．若线段与平面交于点，则点的轨迹长度为
11．双曲线的左，右焦点分别为，，渐近线为，，过作圆的切线，为切点，直线交双曲线右支于点、为线段的中点，则下列选项正确的是（ ）
A．直线的倾斜角为或
B．以为直径的圆与圆相交
C．
D．动点到的距离为，到的距离为，，则动点的轨迹为两条直线，且这两条直线的斜率之积为3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知，，则__________．
13．将杨辉三角中的所有“1”去除，将剩下的数按从上到下，从左到右的顺序依次排列，构成一个数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5， ，则这个数列的前21项和__________．
14．将1，2，3，4，5，6这6个数排在图中，，，，，六个位置，则任意相邻两数之积不超过20的概率为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知在中，内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求；
（2）若，符合条件的有两个，求的取值范围．
16．（15分）为深入普及国防知识，厚植青年家国情怀，某校举办了国防知识竞赛（分初赛和决赛两个阶段），初赛从6道题中任选3题作答，全部答对才能进入决赛．
（1）已知初赛6道题中选手甲能答对其中4道，记甲在初赛中答对题目个数为．
（i）求的分布列及其数学期望；
（ii）求在甲答对至少两题的前提下，仍未进入决赛的概率；
（2）已进入决赛的选手需回答3道同等难度的题目，若全部答对，获一等奖，奖励600元；仅答对2道，获二等奖，奖励200元；仅答对1道，获三等奖，奖励100元；全错则没有奖励．选手乙进入决赛后，答对每道题的概率为0.6，且每道题是否答对相互独立．求选手乙获得的奖金的数学期望．
17．（15分）如图，在三棱锥中，，，且，，，．
（1）求长；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
18．（17分）已知正项数列中，，．
（1）证明：；
（2）已知．
（i）讨论函数的单调性；
（ii）证明：时，．
19．（17分）如图，已知椭圆的长轴．短轴分别为，，．，，，为线段上的动点（不含端点）．直线与轴交于点，直线与交于点．
（1）求过点且与椭圆相切的一条直线的方程；
（2）证明：点在椭圆上；
（3）记，，求的取值范围．
高三四轮检测
数学试题参考答案及评分标准
2026.05
一、单项选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A D A B C C D
二、多项选择题：
题号 9 10 11
答案 ABD BCD ACD
三、填空题：
12．1 13．240 14．
四、解答题：
15．（13分）
（1）解：
2分
4分
为的内角
6分
（2）法一： 8分
有两解 10分
又
11分
13分
法二：有两解
11分
即
13分
16．（15分）
解：（1）（i）由已知，的取值有1，2，3 1分
的分布列为
X 1 2 3
P
5分
6分
（ii）由条件概率公式得 9分
（2）设“选手乙获得的奖金”为随机变量Y
则的可能取值为0，100，200，600 10分
12分
∴乙获得的奖金的数学期望为244.8元 15分
17．（15分）
解：（1）法一：过点作，连接，
在中，
2分
，
∴四边形为矩形
又，，平面，
平面
平面
平面
4分
∴在中，
5分
法二： 2分
3分
，，，，，
5分
（2）法一：以，所在直线分别为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系
（若（1）问用法二，需先证明平面，否则减2分）
，
9分
，
设平面的法向量，
则，即
取，得，
11分
，
设平面的法向量
则，即
取，得，
13分
14分
平面与平面夹角的余弦值为 15分
法二：以为原点，，所在直线为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系则，
设
则，，
① 7分
又，
②
又
即，得 ③
由①②③得 9分
，
设平面的法向量
则，即
取，得，
11分
设平面的法向量
则，即
取，得
13分
14分
∴平面与平面夹角的余弦值为 15分
18．（17分）
解：（1）设 1分
∴当时，，单调递减
又
时，恒成立 3分
∴数列单调递减
5分
（2）（i）的定义域为
6分
设
①当，即时，，
在上单调递增 7分
②当，即时，有两个不相等实根
，
对称轴，，
9分
∴当时，，，单调递增
当时，，，单调递减
当时，，，单调递增 10分
综上所述，当时，在上单调递增
当时，在上单调递增；
在上单调递减；
在上单调递增 11分
（ii）由（i）知，当时，在上是增函数
∴当时，即
由（1）知
13分
即
两边取倒数，得 15分
将以上个式子相加得：
又
时， 17分
19．（17分）
解：（1）由已知，
∴椭圆的方程为 2分
∴过的一条切线方程为： 4分
（若写出同样得分）
（2）直线的方程为：
设，
∵直线的方程为：，令，得
6分
∵直线的方程为：，直线的方程为：
联立得， 9分
在椭圆上 11分
（3）
同理
13分
15分
17分

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