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河南南阳市南召县2025-2026学年九年级下学期5月期中数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.广东省某市1月份连续4天的最低气温分别为，，，，其中最低气温是（ ）
A. B. C. D.
2.一个几何体的表面展开图如图所示，则这个几何体为（）
A. B. C. D.
3.《中国激光》杂志发表的一篇关于双光子聚合打印三维光子晶体的文章中介绍，这些光子晶体的图案分辨率高达，折射率为．数据用科学记数法表示为（　　）
A. B. C. D.
4.下列运算正确的是（）
A. B.
C. D.
5.下列说法正确的是（）
A. 为了解某班学生本学年视力的变化情况，应采用扇形统计图
B. 从5万名考生的成绩中抽取300名考生的成绩作为样本，样本容量是5万
C. 为了解某班学生的身高情况，应采用普查
D. 在抽样调查过程中，样本容量越小，对总体的估计就越准确
6.不等式组中的两个不等式的解集在同一个数轴上表示正确的是( )
A.
B.
C.
D.
7.如图所示的网格是正方形网格，A，B，C是网格线的交点，C在以为直径的半圆上．若点D在上，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
8.对于实数a，b定义新运算：，例如：，若关于x的方程有一个根为1，则m的值是（ ）
A. B. C. D. 0
9.如图，在四边形中，分别是的中点．已知，则的长为（ ）
A. 1 B. C. D. 2
10.为了模拟高速公路入口“超限超载”检测站升降检测设备的工作原理，某数学兴趣小组自制了一个超限站工作模型：如图1，是定值电阻，质量不计的托盘和压敏电阻绝缘并紧密接触，已知电源电压恒定且压力表量程为，压力表示数与的函数图象如图2所示，（单位：）与检测物的质量m（单位：kg）的函数关系式为，则下列说法不正确的是（ ）
A. 当时，的阻值为
B. 当托盘上货物的质量为时，
C. 在一定范围内，随的增大而减小
D. 因为压力表量程为，所以该模型可测量检测物的最大质量是
二、填空题：本题共5小题，每小题2分，共10分。
11.写出一个比小的整数 ．（写出一个即可）
12.中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》和《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．正面印有“四书”字样的书签，，，书签除正面的字样外，其余完全相同．将这4张书签背面向上，洗匀放好．从中随机抽取2张，随机抽取的2张书签恰好是“论语”和“大学”的概率是 ．
13.分别用黑、白两种颜色的正六边形地面砖按如下规律拼成若干个图案．第 个图案中有白色地砖2026块．
14.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于、两点，与轴交于点，与轴交于点，绕点逆时针旋转线段，使点落在轴上的点处，连接．则图中阴影部分的面积为 ．
15.如图，在中，，，，动点从点出发沿射线运动，当为等腰三角形时，其底边的长为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
16.计算与化简：
(1) ；
(2)
四、解答题：本题共7小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题16分)
为使学生更加了解家乡，热爱家乡，某市在全市中学中以“我为家乡代言”为主题开展了唱家乡民歌、讲家乡故事、做旅游方案、设计明信片、拍摄宣传片五项比赛．各学校均选派一支代表队积极参加，共有甲、乙等50支队伍参赛，每支队伍需要参加五项比赛．为了解参赛队伍的综合水平，将50支队伍各项成绩（成绩为百分制，均不低于60分）进行了统计整理．
下面给出了部分信息：
50支队伍讲家乡故事的成绩用表示，分成如下四组：第1组，第2组，第3组，第4组，绘制了不完整的频数分布直方图和扇形统计图．
甲、乙两支队伍五项比赛成绩统计分析表
唱家乡民歌成绩（分） 讲家乡故事成绩（分） 做旅游方案成绩（分） 设计明信片成绩（分） 拍摄宣传片成绩（分） 五项成绩平均数（分） 方差
甲 92 94 87 92 90 91
乙 94 92 82 99 88 32.8
根据以上信息解决下列问题：
(1) 补全频数分布直方图并判断这50支队伍的讲家乡故事成绩的中位数处于第_____组；
(2) 在扇形统计图中，第4组对应的圆心角度数是 ；
(3) 填空：表格中的值为 ，的值为 ；
(4) 请根据表格中的数据，从甲、乙两支队伍中推荐一支成绩稳定的队伍为家乡代言，说明理由．
18.(本小题8分)
关于x的一元二次方程．
(1) 求证：方程总有两个实数根；
(2) 若方程有一个根小于1，求m的取值范围．
19.(本小题8分)
如图，是等边三角形，是边上一点，连接．
(1) 请用无刻度的直尺和圆规在的上方作等边（保留作图痕迹，不写作法）；
(2) 连接，求证：．
20.(本小题8分)
九年级学生李明想测量他家楼下的一棵松树的高度．由于松树周边有花坛，无法直接到达松树底部进行测量，班级数学学习小组结合实际情况完成了如下调查报告．
调查目的 测量李明家楼下的一棵松树的高度．
调查数据 ①经查阅资料，该住宅楼的高度为； ②在住宅楼顶端，利用无人机辅助测量，观测到松树顶端的俯角为； ③某一时刻太阳光下，测得住宅楼在地面的影长为，且松树顶端在地面的影子距住宅楼的水平距离为．
建立模型 根据调查数据，画出数学图形．如图，点B，E，H，D，F在同一条直线上，，，，．
测量工具 卷尺、测角仪器、无人机
参考数据 ，，
问题解决 求松树的高度．（结果精确到）
21.(本小题8分)
汉服作为中国传统文化的重要组成部分，承载着深厚的历史底蕴和文化内涵．在某网店中，A，B两款汉服备受消费者青睐，某月份A款汉服售出200件，B款汉服售出400件，两款汉服销售总额为108000元．已知每件A款汉服的售价比每件B款汉服售价的2倍少100元．
(1) 求A，B两款汉服每件的售价．
(2) 为满足店铺的日常运营需求，该网店决定从服装厂订购A，B两款汉服共2400件，且订购A款汉服的数量不超过B款汉服数量的，已知A款汉服进价为每件120元，B款汉服进价为每件110元，请你设计一种订购方案，使得这批汉服全部售出后获利最大，并求出最大利润．
22.(本小题14分)
如图，二次函数的图象经过点，点．
(1) 求此二次函数的解析式；
(2) 当时，求二次函数的最值；
(3) 点为此函数图象上任意一点，其横坐标为，过点作轴，点的横坐标为．已知点与点不重合，且线段的长度随的增大而减小，求的取值范围．
23.(本小题20分)
综合与实践
【问题背景】小明同学是个善于思考、善于总结的孩子，他总能把一些相关联的数学现象放在一起进行对比分析，总结提炼，他将学过的角平分线定理、线段垂直平分线定理、垂径定理、切线长定理的基础图形进行了汇总，如表：
角平分线定理 线段垂直平分线定理 垂径定理 切线长定理
， ， ， ，
(1) 【归纳总结】
小明发现这四个图中都有一个非常类似的四边形，经过查找资料，知道了它们都可叫作筝形．我们规定：如图，四边形中，若，，则称四边形为筝形．
他类比研究特殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形）的方法，进一步得到了筝形的相关性质，请聪明的你也总结两条筝形的性质（可从边、角、对角线、对称性、面积等方面考虑，不用说理）：
① ；② ；
(2) 【知识迁移】李老师引导小明深入思考，如图1，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，得到正方形，两个正方形的边与CD交于点E，求证：四边形是筝形；
(3) 将（2）中的条件“正方形ABCD”改为“菱形ABCD”，其他条件不变，如图2，（1）中的结论是否仍成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出关于四边形的正确结论；
(4) 【拓展延伸】
在图1中，连接AE，交于点O，请在图3上画出符合条件的图形，若正方形ABCD的边长为6，求CO的最小值．
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】B
10.【答案】B
11.【答案】/（答案不唯一）
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】 /
15.【答案】或或
16.【答案】【小题1】
解：
；
【小题2】
解：
．

17.【答案】【小题1】
解：第2组：，第4组：
补全频数分布直方图如下：
根据频数分布直方图，这50支队伍的讲家乡故事成绩的中位数为第支队伍成绩的平均数，由频数分布直方图可得中位数处于第3组；
【小题2】
【小题3】
91
5.6
【小题4】
解：甲、乙两支队伍的各项成绩相比较，甲队伍的成绩波动较小，，因此甲队伍的各项成绩更稳定，因此甲队伍更适合为家乡代言．

18.【答案】【小题1】
证明：，
∵无论m取何值时，，
∴此方程总有两个实数根．
【小题2】
解：，
．
．
∵此方程有一个根小于1，且．
．
．

19.【答案】【小题1】
解：如图，即为所求作；
【小题2】
证明：是等边三角形
，即
，

20.【答案】解：延长，过点G作交延长线于点M．
∵，，，
∴是等腰直角三角形，
∴．
根据太阳光线是平行的，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
设，
，
∴，
根据题意，得四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，，，
∴，
解得，
答：松树的高度约为．

21.【答案】【小题1】
解：设A款汉服每件的售价为a元，B款汉服每件的售价为b元，根据题意得：
，
解得：，
答：A款汉服每件的售价为220元，B款汉服每件的售价为160元；
【小题2】
解：A款汉服每件的利润为元，B款汉服每件的利润为元，
设订购A款汉服x件，则订购B款汉服件，根据题意得：
，
解得：，
设这批汉服全部售出后获利为w元，根据题意得：
，
∵，
∴w随x的增大而增大，
∴当时，w取得最大值，最大值为160000，此时，
即订购A款汉服800件，则订购B款汉服1600件，这批汉服全部售出后获利最大，最大利润为160000元．

22.【答案】【小题1】
解：将点，点代入，
得，解得，
∴二次函数的解析式为．
【小题2】
解：，
∵抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当时，取最大值为．
∵，
∴当时，．
当时，．
∴当时，二次函数的最大值为，最小值为．
【小题3】
解：，
当时，即，，的长度随增大而增大，不符合题意．
当时，即，，的长度随的增大而减小，
∴的取值范围为．

23.【答案】【小题1】
筝形的面积等于对角线乘积的一半
/等
筝形是轴对称图形/等
【小题2】
证明：如图1，连接，
由旋转知四边形和四边形为全等的正方形，
，，
，
∴，
，
∴四边形是筝形；
【小题3】
解：四边形是筝形；
理由：如图2，连接，
由旋转知四边形和四边形为全等的菱形，
，，
，
，
，
，
四边形是筝形；
【小题4】
解：如图3，
由（2）知四边形是筝形，
，，
点A，E在线段的垂直平分线上，
，
，
点O在以为直径的半圆上运动，
取的中点M，则点M为该半圆的圆心，连接，，
，
当点M，O，C三点在一条直线上时，取得最小值，最小值为．
∵正方形的边长为6，，
，M为的中点，
，，
的最小值．

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