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湖北黄冈市蕲春县第一高级中学2026届高三年级全真模拟适应性测试数学训练（二）
一、单选题
1．已知全集，集合和的关系的韦恩（Venn）图，如图所示，则阴影部分所表示集合的元素个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知复数满足，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．复数在复平面内对应的点位于第一象限
C．复数的共轭复数为
D．将复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋转，所得向量对应的复数为
3．如图，分别以等边三角形三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（ ）
A． B． C． D．
4．已知等比数列的公比，前项和为，且，，成等差数列，若，则（ ）
A． B．4 C． D．2
5．若向量是一组基底，向量，则称为向量在基底下的坐标.如图，某人仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小的平行四边形拼成一个大平行四边形，其中分别是的中点.已知向量分别是与向量同向的单位向量，且向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A． B． C． D．
7．为等差数列，公差为，且，，，函数在上单调且存在，使得关于对称，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知球是正三棱锥的外接球，是边长为的正三角形，，为边上的一点，且与平面所成角的正切值为.若过点的球的截面面积为，则与该截面所成的角为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列命题正确的是（ ）
A．“是第二象限角或第三象限角”，“”，则是的充分不必要条件
B．若为第一象限角，则
C．在中，若，则为锐角三角形
D．已知，且，则
10．圆锥曲线具有丰富的光学性质．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点处发出的光线，经过双曲线在点处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点，且双曲线在点处的切线平分．如图，对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线过点，其左、右焦点分别为．若从发出的光线经双曲线右支上一点反射的光线为，点处的切线交轴于点，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的方程为
B．过点且垂直于的直线平分
C．若，则
D．若，则
11．已知定义域为的函数满足，且，为的导函数，则（ ）
A．为偶函数 B．为周期函数
C． D．
三、填空题
12．若，则为整数的概率为_____.
13．已知函数在处取得极大值，在处取得极小值，若在上的最大值为，则的最大值为__________．
14．抛物线与椭圆有相同的焦点，分别是椭圆的上、下焦点，P是椭圆上的任一点，I是的内心，交y轴于M，且，点是抛物线上在第一象限的点，且在该点处的切线与x轴的交点为，若，则____________．
四、解答题
15．的内角的对边分别为，且.
(1)判断的形状；
(2)若为锐角三角形，，求的最大值.
16．如图，和都垂直于平面，且，，是的中点．
(1)证明：平面；
(2)若四棱锥的体积为3，求平面与平面夹角的余弦值的最大值．
17．某新能源汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行了调研，数据如下：
时间 2025年3月 2025年4月 2025年5月 2025年6月 2025年7月 2025年8月
月份代码 1 2 3 4 5 6
销量千辆 6 7 10 11 12 14
(1)已知与线性相关，求出关于的经验回归方程，并估计该地区新能源汽车在2026年3月份的销量；
(2)该企业为宣传推广新能源汽车，计划在宣传部门开展人工智能工具使用的培训．该次培训分为三期，每期培训的结果是否“优秀”相互独立，且每期培训中员工达到“优秀”标准的概率均为．该企业规定：员工至少有两期培训达到“优秀”标准，才能使用人工智能工具．
（Ⅰ）求甲、乙两名员工经过培训后，恰好只有一人能使用人工智能工具的概率；
（Ⅱ）该企业宣传部现有员工100人，引进人工智能工具后，需将宣传部的部分员工调整至其他部门，剩余员工进行该次培训．已知开展培训前，员工每人每年平均为企业创造利润3万元，开展培训后，能使用人工智能工具的员工预计每人每年平均为企业创造利润6万元，不能使用人工智能工具的员工预计每人每年平均为企业创造利润还是3万元，本次培训费每人1万元．现要求培训后宣传部员工创造的年利润不低于调整前的年利润，预计最多可以调多少人到其他部门？
参考公式：经验回归方程，其中，．
参考数据：．
18．已知函数，函数．
(1)若没有任何一段区间使函数与函数同时单调递增或同时单调递减，求的取值范围；
(2)若方程有两个不同的解．
①求的取值范围；
②若，证明：.
19．已知动圆与圆：和圆：都内切，记动圆圆心的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为，则曲线上一点处的切线方程为：.试运用该性质解决以下问题：点为直线上一点（不在轴上），过点作的两条切线，，切点分别为，.
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）点关于轴的对称点为，直线交轴于点，直线交曲线于，两点.记，的面积分别为，，求的取值范围.
参考答案
1．B
【详解】，解得，所以，
所以，所以阴影部分表示的集合为，共有2个元素.
故选：B
2．B
【详解】由复数满足，得，所以，A错误；
复数对应的点为，位于第一象限，B正确；
复数的共轭复数是，C错误；
复数对应的点为，绕原点按逆时针方向旋转，得到的点为，所以所得向量对应的复数应为，D错误.
3．C
【详解】，扇形的面积，
莱洛三角形的面积为.
4．D
【详解】由等比数列的前项和公式，
可得，
因为，，成等差数列，可得，
整理得，即，即，
所以，解得或（舍去），
由，可得，
所以.
故选：D.
5．B
【详解】由题意可得.
因为是平行四边形，
所以，
所以，
所以.
因为向量在基底下的坐标为，
所以，.
因为，
所以在基底下的坐标是.
故选：B.
6．A
【详解】B选项，函数，定义域为R，与图象不符，B选项错误；
CD选项，对于函数， 当时，恒成立，与图象不符，CD选项错误；
A选项，函数，定义域为，
，函数为奇函数，图象关于原点对称，
当或时，；当或时，.
A选项正确.
7．D
【详解】∵{an}为等差数列，公差为d，且0＜d＜1，a5（k∈Z），
sin2a3+2sina5 cosa5＝sin2a7，
∴2sina5cosa5＝sin2a7﹣sin2a3＝2sincos 2cossin2sina5cos2d 2cosa5sin2d，
∴sin4d＝1，
∴d．
∴f（x）cosωx，
∵在上单调
∴，
∴ω；
又存在，
所以f（x）在（0，）上存在零点，
即，得到ω．
故答案为
故选D
8．B
【详解】如图，作平面，垂足为，则是正三角形的中心，
因为 ，，
所以，则，
所以为与平面所成角，故，，
设正三棱锥外接球的半径为，则，得，
所以，故，
如图，设过点的球的截面圆的半径为，圆心为，为截面圆上一点，
，则，
所以，则，
所以与该截面所成角为，故，
，即与该截面所成角为.
故选：B.
9．ACD
【详解】对于A，若是第二象限角或第三象限角，则，
若，则取，，此时不是第二象限角或第三象限角，
则是的充分不必要条件，故A选项正确；
对于B，因为为第一象限角，所以，，所以
,故B选项错误；
对于C，在中，若，则，只能是锐角，
所以，，
所以，所以，
所以，
所以，所以也是锐角，所以是锐角三角形，故C选项正确；
对于D，因为，
所以，所以，
因为，所以，所以，故D选项正确.
故选：ACD.
10．ABD
【详解】对于A，因为双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为，
所以，解得，得到双曲线的方程为，正确，
对于B，如图，由题知，，所以，
若，所以， 正确，
对于C，记，所以，
又，得到，又，
所以，又，
由，得，错误，
对于D，因为，，
由，得，
又，得到，得到，
从而有，得到，
由，得到，
从而有，解得，正确，
故选：ABD.
11．ABD
【详解】令，代入可得：
，即，所以，
令，则，即，
令得，
以替换，则，
以替换，则，所以函数是周期为的周期函数.
令，则，即，
所以是偶函数，A选项正确.
因为是周期为的周期函数，对两边求导得：
，即.
替换，则.
以替换，则，
所以是周期为的周期函数，B选项正确.
由的周期为，且，，，.
，C选项错误.
因为的周期为，，所以.
又，两边求导得，即，
所以.
而，令，
可得，即，.
对两边求导得，令，得.
对两边对求导，
得，
即
令，
可得，所以，则，D选项正确.
故选：ABD
12．
【详解】因为，所以有4种选法，也有4种选法，总的基本事件数为种结果.
而为整数的有：当时，或4，则或2，有2种；
当时，或9，则或2，有2种；
当时，，则，有1种；
当时，，则，有1种；所以满足为整数的有6种结果，
所以为整数的概率为.
故答案为：.
13．
【详解】因为，
所以，
令，可得或，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以当时，取极大值，当时，函数取极小值，
所以，，故，
又，，，
当时，令可得，
，
所以，
故，解得（舍去）或，
所以的最大值为.
故答案为：.
14．
【详解】焦点在轴上，故椭圆的焦点在轴上，
故，
I是的内心，连接，则平分，
在中，由正弦定理得①，
在，由正弦定理得②，
其中，故，
又，
式子①与②相除得，故，
同理可得，
，
由椭圆定义可知，，
，即焦点坐标为，
所以抛物线方程为，
，故在处的切线方程为，
即，又，故，
所以在点的切线为：，
令，又，即，
所以是首项16，公比的等比数列，
．
故答案为：．
15．(1)为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形
(2)
【详解】（1）由题意：，
整理得，
故或，
当时，，为直角三角形，
当时，，为等腰三角形，
当且时，，，为等腰直角三角形.
所以为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形.
（2）由（1）知，若为锐角三角形，则一定为等腰三角形，，
由正弦定理得，，
，
因为为锐角三角形，所以，解得，
当时，即时取最大值，最大值为.
综上，最大值为
16．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）取的中点，连接，，
，分别是和的中点，与平行且xd；
和都垂直于平面，且，与平行且相等，
与平行且相等，四边形为平行四边形，，
又平面，平面，平面．
（2）设到平面的距离为，
则，故．
法一：由于垂直于平面，建立如图空间直角坐标系，
，，
，，，，
设，则，
，，
设平面的法向量为，则由得
取，得，，因此平面的一个法向量．
由于垂直于平面，因此是平面的一个法向量．
设平面与平面的夹角为，
则，
∴平面与平面夹角的余弦值的最大值为．
法二：延长和交于点，过作于，
平面，，又,，且两直线在平面内，
平面，，
为平面与平面的夹角，
由，得，
而，所以，当且仅当时等号成立；
，，
∴平面与平面夹角的余弦值的最大值为．
17．(1)，千辆
(2)（Ⅰ）； （Ⅱ）28
【详解】（1）由题意得，
，
所以，
，
所以关于的经验回归方程为，
当时，，
所以估计该地区新能源汽车在2026年3月份的销量是千辆．
（2）（Ⅰ）设“每位员工经过培训，能使用人工智能工具”为事件，
所以，
设甲、乙两名员工经过培训后，恰好只有一人能使用人工智能工具为事件，
则．
（Ⅱ）设宣传部调人至其他部门，则参加培训的人数为，
设为培训后能使用人工智能工具的人数，因此，为培训后不能使用人工智能工具的人数，因此，
调整后年利润为万元，
令，解得，
所以最多可以调28人到其他部门．
18．(1)
(2)①；②证明见解析
【详解】（1）解：，
令得，当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减．
令得，当时，；当时，，
故在上单调递减，在上单调递增．
当，即时，满足题意；
若，则与在上同时单调递增，矛盾；
若，则与在上同时单调递减，矛盾．
综上所述，．
（2），整理得，
即方程有两个不同的解，
即方程有两个不同的解．
①解：令，则，当时，；当时，，
故在区间上单调递减，在区间上单调递增，．
当趋近于0时，趋近于，当趋近于时，趋近于，故当时，方程有两个解．
则方程，令，则，即在内单调递增，故方程最多有一个解，
要使方程有两个不同的解，则方程有两个不同的解，即，且方程的解满足，故只需，即即可．
所以的取值范围是．
②证明：由题意，是方程两个不同的解．
设，则，
解得，
所以，
令，则，令，
则，故在区间上单调递增，，即，
所以在区间上单调递增，即，所以成立．
19．(1)；
(2)（i）证明见解析；（ii）.
【详解】（1）设动圆的半径为，由题意得圆和圆的半径分别为7，1，
因为与，都内切，
所以，，
所以，
又，，故，
所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆，
设的方程为：，
则，，所以，
故的方程为：
（2）
（i）证明：设，，，
由题意中的性质可得，切线方程为，
切线方程为，
因为两条切线都经过点，所以，，
故直线的方程为：，可得直线的斜率为：
而直线的斜率为：，
因为，所以;
（ii）由直线的方程为：，可改设直线的方程为：，
联立，整理得，
由韦达定理得，
又，所以直线的方程为，
令得，
，
所以直线经过定点，又，
再由，可设直线的方程为：，
再联立，整理得，
设，，则由韦达定理得，
因为，所以
，
所以，当且仅当时，即时取等号.
又因为，所以.

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