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湖南常德市汉寿县第一中学2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题
一、单选题
1．已知集合，，记.则下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知i为虚数单位，则复数（ ）
A． B． C． D．
3．九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串.在某种玩法中，用表示解下个圆环所需要移动的最少次数，数列满足，且，则（ ）
A．287 B．272 C．158 D．143
4．经过直线和的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（ ）
A． B．或
C． D．或
5．函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
6．在一次业余歌唱比赛中，随机从观众中抽出10人担任评委．下面是他们给某位选手的打分情况：
43 44 45 45 46 48 49 49 50 51
设这10个分数的平均数为，再从中去掉一个最高分，去掉一个最低分，设剩余8个分数的平均数为，则（ ）
A． B．且
C．且 D．且
7．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知正三棱柱侧棱长是底面边长的两倍，，分别为和的中点，则下列陈述不正确的是（ ）
A．平面
B．
C．与所成角的正弦值为
D．与平面所成角的正切值为4
二、多选题
9．下列叙述正确的是（ ）
A．已知函数是定义域为R的奇函数，且，则是周期为4的函数；
B．已知函数的定义域是R，则实数a的取值范围是；
C．已知函数值域为R，且在上为增函数，则a的取值范围是；
D．设函数的定义域为D，若满足条件：存在，使在上的值域为，则称为“倍胀函数”.若函数为“倍胀函数”，则实数t的取值范围是.
10．设，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下面四个结论正确的是（ ）
A．若，则一定为等腰三角形
B．在锐角中，不等式恒成立
C．若，且有两解，则的取值范围是
D．若的平分线交AC于点，则
三、填空题
12．已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则________，_______.
13．在一个圆柱型的杯中放入一个球，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则该圆柱的体积与该球的体积之比为_____________．
14．已知函数在定义域上为偶函数，并且时,，若，则不等式的解集为__________.
四、解答题
15．已知的数列满足，，成公差为1的等差数列，且满足，，成公比为的等比数列；的数列满足，，成公比为的等比数列，且满足，，成公差为1的等差数列．
(1)求，．
(2)证明：当时，．
(3)是否存在实数，使得对任意，？若存在，求出所有的；若不存在，请说明理由．
16．设抛物线：（）的焦点为，点是抛物线上位于第一象限的一点，且.

(1)求抛物线的方程；
(2)如图，过点作两条直线，分别与抛物线交于异于的，两点，若直线，的斜率存在，且斜率之和为0，求证：直线的斜率为定值.
17．若盒中装有同一型号的灯泡共9只，其中有6只合格品，3只次品．某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只坏灯泡，每次从中取一只灯泡，若是合格品则用它更换坏灯泡，若是次品则将其报废（不再放回原盒中），则按要求回答以下问题：
(1)求成功更换会议室的坏灯泡前取出的次品灯泡数X的分布列；
(2)求成功更换会议室的坏灯泡前取出的次品灯泡数X的分布列所对应的期望和方差.
18．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，且，，.，分别为，的中点..
(1)若.求证：平面平面；
(2)若，.求直线与平面所成角的正弦值.
19．已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)若对任意，都有成立，求实数的取值范围.
参考答案
1．C
【详解】由可得可能的取值有，即，均满足，故.
对于A项，，故A项错误；
对于B项，，故B项错误；
对于C项，因，故，故C项正确；
对于D项，依题有，,则，故D项错误.
故选：C.
2．C
【详解】，
故选：C
3．D
【详解】因为数列满足，且，
所以，
,
所以.
故选：D.
4．B
【详解】由，得，即交点为，
直线过原点时，，方程为，即，
直线不过原点时，设直线方程为，由得，
所以直线方程为，即．
故选：B．
5．D
【详解】因为，当且仅当时，等号成立，
故函数的值域为.
故选：D.
6．A
【详解】由题意得，，
，
∴.
故选：A.
7．D
【详解】因为，
，
所以.
故选：D.
8．B
【详解】取AB的中点M，连接，
因为，分别为和的中点，
所以MEAC，且，
因为AC，且，
所以四边形是平行四边形，
故，
因为平面，平面，
所以平面，A正确；
取AC的中点D，连接FD，BD，BF，CF，
则，
因为三棱柱为正三棱柱，
则DF⊥底面ABC，
因为底面ABC，
所以DF⊥AC，DF⊥BD，
因为三角形ABC为等边三角形，
所以BD⊥AC，
设底面正三角形边长为2，则侧棱长为4，
由勾股定理得：，
，
由于，
故不垂直，B陈述不正确；
连接DE，则，
由勾股定理得：
因为，所以或其补角为与所成角，
故，
故与所成角的正弦值为，C正确；
因为DF⊥底面ABC，故∠FED为与平面所成角
，D正确.
故选：B.
9．ABC
【详解】A：由题设，可得，所以，即是周期为4的函数，正确；
B：的定义域是R，当时成立；当时仅需，即符合题意，故，正确；
C：若，则且值域为R，所以得或，而单调递减，在上单调递减，即原函数在上递增，由题意知且，则，综上有，正确；
D：因为在定义域上单调递增，根据“倍胀函数”的性质有，所以存在，使有两个不等的实根，令， 则，则上，单调递增且；上，单调递减且；只需，即，错误；
故选：ABC
10．BCD
【详解】令，解得，故选项A不正确.
令，得，故选项C正确.
令，得，
故，即，故选项D正确.
根据多项式的乘法可知其中4个因式中取项另一个取，或其中3个因式中取项另两个取项，可得项
所以，故选项B正确.
故选:BCD．
11．BCD
【详解】选项A，因为，即，所以有，
整理可得，所以或，故为等腰三角形或直角三角形，故A错误；
选项B，若为锐角三角形，所以，所以，
由正弦函数在单调递增，则，故B正确；
选项C，如图，若有两解，则，所以，则b的取值范围是，故C正确；

选项D，的平分线交于点D，，由，
由角平分线性质和三角形面积公式得，即，故D正确.
12． 0 1
【详解】因为是定义在上的奇函数，
所以图象的对称中心为，且，即.
因为，所以图象的对称轴方程为，
所以，
故的周期.
因为，，，，
，，，，
所以，
所以.
故答案为：0，1.
13．/
【详解】设球的半径为，则球的体积为，圆柱的体积为，
所以圆柱的体积与该球的体积之比为，
故答案为：.
14．
【详解】由题意知，当时，，即，
因为，令函数，则在上单调递增，
又由在上的偶函数，可得，
所以函数在上为偶函数，且在上单调递减，
因为，因此，且，即，
即，即，所以，
所以不等式的解集为.
故答案为：.
15．(1)，
(2)证明见解析
(3)存在，
【详解】（1）由题意得，，，，，，，．
（2），，
∴，则，
∴是首项为，公比为的等比数列，∴．
∵，∴，即．
（3）存在满足条件．
当时，，显然不是减数列，∴．
下证，当时，不能满足条件．
若，，则．
由（2）得，，又，∴，从而．
考虑子数列，，
∵，，
则，则，
∴是首项为，公比为的等比数列，
∴．
若，则当时，，即，
∴不满足条件．
综上，满足条件的只有1个，即．
16．(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由抛物线的定义知，解得，
所以抛物线的方程为.
（2）因为点的横坐标为2，即，解得，
故点的坐标为，
由题意可知，直线，不与轴平行，设，，
设直线：，即，
代入抛物线的方程得，即，
则，故，
所以，
即
设直线：，即，
同理可得，则，
即
直线的斜率，
所以直线的斜率为定值.
17．(1)分布列见解析.
(2)，
【详解】（1）依题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，
，或，
，或，
，或，
，或，
则X的分布列为
X 0 1 2 3
P
（2）由（1）可得
18．(1)证明见详解
(2)
【详解】（1）连接，
由题意可知：，可知
且为的中点，则，即，
若，即，可知为中点，则，
因为，，则，
且，平面，可得平面，
由平面，可得，
且，平面，可得平面，
又因为分别为的中点，则∥，即∥，
且底面是平行四边形，则∥，可知∥，
则四点共面，可知平面即为平面，
由平面，可得平面平面.
（2）由（1）可知：平面，且平面，则，
若，则，可知，
且，平面，则平面，
如图，以为坐标原点，为轴，建立空间直角坐标系，
则，
可得，
若，即，可知，
则，
设平面的法向量为，则，
令，则，可得，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
19．(1)单调递减区间为，单调递增区间为
(2)
【详解】（1）函数的定义域为，
所以
由，得；由，得，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为；
（2）由（1）可知在上单调递减，在上单调递增.
所以，
因为对任意的，都有成立，
所以，
所以实数的取值范围为.

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