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数学答案
1．B 2．A 3．C 4．C 5．A 6．C 7．D 8．C
【详解】如图，取 的中点 D，由外心的性质可知 ，所以 .
因为 ，所以 为等边三角形，
当 与 重合时，直线 与 成角最小，为 ，当 位于 中点时，直线 与 成角最大，为 ，
由 可得 .
所以直线 与 成角的取值范围为 ，故 A正确；
对 两边同时点乘 ，
B选项，若 ，则点 在以 为圆心， 为半径的球面上，
得 ，
又因为 在平面 （含边界）上，所以 是球面与平面 的交线，取 中点 ，则 到平面 的距
所以 ，
离为 ，
由 ，知 ，所以 ，
由正弦定理得 ，
所以 .
在 中， ，所以 ，
由 得 ，所以 的轨迹是以 为圆心， 为半径的 圆弧，
又 ，
所以长度是 ，故 B正确；
所以 ，
C选项，
所以 ，解得 .
9．BD
10．【答案】ACD
11.【答案】ABD
【详解】A选项，因为 且 ，所以四边形 为平行四边形，
因为 分别为 中点，取 中点 ，则 且 ，所以四边形 是平行四边形，所以
所以 ，所以直线 与 成角即为直线 与 成角，
，
取 中点 ，由 且 知四边形 是平行四边形，所以 ，
取 中点 ，因为 是 中点，所以 ，由平行的传递性知 ，
1
所以 四点共面，其中 是 上靠近 的四等分点； 12．36 13． 14．
同理，取 中点 ， 中点 ， 靠近 的四等分点 ，可证 ， 【详解】设 为该圆锥的底面圆心，则其高为 ，
所以 ，所以 四点共面； 则该圆锥的内切球的圆心在圆锥的高 上，设为 ，设半径为 ，
设该圆锥的内切球与圆锥的母线 相切于点 ，连接 ，则
连接 ，五边形 即为所求截面，
在 中， ，则 ，解得 ，
由题意得正四面体在该圆锥内可以任意转动，当 最大时，正四面体为该球的内接正面体，将该球的内接正面体补成正
方体，则该正方体的外接球也是此球，
设正方体的棱长为 ，则正方体的对角线长等于球的直径，即 ，得 ，
则该正四面体的棱长为正方体的面对角线，即该正四面体的棱长为 ，
， ， ， ， 所以实数 m的最大值为 ，
故答案为：
，
15．(1) (2) 且
16．(1)选①②答案相同，均为 (2)
所以周长为 ，故 C错误；
【详解】（1）选条件①：
D选项，
由 ，可得 ，
由正弦定理得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
取 中点 ，因为 平面 ， 平面 ，所以 ， 故 ，
又因为 ，所以 ，所以 ， 又 ，于是 ，即 ，
所以 ，所以 ，又 ， 平面 ，所以 平面 ， 因为 ，所以 ．
因为 平面 ，所以 ，同理，取 中点 ，则 ，由线面垂直的判定定理易知 选条件②：
平面 ， 由题意知 ，
所以 平面 ，所以 的轨迹为 ， ，所以 的轨迹长度为 ，故 D 由正弦定理得 ，所以 ，
正确. 由余弦定理得 ，又 ，所以 ．
2
（2）由（1）得 ， 又 平面 ，所以 .
（3）如图：
故 ，
在 中，由正弦定理得 ，
又 ，所以 ，
过 作 ，交 于点 ，过 作 交 于点 .
因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
同理 平面 .
又 平面 ， ，所以平面 平面 .
在 中， ， 由（1）知， ，又 ，则 ，
因为 ，故 ， 则 ，
因为 ， .
即 ，故 ．
所以 ，
又由（1）知 ，所以 ， 所以点M为线段 上靠近 C的四等分点， .
解得 ， 18．(1) (2) (3)
【详解】（1）已知 ，由余弦定理可得 ，
可得 ．
因为 ，代入 中，得 ，化简得 ，
17．【详解】（1）因为四边形 为矩形，所以 ，
则 ，因为 ，所以 ．
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
又 平面 ，平面 平面 ，所以 . （2） ， ，由余弦定理得 ，
（2）因为 平面 ，又 平面 ，所以 . 即 ，又因为 ，所以 ，
又底面 为矩形，所以 .
由面积关系 可得，
平面 ， ，所以 平面 .
平面 ，所以 . ，
在 中， ， ， ，
所以 ，即 .
所以 ，所以 .
平面 ， ，所以 平面 .
3
（3）因为 E是 AC的中点，所以 ， ∴ ，即 ，
则 ，
∴ ，
由正弦定理得， ，
即 ， ∴直线 与平面 所成角的正切值为 ．
因为 ，所以 ， （ii）连结 ，∵ ,
∴ 或其补角为直线 与直线 所成角,则假设存在点 ，满足 ，
所以 ，所以 ，
由 得 ， ,
所以 ，所以 ，
在三角形 中，由 ，所以由余弦定理得：
所以 ，即边 AC上的中线 BE的取值范围为 ．
，
19．(1)证明见解析 (2)（i） ；（ii）存在， . 过点 作 ，交 于 ，
【详解】（1）连结 AC，交 BD于点 O，又∵底面 为菱形，∴ , 由 平面 ， 平面 ，得 ，所以 ，
由题可得 ， ，且 ， 平面 ， 平面 ，
由 可得 ，因为 ，所以 ， ，
∴ 平面 ，又 平面 ，∴ ，
∵ ， 平面 ， 平面 ， 在三角形 中，由余弦定理得：
∴ 平面 ． ，
（2）（i）连结 SO交 CE于点 G，由（1）得 平面 ,
再由 ， 平面 可得 平面 ，
∴ 为直线 CE与平面 SBD所成角,
又因为 平面 ，所以 ，
∵ ， ， ,
在直角三角形 中，由勾股定理得：
∴ ,
．
∵ ，∴ ， 在三角形 中，又因为 ， ，所以由余弦定理得：
,
在三角形 中，由 ， ，所以由余弦定理得：
解得 ,
，
∴存在 使得直线 与直线 所成角为 ．
，
4
5兆前中学2025一2026学年度下学期期中考试
尖C的仰角分别是45和60°，在樱顶A处测得教堂塔尖C的仰角为15，则该同学计算索菲亚教堂的
班级
高一学年数学学科试题
高度CD为()m
命恩人：高一数学组审题人：高一数学组
姓名
考试用时：120分钟
总分：150分
单项选择题（本题型共8小题，每小恩5分，共40分）
密
考场
1.若复数x=m(m-2)+（m2-4)i为纯虚数，则实数m的值为（)
封
A.10√3
8.20
c.12W月
D.30
A.2
B.0
C.-2
D.0或2
考号
线
2.在△0MB中，24D=3D丽，记可A=a,O=i,则o而=()
8.如图，O是锐角三角形ABC的外心，角A,B,C所对的边分别为，b,c且4=于，若
内
A.95
.号+5
c号a-5
0.号a+5
Co日B+5CAC=mAo,则m=()
sin B
座位号
不
3.已知正四棱锥P-ABCD的侧棱长为4，且∠APB=30°，若一只蚂蚊从点A出发沿
得
着该四核锥的侧面爬行一周回到点A,则妈蚁爬行的最短距离为()
修
A.6
B.35
C.45
D.3而
4.已知m,n是两条不同的直线，α，B是两个不同的平面，下列命题中为真命题的
是()
A.1
B.5
C.5
D.2
A.若m/la,n/la,则m∥n
B.若m/lm,nca,则m/la
二、多项选择题（本题型共3小题，每小题6分，共18分）
C.若aIB,m⊥a,nllB,则m⊥n
D.若m/am⊥n,则n⊥a
9.已知复数乙=a-i,3=2+i,其中aeR,则下列说法正确的是()
5.已知向量OA,O丽满是1oiHO丽上4，(OMO丽)=号，若
A.若Z+2z3=0,则a=-4
8.若同=5，则a=2
OC=2Oa+uOB(亿，4eR),且2+4=1，则1O元1的最小值为()
C.若33为实数，则a=-2
0,若子为纯虚数，则a月
A.25
8.5
c.2W2
D.万
10.对于△ABC,角A,B,-C所对的边分别为a,b,c,则下列说法正确的是()
6.将一个半径为2的佚球培化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的
A若sinA>sinB,则A>B
上、下底面边长分别为1和2，则它的高为()
B.若sin2A=sin2B,则△ABC一定为等腰三角形
A号
C.32x
7
D.4
7
C若石+6cosB+b6os4=L,则AMBC-定为直角三角形
a
b
7.如图是素菲亚敕堂建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、校柱于一体，极具对称之
美某同学为了估算索菲亚教堂的高度，在教堂的正东方找到一座建筑物AB,高为
D.若anA+tanB+tanC<0,则△ABC一定为钝角三角形
20m,在它们之间的地面上的点M(B,M,D三点共线)处测得楼顶A、教堂塔
11.已知正方体ABCD一AB,C,D,校长为2，E为校AB的中点，P为正方体表面上一动点，下列
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