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北京市顺义区第九中学2025-2026学年度第二学期期中学业质量监测高一年级数学试卷
一、单项选择题：本大题共10小题，共50分。
1.已知，则的坐标是（ ）.
A. B. C. D.
2.已知向量，，则（ ）
A. B. C. 0 D. 4
3.已知复数z在复平面内对应的点的坐标为(-1,2),则下列结论正确的是（）
A. zi=2-i B. 复数z的共轭复数是1-2i
C. 的实部为-3 D. |z|=5
4.已知向量，，且，则x的值为（ ）
A. 4 B. -4 C. 2 D. -2
5.已知不重合的直线，，与两个平面，，则下列四个命题中错误的是（ ）
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
6.如图，在正方体中，则与所成角为（ ）
A. B. C. D.
7.如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则（ ）
A. B. C. D.
8.如图，长方体被一个平面截成两个几何体，其中，，，，分别为的中点，则几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
9.如图，正方体中，E为的中点，则与平面所成的角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
10.如图，在中，，，，则（ ）
A. 4 B. 6 C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.若复数z满足（ i为虚数单位），则复数z的虚部为 .
12.在中，，则的值为 ．
13.已知，均是单位向量，，则 ．
14.已知一轴截面为正方形的圆柱体和一个小球的表面积相同，则此圆柱体与小球的体积之比为 .
15.四边形ABCD是边长为2的正方形，若点P为边AB的中点，则= ；若点P在边AB（包含端点）上运动，则的最大值为 .
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
如图，正方体中，为的中点，

(1)证明：平面；
(2)证明：平面；
(3)证明：平面.
17.(本小题12分)
已知向量，，，.
(1)求向量，的夹角；
(2)求实数m的值.
18.(本小题12分)
如图，在正三棱柱中，分别为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：；
(3)若，求三棱锥的体积.
19.(本小题12分)
在△中，，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．
(1)求；
(2)求的面积．
条件①：；条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
20.(本小题14分)
在△中，角所对的边分别为，△的面积为 S，且．
(1)求角；
(2)若，试判断△的形状，并说明理由．
21.(本小题15分)
如图,四边形ABCD是矩形,AD=2,DC=1,AB平面BCE,BEEC, EC=1.点F为线段BE的中点.
(1)求证:CE平面ABE;
(2)求证:DE平面ACF;
(3)求AC和平面ABE所成角的正弦值.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】A
10.【答案】B
11.【答案】1
12.【答案】
13.【答案】1
14.【答案】
15.【答案】4
4

16.【答案】解：（1）连接，，
在正方体中，
则，，所以四边形为平行四边形，则，
又因为平面，所以平面.
（2）

连接交于，连接，，
因为四边形是正方形，所以为的中点，
在中，因为为的中点，为的中点，所以，
又因为平面，所以平面.
（3）在正方体中，平面，
因为平面，所以，
因为四边形是正方形，所以，
又因为，平面，平面，
所以平面.

17.【答案】解：（1）因为，，所以，，
所以，即向量的夹角为；
（2）因为，
所以，
解得：.

18.【答案】解：（1）证明：因为、分别为、的中点，
则，又，
所以，
又平面，平面，
所以平面．
（2）证明：在正三棱柱中，平面且为等边三角形，
因为平面，所以，又为的中点，所以，
又，平面，
所以平面，
又平面，所以；
（3）解：在正三棱柱中，，，、分别为、的中点，
则，，
所以，
故三棱锥的体积为；

19.【答案】解：（1）选条件①：．
在△中，因为，，，
由余弦定理，得．
因为，
所以；
选条件②：
由余弦定理得：，解得：或（舍去）由余弦定理，得．
因为，
所以；
（2）选条件①：
由（1）可得．
所以的面积．
选条件②：．
由（1）可得．
因为
，
所以的面积． ．

20.【答案】解：（1）在中，因为，则，
整理得，且，所以.
（2）由正弦定理得,
,
,
,
于是,
又，故，所以或，因此（舍去）或，所以.
是等腰直角三角形.

21.【答案】（1）证明：如图，
由AB⊥平面BCE，CE 平面BCE，可得AB⊥CE，
又由BE⊥EC，而AB∩BE=B，AB 平面ABE，BE 平面ABE，
故CE⊥平面ABE；
（2）证明：连结BD交AC于M，连结FM，
因为四边形ABCD为矩形，故M为BD中点，
又点F为线段BE的中点，
可得FM∥DE，而FM 平面ACF，DE不在平面ACF上，
故DE∥平面ACF；
（3）解：由（1）知，CE⊥平面ABE，
∠CAE即为AC和平面ABE所成的角．
由已知，AC=，CE=1，
在直角三角形ACE中，可得sin∠CAE=．
即AC和平面ABE所成角的正弦值为．
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