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北师大版数学7年级上册培优精做课件授课教师：.班级：7年级（）班.时间：.小结与复习第五章一元一次方程班级：________姓名：________得分：________（时间：40分钟满分：100分）一、选择题（每题10分，共30分）1.行程问题的基本关系式是（）A.路程=速度×时间B.速度=路程×时间C.时间=速度×路程D.路程=速度+时间2.甲、乙两人从相距120km的两地相向而行，甲的速度是40km/h，乙的速度是20km/h，两人同时出发，经过x小时相遇，下列方程正确的是（）A. 40x + 20x = 120 B. 40x - 20x = 120 C. 40x + 20 = 120 D. 20x + 40 = 1203.小明以5m/s的速度跑步，小亮以3m/s的速度步行，两人从同一地点同向出发，小明在小亮身后10m处，经过x秒小明追上小亮，可列方程为（）A. 5x + 3x = 10 B. 5x - 3x = 10 C. 5x - 3 = 10 D. 5x + 3 = 10二、填空题（每题10分，共30分）1.行程问题中，相向而行（相遇问题）的核心等量关系：______ + ______ =总路程；同向而行（追及问题）的核心等量关系：______ - ______ =路程差。2.一辆汽车以60km/h的速度行驶，经过t小时，行驶的路程为180km，可列方程为______，解得t = ______。3.甲、乙两车从同一地点出发，同向而行，甲车速度为70km/h，乙车速度为50km/h，甲车比乙车晚出发1小时，设甲车行驶x小时后追上乙车，可列方程为______。三、解答题（每题20分，共40分）1.甲、乙两人分别从A、B两地相向而行，A、B两地相距180km，甲每小时行15km，乙每小时行10km，两人同时出发，经过几小时相遇？相遇时甲行驶了多少千米？2.一列快车以120km/h的速度从甲地开往乙地，一列慢车以80km/h的速度从乙地开往甲地，两车同时出发，经过2小时后两车相距40km，求甲、乙两地的距离（分两种情况解答）。参考答案一、选择题：1.A 2.A 3.B二、填空题：1.甲走的路程，乙走的路程，快者走的路程，慢者走的路程；2. 60t = 180，3；3. 70x = 50(x + 1)三、解答题：1.解：设经过x小时两人相遇，根据相向而行总路程关系列方程。由题意，得15x + 10x = 180合并同类项，得25x = 180解得x = 7.2相遇时甲行驶的路程：15×7.2 = 108（km）答：经过7.2小时相遇，相遇时甲行驶了108千米。2.解：分两种情况，设甲、乙两地的距离为y km。情况一：两车未相遇，相距40km，此时两车行驶的总路程+ 40km =总距离列方程，得(120 + 80)×2 + 40 = y解得y = 440情况二：两车相遇后，继续行驶相距40km，此时两车行驶的总路程- 40km =总距离列方程，得(120 + 80)×2 - 40 = y解得y = 360答：甲、乙两地的距离为440km或360km。（说明：本题围绕行程问题的基本关系式，结合相遇、追及及分类讨论题型，结合一元一次方程解决实际问题，侧重方程建模和分类思考能力培养，难度贴合北师大版七年级“5.3.3行程问题”要求，步骤规范，贴合学情，总字数约800字。）一元一次方程的一般形式
(a ≠ 0)
定义：只含有 未知数，未知数的次数都是 ，等式两边都是____
方程的解：使方程等号左右两边相等的未知数的值
解方程
等式的基本性质
解法
应用
①去 ；②去 ；③ 项；④合并 ；⑤系数化为___
审、 、列、解、检、
依据
一般步骤
一般步骤
ax = b
一个
1
整式
分母
括号
移
同类项
1
找
答
一、方程的有关概念
1. 方程：含有未知数的等式叫作方程．
2. 一元一次方程的概念：如果只含有___个未知数(元)，未知数的次数都是 ，等式两边都是________，这样的方程叫作一元一次方程.
3. 方程的解：使方程等号左右两边相等的未知数的
值叫作方程的解．
4. 解方程：求方程的解的过程叫作解方程．
一
1
整式
二、等式的基本性质
bc
c
1. 等式的基本性质1：等式两边加 (或减) 同一个数 (或式子)，结果仍相等．如果 a＝b，那么 a± ＝
b±c。
2. 等式的基本性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等．如果 a＝b，那么 ac＝ ___；如果 a = b (c ≠ 0)，那么 ＝ 。
___
解一元一次方程的一般步骤：
(1) 去分母：方程两边都乘各分母的最小公倍数，别
漏乘。
(2) 去括号：注意括号前的系数与符号。
(3) 移项：把含有未知数的项移到方程的左边，常数
项移到方程右边，移项时注意要改变符号。
(4) 合并同类项：把方程化成 ax＝b (a ≠ 0) 的形式．
(5) 系数化为 1：方程两边同除以 x 的系数，得 x＝m
的形式。
三、一元一次方程的解法
1. 列一元一次方程解决实际问题的一般步骤：
审：审清题意，分清题中的已知量、未知量。
设：设未知数，设其中某个未知量为 x。
列：根据题意寻找等量关系列方程。
解：解方程。
检：检验方程的解是否符合题意。
答：写出答案 (包括单位)。
四、实际问题与一元一次方程
审题是基础，找等量关系是关键.
2. 常见的几种方程类型及等量关系：
(1) 行程问题中基本量之间关系：
路程＝速度×时间．
① 相遇问题：
全路程＝甲走的路程＋乙走的路程；
② 追及问题：
甲为快者，被追路程＝甲走路程－乙走路程；
③ 流水行船问题：
v顺＝v静＋v水，v逆＝v静－v水。
(2) 工程问题中基本量之间的关系：
① 工作量＝工作效率×工作时间；
② 合作的工作效率＝工作效率之和；
③ 工作总量＝各部分工作量之和＝合作的工作效
率×工作时间；
④ 在没有具体数值的情况下，通常把工作总量看
作 1。
(3) 销售问题与方案选择问题
① 商品利润＝商品售价－商品进价；
④ 商品售价＝商品进价＋商品利润
＝商品进价＋商品进价×利润率
＝商品进价×(1＋利润率)。
② 利润率＝ ；
③ 商品售价＝标价× ；
1.解方程
解：去分母，得 5x – 3x = 4
合并同类项，得 2x = 4
方程两边都除以2，得
x = 2
（1） ；
（2） ；
解：去分母，得 4 – 48x = 18 – 3x
移项，合并同类项，得 – 45x = 14
方程两边都除以45 x =
复习题
知识技能
（3）0.5x – 0.7 = 6.5 – 1.3x；
解：移项，合并同类项，得
1.8x = 7.2
方程两边都除以1.8，得
x = 4
（4）
解：去分母，得
5(3x – 6) = 6×2x – 3×30
去括号，得
15x – 30 = 12x – 90
移项，合并同类项，得 3x = – 60
方程两边都除以3，得
x = – 20
(5)3(x-7)+5(x-4)=15
(6)4x-3(20-x)=-4
解：去括号，得
3x – 21+5x-20 =15
移项，合并同类项，得 8x = 56
方程两边都除以8，得
x = 7
解：去括号，得
4x – 60+3x =-4
移项，合并同类项，得 7x = 56
方程两边都除以7，得
x = 8
(7)
(8)
解：去分母，得
5(y-1)= 20 – 2(y+2)
去括号，得
5y-5= 20-2y-4
移项，合并同类项，得 7y =21
方程两边都除以7，得
y= 3
解：去分母，得
7(1-2x)= 6(3x+1)
去括号，得
7-14x= 18x+6
移项，合并同类项，得 -32x=-1
方程两边都除以-32，得
x =
2.在公式s=s0+vt中，已知s=100，s0=25，v=10，求t的值
解： s=100，s0=25，v=10代入方程得
100=25+10t
移项，合并同类项，得 75= 10t
方程两边都除以10，得
t= 7.5
3.儿子今年13岁，父亲今年40岁，是否有哪一年父亲的年龄恰好是儿子年龄的4倍？为什么？
解：设 x 年后父亲的年龄恰好是儿子年龄的4倍
由题意，得 4（13 + x）= 40 + x
解得 x = – 4
答：4 年前父亲的年龄恰好是儿子年龄的4倍，那时儿子 9 岁，父亲 36 岁.
数学理解
4.《九章算术》中给出“盈不足术”：把盈余数与不足数相加，和为被除数，把两次每人出的钱数之差作为除数，所得的商即为人数；将人数乘每人出的钱数，然后减对应的盈余数或加对应的不足数即为物价. 试解释这种算法.
请分别用“盈不足术”及方程的方法求解下面的问题.
今有共买鸡，人出九，盈一十一；人出六，不足十六. 问：人数、鸡价各几何？
4.《九章算术》中给出“盈不足术”：把盈余数与不足数
相加，和为被除数，把两次每人出的钱数之差作为除数，所得的商即为人数；将人数乘每人出的钱数，然后减对应的盈余数或加对应的不足数即为物价. 试解释这种算法.
第二次出钱总数+不足数=物价
第一次出钱总数-盈余数=物价
①和②两边分别相减得到
所以 人数＝(盈余数+不足数) ÷两次每人钱数之差
两次出钱总数之差＝两次每人所出钱数之差×人数
两次出钱总数之差=盈余数+不足数
①
②
物价=第一次出钱总数-盈余数=人数×每人出钱数-盈余数
物价=第二次出钱总数+不足数=人数×每人出钱数+不足数
今有共买鸡，人出九，盈一十一；人出六，不足十六.
问：人数、鸡价各几何？
盈不足术
人数＝(盈余数+不足数) ÷两次每人钱数之差
人数＝(11+16)÷(9-6)=9
物价=人数×每人出钱数-盈余数
物价=9×9-11=70
答：人数为9人，鸡价为70
方程方法：
设人数为x，由题意，得
9x-11=6x+16
解得 x = 9
9x-11=70
答：人数为9人，鸡价为70.
今有共买鸡，人出九，盈一十一；人出六，不足十六.
问：人数、鸡价各几何？
5．把100 写成两个数的和，使第一个数加3与第二个数减3的结果相等. 这两个数分别是多少？
解：第一个数为x，则第二个数为100-x
由题意，得 x+3= 100-x-3
解得 x = 47
100-x=100-47=53
答：第一个数为47，则第二个数为53.
问题解决
6．今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三. 问：人数、羊价各几何？（选自《九章算术》)
题目大意：几个人合伙买羊，若每人出5钱，则差45钱；若每人出7钱，则差3钱. 合伙人数、羊价各是多少？
解：设合伙人数为x
由题意，得 5x+45= 7x+3
解得 x = 21
5x+45=150
答：合伙人数是21，羊价是150.
7．牧童分杏各争竞，不知人数不知杏. 三人五个多十枚，
四人八枚两个剩. 问：有几个牧童几个杏？(选自《算法统宗》)
题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏. 若3人一组，每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8个杏，则多2个杏. 有多少个牧童、多少个杏？
解：设有x个牧童，由题意，得
+2
解得， x = 24， +10=50
答：有24个牧童，50个杏.
8．爷爷与孙子下棋，爷爷赢1盘记1分，孙子赢1盘记3分，
下了8盘，每盘都分出了胜负，此时两人得分相等. 他们各赢了多少盘？
解：设爷爷赢了x盘，孙子赢了(8-x)盘
由题意，得 =3(8-x)
解得 x = 6
8-x=2
答：爷爷赢了6盘，孙子赢了2盘.
9．某文件需要排版，小李独立做需要6h完成，小王独立做需要8h完成. 如果他们俩共同做，需要多长时间完成？
解：设两人共同需要x h完成.
由题意，得
解得 x =
答：两人共同需要 h完成.
10．一辆收割机收割一块麦田，上午收割了麦田的25%，下午收割了剩下麦田的20%，结果还剩下6 hm2麦田未收割. 这块麦田一共有多少公顷？
解：设这块麦田一共有x公顷.
由题意，得
25%x+(1-25%)x×20%+6=x
解得 x =10
答：这块麦田一共有10公顷.
11．某商店出售两件衣服，每件60元，其中一件赚25%，而另一件赔25%，那么这家商店是赚了还是赔了，或是不赚也不赔呢？
解：设第一件衣服成本x元，第二件成本y元.
由题意，得
60-x=25%x
y-60=25%y
解得 x =48，y=80
60+60-48-80=-8（元）
答：这家商店赔了8元.
12．甲车从A地开往B地，速度是60 km/h；乙车沿同一路线同时从B地开往A地，速度是90 km/h. 已知A，B两地相距200 km，两车相遇的地方离A地多远？
解：设两车x h相遇. 由题意，得
60x+90x=200
解得 x =
60x=60× =80
答：两车相遇的地方离A地80km.
13．某商场将某种商品按原价的八折出售，此时商品的利润率是10%. 已知这种商品的成本价为1800元，那么这种商品的原价是多少？
解：设这种商品的原价为x元.
由题意，得
解得 x =2475
答：这种商品的原价为2475元.
14．某文艺团体为公益募捐组织了一场义演，成人票每张
80元，学生票每张50元，共售出1000张票，所得票款可能是69300元吗？为什么？可能是69320元吗？如果可能，那么成人票比学生票多售出多少张？
解：设成人票x张，学生票(1000-x)张. 由题意，得
80x1+50(1000-x1)=69300 80x2+50(1000-x2)=69320
解得 x 1= x 2=644
x 1=不是整数，所以不可能是69300，有可能是69320
学生票：1000-644=356(张) 644-356=288(张)
答：成人票比学生票多售288张.
15．把99写成四个数的和，使第一个数加2，第二个数减2，
第三个数乘2，第四个数除以2，得到的结果都相等. 这四个数分别是多少？
解：由题意得：
99=a+b+c+d
a+2=b-2=2c=
设第一个数为x.
由题意，得
x+(x+4)+ +2(x+2)=99
解得 x =20
x+4=24， =11， 2(x+2)=44
答：这4个数分别是20，24，11，44.
16．设未知数列方程与用字母表示数、表示数量关系有什么区别和联系？谈谈你的体会.
用字母表示数是基础，它使得我们能够表示和描述数量关系，设未知数列方程则是在此基础上的进阶应用. 同时，通过解方程，我们可以找到用字母表示的数的具体值. 无论是用字母表示数、表示数量关系还是设未知数列方程，最终都是为了更简洁、更准确地描述和解决数学问题.
*17．已知x=5是方程ax-8=20＋a的解，求a的值.
解：将x=5代入ax-8=20＋a，得
5a-8=20+a
解得
a=7
联系拓广
18．图中的正方形由9个小方格组成. 在每个小方格中各填一个数，如果每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，那么就称这个图是一个三阶幻方.
(1)请将1～9这9个数填入图中的小方格中，构造一个三阶幻方.
4
5
9
2
3
7
8
1
6
(2)改变(1)中所构造的三阶幻方中某些数的位置，构造一个新的三阶幻方.
6
5
7
2
1
9
8
3
4
6
5
1
8
7
3
2
9
4
(3)在(1)(2)所构造的不同三阶幻方中，有没有位置始终不变的数？如果有，请你解释其中的道理.
4
5
9
2
3
7
8
1
6
6
5
7
2
1
9
8
3
4
6
5
1
8
7
3
2
9
4
幻方中心的数不变
每行、每列、每条对角线上的三个数的和都等于幻方中心数的3倍
(4)你能选择其他9个数构造一个三阶幻方吗？请你试一试.
27
18
6
21
12
24
15
30
9
26
15
2
17
6
24
13
28
4
核心考点巩固
考点1 一元一次方程及其解
1.下列方程中是一元一次方程的是( )
A
A. B.
C. D.
返回
2.若是关于的一元一次方程，则 的值为( )
D
A.3或 B.0
C.3 D.
返回
3.已知关于的一元一次方程的解为 ，那么关
于的一元一次方程 的解为( )
B
A. B.
C. D.
返回
4.如果方程的解是，则 的值是_____。
返回
考点2 等式的基本性质
5.下列说法错误的是( )
B
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
返回
6. 在物理学中，导体中的电流跟导体两端的电压 、
导体的电阻之间有以下关系：，将等式变形可得 ，那么其
变形的依据是_________________。
等式的基本性质2
返回
考点3 解一元一次方程
7.下列方程变形中，正确的是( )
A
A.，去分母，得
B.方程，移项，得
C.方程 ，去括号，得
D.方程，未知数系数化为1，得
返回
8.［2025西安高新一中期末］若关于的方程 的
解为整数，则满足条件的所有整数 的和为( )
D
A.10 B.
C.4 D.6
返回
9.（12分）［教材P159“复习题”第1题变式］解方程：
（1） ；
解：移项，得，合并同类项，得 ，系数化为1，
得 。
（2） ；
去括号，得，移项、合并同类项，得 ，系
数化为1，得 。
（3） ；
解：去括号，得，移项、合并同类项，得 。
（4） 。
去分母，得 ，
去括号，得，移项、合并同类项，得 。
返回
10.（8分）已知， 。
（1）当为何值时，与 的值相等？
解：当时，，解得 。
所以当时，与 的值相等。
（2）当为何值时，的值的2倍比 的值大2？
由题意，得，解得，所以当 时，
的值的2倍比 的值大2。
返回
考点4 一元一次方程的应用
11.［2024无锡中考］《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题
（凫：野鸭），大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海
飞到南海需要9天。如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过
多少天相遇？设经过 天相遇，则下列方程正确的是( )
A
A. B.
C. D.
返回
12.如图，一座雕塑的底面呈正方形，在其左右两侧及后方种植宽度均
为的草坪（阴影部分）。若草坪总面积为 ，设雕塑的底面边
长为 ，则可列方程为______________________。
（第12题）
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13. 如图，用一根质地均匀且长 的木杆和一些相
同的重物做试验。已知支撑点到木杆左右两端的距离分别为， ，通过
试验可得到如下结论：当左端重物个数右端重物个数 时，木杆
就能平衡。已知 ，并且右端放了一个重物，若要木杆平衡，
则左端需要放置的重物个数为___。
2
（第13题）
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14.（6分）［2024北京中考］为防治污染，保护和改善生态环境，自
2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准 阶段（以下简称
“标准”）。对某型号汽车，“标准”要求A类物质排放量不超过
，A，B两类物质排放量之和不超过 。已知该型号
某汽车的A，B两类物质排放量之和原为 。经过一次技术改
进，该汽车的A类物质排放量降低了，B类物质排放量降低了 ，
A，B两类物质排放量之和为 。判断这次技术改进后该汽车
的A类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由。
解：这次技术改进后该汽车的A类物质排放量符合“标准”。理由：设技
术改进后该汽车的A类物质排放量为 ，则B类物质排放量为
，由题意得，解得 。
因为 ，所以这次技术改进后该汽车的A类物质排放量符合“标准”。
返回
15.（6分） ［2024连云港中考］我市将5月21日设立为连
云港市“人才日”，以最大诚意礼遇人才，让人才与城市“双向奔赴”。活
动主办方分两次共邮购了200把绘有西游文化的折扇作为当天一项活动
的纪念品。折扇单价为8元，其中邮费和优惠方式如下表所示：
邮购数量/把 100以上（含100）
邮寄费用/元 总价的 免费邮寄
优惠方式 不优惠 打九折
若两次邮购折扇共花费1 504元，求两次邮购的折扇各多少把。
解：若每次邮购都是100把，则（元） 元。
所以一次邮购少于100把，另一次邮购多于100把。
所以设一次邮购折扇把，则另一次邮购折扇 把。
由题意得，解得 。
所以 。
答：两次邮购的折扇分别是40把和160把。
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16.（8分） 临潼石榴享有“果中之王”的美誉，是陕西著
名的水果之一，也是国家地理标志保护产品。临潼石榴果大皮薄、汁多
味甜、果肉饱满、色泽艳丽、甜而不腻。鲜上鲜水果超市第一次用
2 200元购进红心石榴、骊山红这两种箱装石榴，其中红心石榴的箱数
是骊山红箱数的2倍，这两种石榴的进价和售价如下表所示：
红心石榴 骊山红
进价/（元/箱） 30 50
售价/（元/箱） 40 70
（1）求出该超市第一次购进的这两种石榴的箱数,并求出第一次售完获
得的总利润；
解：设第一次购进骊山红箱，则购进红心石榴 箱，根据题意，得
，解得 ，
所以 ，
总利润为 （元）。
答：该超市第一次购进红心石榴40箱，骊山红20箱，第一次售完获得的
总利润为800元。
（2）该超市第一次购进的这两种石榴售完后，第二次又以第一次的进
价购进这两种石榴，其中红心石榴的箱数和售价均不变，骊山红的箱数
是第一次的3倍，且按第一次的售价打折销售。当第二次两种石榴都售
完以后获得的总利润比第一次获得的总利润少 ，第二次骊山红是按
第一次的售价打几折销售的？
解：设第二次骊山红是按第一次售价打 折销售的，根据题意，得
，解得
。
答：第二次骊山红是按第一次的售价打8折销售的。
返回

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