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湖南邵阳市2025-2026学年高三下学期模拟预测
数学试题
一、单选题
1．命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知向量，若，则的值为（ ）
A．1 B． C．4 D．
3．已知为虚数单位，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
4．已知抛物线上一点到焦点的距离为4，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
5．已知是定义域为的奇函数，且当时，．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知是等差数列的前项和，．若，则正整数的最大值为（ ）
A．2026 B．2027 C．4052 D．4053
7．已知，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，若函数有8个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法中正确的是（ ）
A．若随机变量满足，则
B．在回归分析中，决定系数的值越接近1，模型的拟合效果越好
C．经验回归直线至少经过其样本数据点中的一个点
D．若事件满足，则
10．数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆任意两条互相垂直的切线的交点都在以原点为圆心，为半径的圆上，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆可以与边长为的正方形的四条边均相切，则（ ）
A．椭圆的离心率为
B．若一个矩形的四条边均与椭圆相切，则该矩形面积的最大值为50
C．若为椭圆的蒙日圆上任意一点，则直线的斜率的取值范围为
D．若为椭圆的蒙日圆上任意一点，且点到直线与到直线的距离之和与点的位置无关，则的取值范围是
11．如图，已知在三棱柱中，，点分别在棱，上，且，为棱的中点．下列说法正确的是（ ）
A．若，则平面
B．五面体的体积为三棱锥的体积的8倍
C．若，则
D．若，则当时，五面体的体积有最大值
三、填空题
12．的展开式中的系数为___________（用数字作答）．
13．在正项等比数列中，若，则___________．
14．已知函数若存在最大值，则实数的最大值为___________．
四、解答题
15．已知在中，点在边上，，，，．
(1)求的长；
(2)若，求，的值．
16．如图，已知点是半圆弧所在圆的圆心，点是上异于的点，三棱锥的外接球的表面积为，．
(1)证明：平面平面；
(2)当点是上靠近点处的三等分点时，求二面角的余弦值．
17．已知双曲线过点，且渐近线方程为，过点作三条直线与的右支分别交于点，直线与轴的交点分别为点．
(1)求的方程；
(2)设直线的斜率分别为．
（i）若点为线段的中点，且，求直线的斜率；
（ii）若，且，求的面积．
18．已知一个质点从边长为1个单位的正三角形的某个顶点出发，沿着该三角形的边移动，每次移动1个单位，具体规则如下：
若质点位于顶点，则每次移动到顶点的概率为，移动到顶点的概率为；
若质点位于顶点，则每次移动到顶点的概率为，移动到顶点的概率为；
若质点位于顶点，则每次移动到顶点的概率为，移动到顶点的概率为．
设质点初始位置在顶点，请回答下列问题：
(1)求第2次移动后质点位于顶点的概率；
(2)设第次移动后质点位于顶点的概率为．
（i）求；
（ii）当足够大时，试估计第次移动后质点位于哪个顶点的概率最大，并说明理由．
19．已知函数和．
(1)设函数，讨论的单调性；
(2)若函数与的图象有三条公切线，求实数的取值范围；
(3)求函数的最小值．
参考答案
1．A
2．B
3．D
4．C
5．C
6．C
7．B
8．A
9．AB
10．BCD
11．ACD
12．
13．3
14．
15．（1）在中，，点在边上，则，
，
在中，，
．
（2）在中，由余弦定理得，
则，故，
又，
．
16．（1）设三棱锥的外接球球心为点，半径为，则，解得，
由，得的外接圆半径，
则，点也为外接圆的圆心，连接，得，
在中，由，得，由在上，
得，又，则，即，
而平面，则平面，
又平面，所以平面平面.
（2）由（1）知，平面，在平面内作，，
则直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
由点是上靠近点的三等分点，得为等边三角形，
则，，
设平面的法向量是，则由，取，得
，
平面是平面的一个法向量，则，
由图知二面角的大小为锐角，所以二面角的余弦值是．
17．（1）由题可设双曲线的方程为，即，
将点代入可得，所以双曲线的方程为．
（2）（i）直线，令，得．
直线，令，得．
由，得，所以，故中点，
所以，故直线的斜率为4.
（ii）由题意得且，不妨设，则．
设直线的倾斜角为，则，所以，
故，可得，又，所以．
所以直线，直线．
由得，故．
所以．
由得，故．
所以．
由，得．
所以．
18（1）设事件“第1次移动后质点位于顶点”，“第2次移动后质点位于顶点”，根据题意得，
得．
因此，第2次移动后质点位于顶点的概率为．
（2）（i）设第次移动后质点位于顶点，的概率分别为，，则．
根据规则，递推关系如下：
由，代入的递推式得：
，
令，所以，
所以．又，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列．
所以，即.
（ii）当足够大时，第次移动后质点位于顶点的概率最大，理由如下：
由（i）知，，所以，代入的递推公式得：
，
令，所以,
所以．
又，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列．
所以，即．
所以．
所以．
又，
故当足够大时，第次移动后质点位于顶点的概率最大．
19（1）解：由题意得，函数，其定义域为，
且，
当时，恒成立，所以在上为减函数；
当时，令，可得，令，可得，
因为定义域为，所以在上单调递增，在上单调递减．
（2）解：设公切线与相切于点，与相切于点，
由得公切线的方程为，整理得①
由得公切线的方程为，
整理得②
由①②得，整理得
设，则，
所以，得或，
所以在和上单调递增，在上单调递减．
又当时，，当时，且，
故要使得有三个不同的根，需，
综上可得，实数的取值范围为．
（3）解：因为，可得，
设，可得，
所以在上单调递增，即在上单调递增，
又因为，所以存在唯一零点．
设零点为，则且．
故当时，；当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值．
又因为，所以，
又因为，
令，则，
因为，所以在上单调递增，
所以，即，
故的最小值．

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