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北师大版数学7年级上册培优精做课件授课教师：.班级：7年级（）班.时间：.5.3.2“盈不足”问题第五章一元一次方程班级：________姓名：________得分：________（时间：40分钟满分：100分）一、选择题（每题10分，共30分）1.把一批图书分给学生，若每人分3本，则剩余20本；若每人分4本，则还缺25本，设学生有x人，下列方程正确的是（）A. 3x + 20 = 4x - 25 B. 3x - 20 = 4x + 25 C. 3x + 20 = 4x + 25 D. 3x - 20 = 4x - 252.某小组同学去植树，若每人种5棵，则剩14棵；若每人种7棵，则缺4棵，设该小组有x人，树苗有y棵，下列方程组（仅列方程，贴合七年级单方程要求）正确的是（）A. 5x + 14 = y，7x - 4 = y B. 5x - 14 = y，7x + 4 = y C. 5x + 14 = 7x - 4 D. 5x - 14 = 7x + 43.一个商人购进一批商品，若按每件盈利5元出售，可卖出300件；若按每件盈利8元出售，可卖出200件，且两次卖出的总盈利相同，设每件商品的成本为x元，下列方程正确的是（）A. 300(x + 5) = 200(x + 8) B. 300×5 = 200×8 C. 300(x - 5) = 200(x - 8) D. 300×(x + 5) = 200×(x + 8)二、填空题（每题10分，共30分）1.盈不足问题的核心是：抓住______不变（如总数量、总金额等），根据“盈”（剩余）和“不足”（缺少）的数量关系列一元一次方程。2.把一些苹果分给若干个小朋友，若每人分4个，则剩6个；若每人分6个，则缺2个，设小朋友有x人，可列方程为______，解得x = ______。3.某车间安排工人生产零件，若每人每天生产10个，则超额完成20个；若每人每天生产8个，则还差10个完成任务，设该车间有x名工人，任务总量为y个，可列方程为______。三、解答题（每题20分，共40分）1.学校组织学生去春游，若租用45座客车若干辆，则有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余车辆恰好坐满，求租用客车的数量和学生总人数。2.某商店购进一批笔记本，若按每本10元出售，可卖出200本；若按每本12元出售，可卖出150本，且两次卖出的总利润相同，求每本笔记本的进价是多少元？（利润=售价-进价）参考答案一、选择题：1.A 2.C 3.A二、填空题：1.总数量（或总金额）；2. 4x + 6 = 6x - 2，4；3. 10x - 20 = 8x + 10（或y = 10x - 20，y = 8x + 10）三、解答题：1.解：设租用客车x辆，根据学生总人数不变列方程。由题意，得45x + 15 = 60(x - 1)去括号，得45x + 15 = 60x - 60移项，得45x - 60x = -60 - 15合并同类项，得-15x = -75解得x = 5学生总人数：45×5 + 15 = 240（人）答：租用客车5辆，学生总人数为240人。2.解：设每本笔记本的进价是x元，根据两次总利润相同列方程。总利润=单本利润×卖出数量，由题意，得200(10 - x) = 150(12 - x)去括号，得2000 - 200x = 1800 - 150x移项，得-200x + 150x = 1800 - 2000合并同类项，得-50x = -200解得x = 4答：每本笔记本的进价是4元。（说明：本题围绕盈不足问题的核心等量关系，结合一元一次方程解决实际问题，侧重方程建模能力培养，涵盖分配类、利润类盈不足题型，难度贴合北师大版七年级“5.3.2盈不足问题”要求，步骤规范，贴合学情，总字数约800字。）利用方程解决“盈不足”问题。（重点）
根据题意建立等量关系，列出方程。（难点）
借助表格分析复杂问题中的数量关系，从而建立方程解决实际问题。
把一些书分给几名学生，如果每人分3本，那么多出8本；如果每人分5本，那么还少2本.共有多少本书？ 共有多少名学生？
创设情境，导入新课
《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》中最重要的一部。
《九章算术》第七章“盈不足”中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？”
你知道我国古人是如何解决这个
问题的吗？
“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？”
题目大意：几个人合伙买东西，若每人出 8 钱，则会多出 3 钱，若每人出 7 钱，则还少 4 钱。问合伙的人数和物品的价格分别是多少？
（1）问题中有哪些已知量和未知量？它们之间有怎样的等量关系？
探究点：“盈不足”问题
【合作探究】
（2）设人数为 x，其他未知量能用含 x 的代数式表示吗？请完成下表。
有关量 每人出 8 钱 每人出 7 钱
人数 x
出钱总数
物价
8x
8x - 3
x
7x
7x + 4
探究点：“盈不足”问题
（3）根据等量关系，你能列出怎样的方程？
方法总结：利用表格分析数量关系是一种有效方法。
设人数为 x。
根据等量关系，列出方程： 。
解这个方程，得 x = 。
因此，人数为 ，物价为 。
7
7
53
8x - 3 = 7x + 4
探究点：“盈不足”问题
思考：如果设物价为 y，你能列出怎样的方程？与同伴进行交流。
解得 y = 53。
你比较喜欢用哪种方式列方程呢？
探究点：“盈不足”问题
例1 《九章算术》“盈不足”章第五题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百。问人数、金价各几何？
题目大意：几个人合伙买金，每人出 400 钱，会多出 3400 钱；每人出 300 钱，会多出 100 钱。合伙人数、金价各是多少？
探究点：“盈不足”问题
分析：设人数为 x，你能把下表补充完整吗？
有关量 每人出400 钱 每人出300 钱
人数 x
出钱总数
物价
400x
400x - 3400
x
300x
300x - 100
探究点：“盈不足”问题
解：设合伙人数为 x，则金价可表示为 （400x - 3400）钱，还可表示为 （300x - 100）钱，根据等量关系，列出方程：
方程的两边就是金价的两种不同的表达式。
400x - 3400 = 300x - 100。
解这个方程，得 x = 33。
300×33 - 100 = 9800。
因此，人数为 33，金价为 9800 钱。
探究点：“盈不足”问题
针对训练
我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公. 众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房.该店有客房多少间？ 多少客人？
解：设该店有客房x 间
则根据题意，得 7x+7＝9(x-1)
解得 x＝8
7×8+7=63
答：该店有客房8间，63名客人.
《孙子算经》中有一道题，原文是：今有四人共车，一车空；三人共车，九人步，问：人与车各几何？ 译文为：今有若干人乘车，若每4人共乘一车，则最终剩余1辆车；若每3人共乘一车，则最终剩余9个人无车可乘，共有多少人？ 多少辆车？设共有x 人，可列方程( )
A.
B.-9
C.
D.
A
我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，则有多少匹大马？ 多少匹小马？
培优点　根据古代数学问题列方程
解：设有x匹大马，则有(100-x)匹小马
根据题意，得 3x+ (100-x)=100
解得 x=25
100-25=75
答：有25匹大马，75匹小马.
1.某物流中转站为提高工作效率，配置了快递自动化智能分拣设备，现对一批中转货物进行分拣. 若每套设备每小时分拣3.5万件，则经过1 h，剩下4万件未分拣；若每套设备每小时分拣4万件，则经过1h，剩下1万件未分拣. 该物流中转站配置了多少套这样的分拣设备？
解：设该物流中转站配置了x套分拣设备
根据题意，得 3.5x+4＝4x+1
解得 x＝6
答：该物流中转站配置了6套分拣设备
【选自教材P155 习题5.3 第6题】
2.今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十. 问：家数、牛价各几何？(选自《九章算术》)
题目大意：几家人合伙买牛，若每7家合伙出190钱，则差330钱；若每9家合伙出270钱，则多了30钱. 家数、牛价各是多少？
解：设一共有x家，则牛价为()钱或()钱
根据题意列方程得=
解得 x=126
=3750(钱)
答：一共有126家，牛价为3750钱.
【选自教材P155 习题5.3 第7题】
知识点1 古算术中的盈余问题
1.我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹
如簇，不知人数不知梨，每人四梨多十二，每人六梨恰齐足。”其大意
为：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨，每人分4个梨，多12个梨；
每人分6个梨，恰好分完。”设梨有 个，则可列方程为( )
B
A. B.
C. D.
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2.［2025西安铁一中月考改编］《九章算术》是中国古代重要的数学著
作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不
足十六。问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会
多出11钱；每人出6钱，又差16钱。问买鸡的人数、鸡的价格各是多少？
（1）设买鸡的人数为 ，请完成下表：
有关量 每人出9钱 每人出6钱
出钱总数
鸡的价格 _________ _________
（2）根据等量关系，列出方程为__________________。
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3. ［2025宝鸡期中］我国古代著作《孙子算经》中记载
了这样一个数学问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，五人步。
问车有几何？”意思是：每3人共乘一辆车，最终剩余2辆车；每2人共乘
一辆车，最终有5人无车可乘，则车有____辆。
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知识点2 一般盈余问题
4.五一劳动节时为感谢环卫工人对城市美好市容的辛苦付出，乐乐和丽
丽所在的活动小组计划做一批“感谢贺卡”。若每人做8张，则比计划多
了3张；若每人做5张，则比计划少了27张。则该活动小组共有多少人？
（1）设该活动小组共有 人，请完成表格：
有关量 每人做8张 每人做5张
实际做的卡片/张 ____
计划做的卡片/张 _________ _______
（2）根据等量关系，列出方程为_________________。
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5.［教材P155“习题5.3”第6题变式］近年来，网购的蓬勃发展方便了人
们的生活。某快递分派站现有若干件包裹需快递员派送，若每名快递员
派送10件，还剩6件；若每名快递员派送12件，还差14件，则该快递分
派站现有快递员____名。
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6.（6分）爸爸买了一箱苹果回家，小芳想分给家里的每一个人，如果
每人分3个，剩下3个苹果分不完，如果每人分4个，还差2个苹果才够分，
问小芳家有几个人？爸爸买了多少个苹果？
解：设小芳家有 个人。
根据题意，得 ，
解得，则 。
故小芳家有5个人，爸爸买了18个苹果。
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实际问题
盈亏不足问题
盈时的总量－盈时的数量＝亏时的总量＋____的数量
亏时
方法点拨：“盈不足”问题，往往都是根据同一个量的两种不同表示方式来列方程求解，一般有两种设未知数的方法。

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