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福建龙岩市2026年龙岩市九年级学业（升学）质量检查数学试卷
一、单选题
1．的绝对值是（ ）
A． B．2026 C． D．
2．2025年10月23日22时30分，我国在文昌航天发射场使用长征五号运载火箭成功将通信技术试验卫星二十号发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．下列航天领域的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．觯（zhi），是古代饮酒用的器皿.《礼记·礼器》中记载“尊者举觯，卑者举角.”说明了古代礼仪中使用不同的酒器，来表达身份的区别.史书记载中，爵为一等酒器，觯为二等酒器，觚（gu）为三等酒器，角为四等酒器，杯为五等酒器.下图为西周小臣单觯，则该“觯”的三视图中图形相同的是（ ）
A．主视图与俯视图
B．左视图与主视图
C．俯视图与左视图
D．左视图、俯视图、主视图均相同
4．一副三角板如图所示放置，两三角板的斜边互相平行，每个三角板的直角顶点都在另一个三角板的斜边上，图中∠α的度数为（ ）
A．75° B．60° C．45° D．30°
5．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，与是位似图形，其位似中心为点O，且，若的周长为4，则的周长为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．36
7．某校在一次演讲比赛中，将所有参赛学生的成绩绘制成如图所示的折线统计图，则下列说法错误的是（ ）

A．95分的人数最多 B．最高分与最低分的差是15分
C．参赛学生人数为8人 D．最高分为100分
8．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．2
9．反比例函数广泛应用于物理、化学等自然学科中．比如在电学的某一电路中（开关闭合），电压不变时，电流（安培）是电阻（欧姆）的反比例函数．当时，．则与之间的函数图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．若二次函数的图象经过，两点，则的值可能是（ ）
A． B． C．0 D．4
二、填空题
11．负数的概念最早出现在中国古代著名的数学专著《九章算术》中，其中有“把卖出货物收入的钱记作正，把买入货物支出的钱记作负”．如果收入16元记作，那么支出12元记作________．
12．在一些科学研究或工程实验中，对测量结果的误差分析是非常重要的．例如，某个测量值的误差范围是，用科学记数法表示这个误差值可以更直观地看出误差的大小和相对精度，数据用科学记数法表示为________．
13．如图，是的平分线，，垂足为，，则点到的距离是______．
14．一个不透明袋子装有1个红球，2个白球，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个．两次摸到的球中至少有一次是红球的概率是________．
15．如图，一次函数与（，，为常数）的图象交于点，则关于的一元一次不等式的解为_____．
16．如图，是的直径，，连接交于点，与相切于点，交的延长线于点，连接并延长，交于点，交于点，连接，若，则_________．
三、解答题
17．计算：．
18．如图，点A，E，F，B在同一条直线上，，，．求证：．
19．解分式方程：．
20．如图1，四边形是的内接四边形，，连接，．
(1)求的度数；
(2)如图2，，相交于点，若，．求阴影部分的面积．
21．在2026年春晚的舞台上，宇树科技与两种型号人形机器人献上表演《武》，以灵动的招式和行云流水的人机比武，赢得满堂喝彩．为了了解学生对与人形机器人表演的满意情况，某校科技兴趣小组对与两种型号的人形机器人进行了满意度测评，并从测评数据中各随机抽取20份数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：非常满意：；满意：；比较满意：；不满意：），下面给出部分信息：
型人形机器人的满意度测评等级为“满意”的数据为：
，，，，，，，；
型人形机器人的评分数据为：
，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，
与两种型号人形机器人的满意度测评数据统计表
机器人 平均数 中位数 众数 方差
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中__________，__________，__________；
(2)根据以上数据，你认为哪种型号人形机器人测评的满意度更好？请说明理由；（写出一条理由即可）
(3)在此次满意度测评中，有人对型人形机器人进行评分，请估计此次满意度测评中对型人形机器人的满意度测评等级为“非常满意”有多少人．
22．如图，在中，，点在上．
(1)在上找一点，使；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，连接，，若，，，求的长．
23．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点．
(1)若，求；
(2)若抛物线的顶点坐标为，求的值；
(3)若，，求证：．
24．综合与实践：进位制的认识与探究
背景材料 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．例如，二进制的基数为2，各数位上的数字为0或1；四进制的基数为4，各数位上的数字为．我们熟知的十进制的基数为10，各数位上的数字为．说明：为了区分不同进位制，常在数的右下角标明基数，例如，就是六进制数235的简单写法．十进制数一般不标注基数．
素材1 各进制数之间可以进行互相转换．可把其他进制数转换为十进制数，例如，三进制数转换为十进制数：；六进制数转换为十进制数：．可见，一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，即
素材2 若要将十进制数转换为其他进制数，则可逆用素材1中的等式．例如，十进制数27转换为二进制数：因为，所以，；将十进制数75转换为六进制数：因为，所以，．
(1)①把二进制数转换为十进制数为__________；
②把十进制数22转换为三进制数为__________；
(2)若与转换为十进制数的和能被5整除，且与转换为十进制数的和能被6整除（其中，，且，为整数），求的值；
(3)若一个三进制数的所有数位上的数字之和能被2整除，求证：这个三进制数转换为十进制数能被2整除．
25．如图1，在中，，，为边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，点，关于直线对称，与交于点，连接．
(1)求证：；
(2)点为的中点，与交于点．
①如图2，连接，若，求的度数；
②如图3，若，，求的长．
参考答案
1．B
【详解】解：负数的绝对值是它的相反数，
．
故选：B．
2．B
【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意，
3．B
【详解】解：该几何体的主视图和左视图相同，俯视图不同，
故选：B．
4．A
【详解】解：如图所示：
∵两三角板的斜边互相平行，
∴∠ABC=∠C=45°，
又∵∠α是△ABD的外角，
∴∠α=∠A+∠ABC=45°+30°=75°，
故选：A．
5．A
【详解】解：选项A：，∴选项A运算正确．
选项B：，∴选项B运算错误．
选项C：与不是同类项，不能合并，∴选项C运算错误．
选项D：，∴选项D运算错误．
6．B
【详解】解：∵，
∴，
∴与的位似比为，
∵的周长为4，
∴的周长为．
7．C
【详解】解： A、从统计图可以得出95分的人数最多，为5人，故本选项不符合题意；
B、从统计图可以得出最高分为100分，最低分为85分，最高分与最低分差是15分，故本选项不符合题意
C、从统计图可以得出参赛学生人数共有人，故本选项符合题意；
D、从统计图可以得出最高分为分，本选项不符合题意．
故选C．
8．A
【详解】解：设宽为x步，则长为步
由题意，得：，
故选：A.
9．B
【详解】解：由题意设，
∵当时，，
∴，
∴与之间的函数关系式为：；
A、当时，，即在图象上方，故该选项不符合题意；
B、当时，，即在图象上方，故该选项符合题意；
C、当时，，即在图象上，故该选项不符合题意；
D、当时，，即在图象下方，故该选项不符合题意；
故选：B．
10．C
【详解】∵二次函数，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∵开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越远，函数值越大，
计算得，
∴，
∴A点到对称轴的距离大于B点到对称轴的距离，
∵A点横坐标为，A到对称轴的距离为，
∴，
解不等式得，
观察选项，只有在该范围内，因此的值可能是．
11．
【详解】解：收入元记作，
∴收入记为正，支出记为负，
支出元记作．
12．
【详解】解：．
13．
【详解】解：过点作于点，
是的平分线，，，
，
点到的距离是，
故答案是：．
14．
【详解】解：将1个红球记为，2个白球分别记为，
由题意，画出树状图如下：
由图可知，两次摸到的球共有9种等可能的结果，其中，两次摸到的球中至少有一次是红球的结果有5种，
所以两次摸到的球中至少有一次是红球的概率是．
15．/
【详解】解：∵点为一次函数与的图象交点，
且点的横坐标为，
根据一次函数与不等式的关系，
可判断出的解集为，
故答案为：．
16．
【详解】解：过点作于点，连接，，
∵，
∴，，
∵，与相切，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
∴，
∵，
∴，
设，，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴．
17．
【详解】解：原式
．
18．证明见详解
【详解】证明：，
，即，
在和中，
，
，
．
19．
【详解】解：，
，
，
，
，
经检验：当时，，
∴是原分式方程的解．
20．(1)
(2)
【详解】（1）解：四边形是的内接四边形，
．
，
．
．
；
（2）解：，，
．
，，
．
在中，，
．
，
．
．
21．(1)，，
(2)见解析
(3)估计型人形机器人的满意度测评等级为“非常满意”有120人
【详解】（1）解：由扇形统计图可得：不满意的人数为：（人）；比较满意的人数为：（人），
由题意可得，满意度测评等级为“满意”的人数有人
∴非常满意的人数为：人；
将的数据排序后，第个数据和第个数据分别为：，，
∴，
∵数据出现次数最多的数据为，
∴，
∵非常满意的人数为：人；，
∴，
∴．
（2）解：型人形机器人的满意度更好．理由：
①型人形机器人测评数据的中位数和众数都比型人形机器人测评数据的中位数和众数大；
②型人形机器人测评数据的方差比型人形机器人测评数据的方差小，更稳定．
（3）解：（人）．
答：型人形机器人的满意度测评等级为“非常满意”有人．
22．(1)见解析
(2)
【详解】（1）解：如图所示，点即为所求作的点．
（2）解：，
，
，
，
，
，
设，则，
中，，
，
解得，
．
23．(1)
(2)
(3)见解析
【详解】（1）解：，
∴图象经过点和点．
∴对称轴直线，解得；
（2）解：依题意得，设抛物线的解析式为，
把点代入得，，
解得，
抛物线的解析式为，
把代入，得；
（3）解：把点代入得；
；
把点代入得；
把代入得即；
，
．

；
．
24．(1)①13；②
(2)
(3)见解析
【详解】（1）①；
②；
（2），，
∴它们的和能被5整除，
，
，是整数，
∴当且仅当时，是5的倍数，
，，
∴它们的和能被6整除，
，
代入，得，
，是整数，
∴当且仅当时，是6的倍数，
，，
；
（3）设三进制数为：（为正整数），
则
，
，，…，，，都是偶数，能被2整除，
又三进制数的所有数位上的数字之和能被2整除，
即能被2整除，
能被2整除．
∴这个三进制数转换为十进制数能被2整除．
25．(1)见解析
(2)①；②
【详解】（1）证明：绕点逆时针旋转得到，
，
，，，
点，关于直线对称，
，
，
，
，，
．∴．
（2）解：①连接，
为的中点，，
，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形，
，，
，，
点，关于直线对称，
．，，
．
．
②，，，
，
，，
，
，
连接，点，关于直线对称，
，，，
，，
，
，
连接，过点作于点，过点作于点，
，
，
，
，
为的中点，，，
，，
，，
，，
，
，
，
又，
，
，
，，
，
．

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