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广东惠州市第八中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题
一、单选题
1．若，则（ ）
A．1 B．2 C．5 D．
2．在，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，则（ ）
A．2 B．3 C． D．
3．已知直线，，是三条不同的直线，平面，，是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，且，，则
D．，，三个平面最多可将空间分割成个部分
4．已知=（-1，1），||=，|+2|=，则向量与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在中，为靠近点的三等分点，为的中点，设，以向量为基底，则向量（ ）
A． B． C． D．
6．如图，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则（ ）
A． B．
C． D．平面
7．已知向量，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．已知为的外接圆圆心，，则的最大值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
二、多选题
9．若复数，则（ ）
A．z的虚部为7 B．z在复平面内对应的点位于第三象限
C． D．z是方程的一个根
10．已知平面向量，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．向量与的夹角的余弦值为 D．向量在上的投影向量的坐标为
11．在圆锥中，是母线上靠近点的三等分点，，底面圆的半径为，圆锥的侧面积为，则（ ）
A．当时，从点到点绕圆锥侧面一周的最小长度为
B．当时，过顶点和两母线的截面三角形的最大面积为
C．当时，圆锥的外接球表面积为
D．当时，棱长为的正四面体在圆锥内可以任意转动
三、填空题
12．若点，，，且，，三点共线，则______.
13．已知圆台的上下底面半径分别为2，3，侧面积为，则该圆台的体积为___________.
14．已知正八面体的中心为点，各棱长均为，已知，，过点作该正八面体的截面，所得截面面积为________.
四、解答题
15．记的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求；
(2)若，的面积为，求的周长.
16．如图，已知四棱锥的底面是正方形，底面，，是侧棱的中点．
(1)求证：平面．
(2)求异面直线与所成的角．
17．如图，在直三棱柱中，，点为的中点．
(1)求证：平面；
(2)若，求三棱锥的体积．
18．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求角A的大小；
(2)若D为边BC上一点，满足，且，求的面积最大值；
(3)若D为边BC上一点，AD为角A的平分线，且，求的最小值．
19．在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量.作：，当不共线时，记以OM，ON为邻边的平行四边形的面积为当共线时，规定．
(1)分别根据下列已知条件求；
①；
②；
(2)若向量，求证：；
(3)记，且满足，求的最大值.
参考答案
1．A
【详解】因为，所以，
所以，
故选：A.
2．A
【详解】在，，，，
则，
所以.
3．D
【详解】对于选项A，若，，则与可能相交、平行或异面，故选项A错误；
对于选项B，若，，则或，故选项B错误；
对于选项C，若，，且，，因为直线，未必相交，所以与不一定平行，故选项C错误；
对于选项D，
三个平面两两两平行时，可把空间分成4部分；
三个平面中恰有两个平面平行时，可把空间分成6部分，如图（1）；
三个平面两两相交于一条直线时，可把空间分成6部分，如图（2）；
三个平面两两相交于三条直线且三条直线互相平行，可把空间分成7部分，如图（3）；
三个平面两两相交于三条直线，且三条直线交于一点，可把空间分成8部分，如图（4）；
D正确，
故选：D.
4．D
【详解】因为，所以，又，
所以，因此，
所以，因此向量与的夹角为.
故选D
5．B
【详解】由图形可知：
.
故选：B.
6．C
【详解】如图，记正方体的另一个顶点为C，连接，交于点O，
设的中点为，连接，
因为Q，D为的中点，则，
又因为交于同一点，
即与均不平行，故A，B错误；
对于选项D：若平面，
且平面，平面平面，可得，
这与与不平行相矛盾，假设不成立，故D错误；
对于选项C：因为为正方形，则，
且M，N为所在棱的中点，则，可得，
又因为平面，且平面，可得，
且，平面，所以平面，
由平面，所以，故C正确；
故选：C.
7．B
【详解】因为向量，，所以，
故为锐角，则，
故.
故选：B.
8．B
【详解】如图所示：

因为为的外接圆圆心，，所以，
且，
所以，
故当共线反向时，取到最大值.
故选：B.
9．AD
【详解】，其虚部为，A选项正确，
在复平面对应的点为，在第二象限，B选项错误.
，C选项错误.
，D选项正确.
10．ABD
【详解】，
选项A：因，故，故A正确；
选项B：，故，故B正确；
选项C：，故C错误；
选项D：设向量在上的投影向量为，
则，故D正确.
11．ACD
【详解】圆锥的侧面积为，则.
对于A选项，当时，，将圆锥的侧面沿着母线展开如下图所示：
则圆锥的底面周长为，，
在中，，，
由余弦定理可得，A对；
对于B选项，当时，，设圆锥轴截面等腰三角形的顶角为，
则，则为钝角，
在圆上任取两点、，则，，
当且仅当时，等号成立，故顶点和两母线的截面三角形的最大面积为，B错；
对于C选项，当时，，圆锥的高为，
设圆锥的外接球的半径为，则，即，可得，
故圆锥的外接球的表面积为，C对；
对于D选项，当时，，圆锥的高为，
设圆锥的内切球半径为，圆锥的轴截面面积为，
圆锥的轴截面周长为，
由等面积法可得，可得，
将棱长为的正四面体可放在一个正方体内，使得该正四面体的四个顶点恰为正方体的四个顶点，如下图所示，
则该正方体的棱长为，所以正四面体的外接球的半径为，
因此，当时，棱长为的正四面体在圆锥内可以任意转动，D对.
故选：ACD.
12．
【详解】由题意得：，，若三点共线，则存在唯一实数，使，
即：，解得：，所以.
13．
【详解】圆台的上底面半径，下底面半径，设圆台的母线长为，高为，
由圆台的侧面积公式得，解得，
由勾股定理得，
由圆台的体积公式得，
故答案为：.
14．/
【详解】直线交于点，交的延长线于，，连接，
则四边形是过点的平面截正八面体上面正四棱锥所得截面，
由是正方形的中心，得，，而，
于是分别为的中点，，
而，则，，，
在中，，令，则，
由点共线，得，则是的中点，，
令，于是，由点共线，得，
在中，，由余弦定理得，
在中，，，
，
而，
因此，由正八面体的对称性得所求截面面积为.
15．(1)
(2)
【详解】（1）由，
有，即，
，，
，；
（2）由（1）的结论有，
又，，
由三角形面积公式有
，，
在中，由余弦定理有
，，
的周长.
16．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）四棱锥的底面是正方形，，
底面，底面，，
，平面，
平面．
（2）连接交于点，连接，
在中，分别是中点，则，
因此异面直线与所成的角即为或其补角，
，，
，
，故是等边三角形，
，
异面直线与所成的角为．
17．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）连接，设，连接，
在直三棱柱中，四边形为平行四边形，则为的中点，
又因为为的中点，则，
又因为平面，平面，
所以平面．
（2）由直三棱柱可知，三棱锥的高为，，
在中，，为的中点，由（1）知，
所以．
因此．
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，
又因为，可得，
所以，
所以，
因为，所以，可得，所以，
又因为，故；
（2）因为D为边BC上，满足，
所以，所以，所以，
所以，
即有，
即，
所以，所以，即，
当且仅当时，即时，取等号，
所以，
即的面积最大值为；
（3）由，
则，
可得，则，
故，
当且仅当，即时，等号成立，
即的最小值为.
19．(1)5；0
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）因为，，且，
所以；
又，，所以；
（2）因为向量，且向量，
则，
所以，
同理，
所以；
（3）设为锐角时，由，得或，
当为锐角，为锐角时，
当时，取到最大值；
当为钝角时，由，得，
当为钝角，，
，
当，即时，取得最大值，
所以取得最大值.

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