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河南省长垣市2025-2026学年下学期期中考试八年级数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列生活实例中，运用到“四边形的不稳定性”的是（）
A. B.
C. D.
2.计算的结果为（ ）
A. B. C. D.
3.如图，矩形的对角线交于点，若，则的长为（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 12
4.若最简二次根式和能合并，则的值为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
5.勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．勾股定理描述：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如图，以直角三角形三边为边作三个正方形，正方形的面积为（ ）
A. 5 B. 13 C. 20 D. 25
6.2026年1月1日新施行的《中华人民共和国治安管理处罚法》首次将“高空抛物”列为单独的治安违法行为，明确了处罚标准，只要高空抛物危害公共安全，无论是否造成后果都将依法处罚．高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响），那么物体从的高空落到地面的时间是（ ）
A. B. C. D.
7.如图，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
8.若，则m的值为（ ）
A. 25 B. 31 C. 36 D. 45
9.如图，在中，，，，E为边上一点．把沿折叠，使落在直线上，则的长为（ ）
A. B. C. 4 D. 5
10.如图，在矩形中，边的长为，点，分别在，上，连接，，，，与交于点．若四边形是菱形，且，则菱形的面积为（ ）
A. B. 2 C. D. 4
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.从七边形的一个顶点出发的所有对角线，可以把这个七边形分割成 个三角形.
12.2026年3月20日下午，在完成既定任务后，中越海军舰艇编队举行分航仪式，标志着第40次北部湾联合巡逻暨首次海上联合训练顺利结束．如图，在演习过程中一艘船以5海里/时的速度从港口出发，向西北方向航行，另一艘船以12海里/时的速度同时从港口出发，向西南方向航行，离开港口1小时后，两船相距 海里．
13.如图，的对角线，交于点，平分交于点，，，连接，则的长为 ．
14.用一种或几种完全相同（全等形）的三角形或多边形无间隙且不重叠地覆盖（铺砌）平面的一部分，叫做平面镶嵌，平面镶嵌又称为“平面密铺”．如图所示，由边长相等的正方形和正六边形相间围成一圈，则中间的正多边形的边数为 ．
15.将按如图方式排列，若规定表示第m行从左向右数的第n个数，则表示的数是 ．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
16.计算及解方程
(1) 计算：；
(2) 解方程：．
四、解答题：本题共7小题，共69分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题5分)
如图，在四边形中，，，，，求的长．
18.(本小题8分)
如图，在中，E是边的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接．
(1) 求证：四边形是平行四边形；
(2) 若，，求四边形的周长．
19.(本小题8分)
定义：若两个二次根式的代数式，满足，且是有理数，则称与是关于的“友好二次根式”．
(1) 若m与是关于的友好二次根式，求的值；
(2) 若与是关于的友好二次根式，求的值．
20.(本小题8分)
如图，在等腰直角三角形中，，是边上的中线，以为邻边作．
(1) 求证：为正方形；
(2) 连接，若，求的长．
21.(本小题13分)
【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，数字2称为“穿墙”数．具有这种现象的数还有许多，例如：，等．
【猜想】
(1) ；
(2) 【推理】
请用含n（n为“穿墙”数，）的等式表示上述规律： ；
(3) 【应用】
按此规律，若（a，b为正整数），求的值．
22.(本小题12分)
2026年3月14日是第七个“国际数学日”，今年国际数学日的主题是“数学与希望”，勾股定理作为数学几何中最基本的定理之一，早在我国西汉时期的《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫作正整数直角三角形，这三个正整数叫作一组勾股数，如：3，4，5；6，8，10；8，15，17等都是勾股数．
(1) 小明在研究勾股数时发现，某些正整数直角三角形的斜边能写成两个整数的平方和，有一条直角边能写成这两个整数的平方差，我们把这样的勾股数叫作完美勾股数．如3，4，5中，，；8，15，17中，，．判断12，35，37这组勾股数是不是完美勾股数，并说明理由；
(2) 有一个直角三角形两直角边长分别为和，斜边长为，且a和b均为正整数，用含b的代数式表示a，并求出a和b的值．
23.(本小题15分)
完成下列题目
(1) 如图1，将的顶点放在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中的两边分别与正方形的边和交于点和点（点与点，不重合），探究，和之间的数量关系；
(2) 如图2，将图1中的正方形改为的菱形，当时，（1）中的结论是否仍成立，请说明理由；
(3) 在（2）的条件下，当旋转至如图3的位置时，交的延长线于点，交于点，请直接写出此时，，之间满足的数量关系．
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】D
10.【答案】C
11.【答案】5
12.【答案】
13.【答案】1
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】【小题1】
解：原式．
【小题2】
解：原方程可化为．
∴．
∴或．

17.【答案】解：∵在中，，，，
∴．
∵在中，，，
∴．

18.【答案】【小题1】
证明：∵四边形为平行四边形，
∴．
∴．
∵E是边的中点，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴四边形是平行四边形．
【小题2】
解：∵四边形和四边形为平行四边形，
∴，，
∵，，
∴，．
∴四边形的周长为．

19.【答案】【小题1】
解：根据题意，得．
【小题2】
解：根据题意，得．
∴．
∴．
∴．

20.【答案】【小题1】
证明：∵为等腰直角三角形，是边上的中线，
∴，
∴为矩形．
∵，
∴矩形为正方形．
【小题2】
解：∵为等腰直角三角形，，，
∴．
∴．
∵四边形为正方形，
∴，．
∴．

21.【答案】【小题1】

【小题2】

【小题3】
解：∵，
∴根据（2）的规律可得
解得
∴．

22.【答案】【小题1】
解：这组勾股数是完美勾股数．
理由如下：
∵，，
∴12，35，37这组勾股数是完美勾股数．
【小题2】
解：由勾股定理得，
即．
∴．
∵，，
∴，．
∵a和b均为正整数，
∴b的值可能是1，2，3．
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意．
∴a的值为7，b的值为1．

23.【答案】【小题1】
解：正方形的对角线，交于点，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，
；
【小题2】
（2）解：（1）中的结论不成立，结论为，证明如下：
如图：取的中点，连接，
四边形为菱形，，
，，，，
是等边三角形，
，，
，
∴，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
【小题3】
解：当点落在线段延长线时，点落在线段上时，如图所示，
取线段的中点，同理可证，那么有，
，
为线段的中点，
，
．

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