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北师大版数学7年级上册培优精做课件授课教师：.班级：7年级（）班.时间：.3.3探索与表达规律第三章整式及其加减北师大版数学七年级上册3.3探索与表达规律练习题班级：________姓名：________得分：________时间：40分钟一、基础题（每题10分，共30分）1.观察日历中的数字规律（如图，方框为3×3套色方框），回答下列问题：（1）若方框正中间的数为a，用含a的代数式表示方框中左上角的数是________；（2）若方框中9个数的和为108，求正中间的数a的值（写出解题过程）；（3）试说明：任意一个3×3套色方框中，9个数的和一定是中间数的9倍（结合代数式证明）。2.观察下列单项式：x，-2x ，3x ，-4x ，5x ，…，按此规律，第n个单项式是________（用含n的代数式表示）。3.用火柴棒按如图方式搭三角形，第1个图形用3根火柴棒，第2个图形用5根火柴棒，第3个图形用7根火柴棒，…，则搭第n个图形需要________根火柴棒，搭第10个图形需要________根火柴棒。二、中档题（每题15分，共30分）1.观察一列数：1，1993，1992，1，1991，1990，1，…，从第三个数起，每个数都是它前面两个数中大数减小数的差。（1）这列数的排列规律是________；（2）求前10个数的和。2.某展览馆用黑白两种颜色的大理石地砖按规律铺设地面，第1个图案用1块黑砖、4块白砖，第2个图案用3块黑砖、8块白砖，第3个图案用5块黑砖、12块白砖，…，按此规律：（1）第n个图案中，黑砖有________块，白砖有________块；（2）求第8个图案中黑砖和白砖的总块数。三、拓展题（每题20分，共40分）1.做一个数字游戏：第一步，取一个自然数n =6，计算n +1得a ；第二步，算出a 的各位数字之和得n ，计算n +1得a ；第三步，算出a 的各位数字之和得n ，计算n +1得a ；…，以此类推，求a 的值。2.观察数表规律：12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16…（1）第n行有________个数，第n行的最后一个数是________；（2）求第6行的第一个数和最后一个数，以及第6行所有数的和。参考答案提示：一、1.（1）a-8；（2）a=12；（3）证明略；2. (-1) nx ；3. 2n+1，21二、1.（1）三个数为一组，每组的第一个数是1，后两个数依次递减1；（2）11959；2.（1）2n-1，4n；（2）72块三、1. a =26；2.（1）2n-1，n ；（2）第一个数26，最后一个数36，和为187经历探索数量关系、运用符号表示规律、通过计算验证规律的过程，体会探索规律的一般方法。
（重、难点）
在活动中发展观察、合作、交流等能力，认识探索规律的必要性，体会数学学习的乐趣。
情境引入
星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
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你说我猜：
提示：(1) 请找出同一横线上三个相邻数之间的关系；
(2) 请同学们找一找竖列三个相邻数的关系；
星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
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探究点一：日历规律
(3) 请同学们找一找左上右下对角线上三个相邻数的关系；
(4) 请同学们找一找左下右上对角线上三个相邻数的关系.
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探究点一：日历规律
问题2：日历图的套色方框中的 9 个数之和与该方框正中间的数有什么关系？
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套色方框 9 个数之和是 90，是正中间的数 10 的 9 倍。
探究点一：日历规律
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问题3：这个关系对其他这样的方框成立吗？
成立。如：套色方框 9 个数之和是 126，
是正中间的数 14 的 9 倍。
探究点一：日历规律
问题4：这个关系对任何一个月的日历都成立吗？为什么？
成立
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绿色方框中九个数之和 = 9×正中间的数
猜想：
探究点一：日历规律
a
a-7
a+8
a-8
a+6
a-6
a+7
a-1
a+1
(a-8)+(a-7)+(a-6)+(a-1)+a+(a+1)+(a+6)+(a+7)
+(a+8) = ______
9a
结论：绿色方框中九个数之和 = 9×正中间的数
用代数式表示：
探究点一：日历规律
【尝试思考】
星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
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(1) 如图所示的日历图中，能否使框中 9 个数的和为144 180 呢 为什么
9a = 144
9a = 180
a = 20
a = 16
可以为 144。
和不能为 180。
探究点一：日历规律
(2) 在某个月的日历中，恰好有五个星期日位于同一列且日期数的和为 80，这个月的第一个星期日是几号
星期日
x
x+7
x+14
x+21
x+28
x + x + 7 + x + 14 + x + 21 + x + 28 = 80
5x + 70 = 80
x = 2
这个月的第一个星期日是 2 号。
探究点一：日历规律
星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
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十字形中的数字有何规律？你是如何验证的？
规律：十字形中五数之和 = 5×中间数
探究点一：日历规律
【思考交流】
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规律: “H”形中七数之和 = 7×中间数
“H”形中的数字有何规律？你是如何验证的？
探究点一：日历规律
星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
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你还能设计其他形状的包含数字规律的数框吗？
“X”形
探究点一：日历规律
探索规律的一般步骤：
猜 想 规 律
表 示 规 律
验 证 规 律
具 体 问 题
观察、比较
成立
得出结论
不成立
探 索
重 新
回 头
探究点一：日历规律
【归纳总结】
探究点二：图形规律
讨论：观察下列图形：
(1) 依照此规律，第 20 个图形共有几个五角星？
解：(1) 由图形可得，第1个图中，五角星有3个(3×1)；
第 2 个图中，五角星有 6 个 (3×2)；
第 3 个图中，五角星有 9 个 (3×3)；
第 4 个图中，五角星有 12 个 (3×4)；
所以第 n 个图中有五角星 3n 个.
所以第 20 个图中五角星有 3×20 = 60(个).
(2) 摆成第 n 个图形需要几个五角星？
(3) 摆成第 2015 个图形需要几个五角星
(2) 摆成第 n 个图形需要 3n 个五角星.
(3) 摆成第 2015 个图形需要 6045 个五角星.
方法总结：此题首先要结合图形具体数出几个值，注意由特殊到一般的分析方法.
探究点二：图形规律
例1 用棋子摆成的 “T” 字形如图所示，按照图①，图②，图③的规律摆下去，摆成第 n 个 “T” 字形需要的棋子个数为( )
探究点二：图形规律
A
A. 3n + 2 B. 4n + 1
C. 3n + 5 D. 3n + 1
图①
图②
图③
···
如图所示是一个按规律排列的数表，用含 n 的代数式( n 为正整数)表示数表中第 n 行第 n 列的数为 .
(n－1)n＋1
探究点三：数阵规律
方法总结：在认真观察、分析的基础上，将数或式中的有关数字进行分解、组合变形，从中探索变化规律是解决此类问题的关键.
【变式训练】
有一列数：1，2，3，4，5，6，···，当按顺序从第二个数数到第 n 个数时，共数了 个数；
当按顺序从第 m 个数数到第 n 个数(n＞m) 时，共数了 个数.
(n－1)
(n－m＋1)
探究点三：数阵规律
随堂训练
1.观察一组数：1，-2，3，-4，5，-6,7，-8，…，则第2024个数是( )
A.2024
B.-2024
C.2025
D.-2025
B
2.观察按一定规律排列的单项式：-a，2a2，-3a3，4a4，-5a5，6a6，…，则第100个单项式是( )
A. -99a99
B.100a100
C.-100a100
D.99a99
B
3.把黑色棋子按如图所示的规律摆图案,其中第①个图案中有1枚棋子，第②个图案中有3枚棋子，第③个图案中有6枚棋子……按此规律摆下去，则第6个图案中棋子的枚数为( )
A.19
B. 21
C.23
D.25
B
4. 如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，第3个图案由10个基础图形组成……
则第n个图案中基础图形的个数为________。
3n+1
5.小慧和小华玩猜数游戏，小慧对小华说：“你心里想好一个数，把这个数乘6，然后加3，再把所得的和除以3，最后减你想的数。把你的结果告诉我，我就知道你心里想的数是几。”小华很好奇，就想了一个数，并按小慧说的方法计算出结果，告诉小慧说：“我计算的结果是-2。”则小慧可以猜出小华想的数是________。
-3
6.观察下列各式：1×3=3=22-1，2×4=8=32-1，3×5=15=42-1，4×6=24=52-1，5×7=35=62-1，…，这些等式反映出自然数间的某种运算规律。
请你根据规律写出第6个等式：_____________;
试根据上述规律把第n(n为正整数)个等式表示出来：______________________。
6×8=48=72-1
n (n+2) =(n+1) 2-1
7.如图是某月的日历图，在此日历图上用一个长方形框圈出3个数。
(1) 图中圈出的3个数的平均数是多少
解：(1) 13+14+15=42
42÷3=14 。
所以中圈出的3个数的平均数是14 。
7.如图是某月的日历图，在此日历图上用一个长方形框圈出3个数。
(2) 若用长方形框圈出此日历图中的任意3个数，位于中间的数是m，则这3个数的和是多少 这3个数的平均数是多少
(2) 因为中间的数是m，则另外两个数分别为m-1，m+1，
m-1+m+m+1=3m。
3m÷3=m。
7.如图是某月的日历图，在此日历图上用一个长方形框圈出3个数。
(3) 任意圈出的3个数的平均数与中间的数是什么关系 请直接写出结论。
任意圈出的3个数的平均数与中间的数相等。
知识点 借助归纳策略解决问题
1.［教材P100“问题”变式］“低多边形风格”是一种数字艺术设计风格。
观察发现下列低多边形中长方形内部点的个数增加，三角形的个数也随
之增加。根据你的发现，当长方形内部有36个点时，分得的三角形
（不计被分割的三角形）共有( )
A
A.74个 B.70个
C.68个 D.102个
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2.观察：，，，， ，
则 的个位数字是( )
B
A.0 B.2
C.6 D.8
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3.用正三角形、正方形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二
个图案开始，每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的
个数多4个。则第 个图案中正三角形的个数为( )
C
A. B.
C. D.
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4.如图，观察点阵图和相应的等式，探究其中的规律：
（1）根据前三个等式所反映的规律，补全④中的等式：
____；
（2）根据上面算式的规律， ____。
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5.（12分）［教材P102“回顾反思”第2题变式］如图，将一根绳子弯折，
然后按如图所示的方式剪开。剪1刀，绳子变为5段；剪2刀，绳子变为9
段。如此剪下去……
（1）剪11刀，绳子变为____段；
（2）剪 刀，绳子变为 _________段；
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（3）有可能正好剪得2 025段吗？请说明理由。
解：有可能正好剪得2 025段。
因为 ，
，
所以剪506刀，正好剪得2 025段。
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6.（8分）观察下面的变形规律：
，
，
解答下面的问题：
（1）根据上述变化规律写出下面等号后面的式子： ______；
____________。
若为正整数，猜想 ________；
（2）求值： 。
解：
。
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7. ［2025西安碑林区期中］如图是分子的结构模型，
它由半径相同的空心小圆和实心小圆按如图所示的方式排列。第①个图
形有4个小圆，第②个图形有6个小圆，第③个图形有8个小圆……依此
规律，第100个图形中空心小圆的个数是( )
B
A.103 B.102
C.101 D.99
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8.平面上1个圆能把平面分成2个部分；平面上2个圆最多能把平面分成4
个部分；平面上3个圆最多能把平面分成 ___个部分。以此类推，一般
地， 个圆最多能把平面分成_____________个部分。
8
返回
数式变化中的规律
图形拼接中的规律
探索与表达规律
探索 猜想 验证
特殊 一般

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