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2025-2026学年重庆市沙坪坝区南开中学八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动.下面四幅图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
2.下列式子中，是分式的是（　　）
A. 2x B. C. D.
3.下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A. （x+2）（x-2）=x2-4 B.
C. x2+6x+9=（x+3）2 D. x2-5x+4=x（x-5）+4
4.下列说法中，正确的是（　　）
A. 一组邻边相等的四边形是菱形
B. 对角线相等的平行四边形是矩形
C. 对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
5.若方程（m+3）x|m|-1+2x-3=0是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　）
A. 1 B. 2 C. -3 D. 3
6.重庆是全国闻名的火锅之城，花椒作为火锅底料的核心原料，市场需求量巨大.某花椒种植基地计划采摘240亩花椒，因市场行情变化需提前上市，实际每天采摘面积是原计划的1.5倍，结果提前4天完成采摘任务.设原计划每天采摘x亩，由题意可得方程（　　）
A. B.
C. D.
7.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E为CD的中点，连接AE.当AD=4，∠CAE=∠CDO时，菱形ABCD的面积为（　　）
A. 8 B. C. 16 D.
8.如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的角平分线交BC于点E，过点B作BF⊥CD于点F，连接EF，若BF=AB，∠BAD=α，则∠EFC的度数为（　　）
A. B. C. 2α-90° D.
9.如图，在正方形ABCD中，点E，F，G分别为BC，AB，CD上的点，连接FG，DE交于点H.若∠DHG=45°，AB=20，BE=8，则FG的长度为（　　）
A.
B.
C.
D.
10.给定一列数，把这列数中的第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，以此类推，第n个数记为an（n为正整数）.已知a1=x,并规定（k为正整数），下列说法：
①x=2时，；
②a1+a3=2时，；
③不存在实数x,使a1a2a3…a2026+2=0.
其中正确的个数是（　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
11.若分式的值为0，则x的值为 .
12.若x2+mx-7=（x-1）（x+7），则常数m= .
13.若关于x的一元二次方程ax2-3x+4=0有两个相等的实数根，则常数a的值为 .
14.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E为BC的中点，若OE=3，AC+BD=20，则△ABO的周长为 .
15.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴上，对角线AC，BD交于点M.若OA=2，OD=3，则点M的坐标为 .
16.若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是 .
17.如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，将该矩形沿EF折叠，使点A落在点A′处，点B的对应点B′落在AD上，连接BB′交EF于点O.若BC=11，B′F=3AF，，则AB的长为 .连接A′O，A′D，DO，则△A′OD的面积为 .
18.对于一个四位正整数，若各数位上的数字互不相等且均不为0，千位数字与十位数字之和比百位数字与个位数字之和多1，则称这个四位数为“相宜数”.例如：对于四位数3156，∵3+5-（1+6）=1，∴3156是“相宜数”.则最小的“相宜数”是 .若（1≤a,b,c,d≤9，且均为整数）是“相宜数”，能被12整除，且a2-3b-c2+3d+29=0，则满足条件的M的值为 .
三、解答题：本题共9小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
因式分解：
（1）3a2-12ab+12b2；
（2）9m2（x-y）+n2（y-x）.
20.(本小题8分)
解分式方程：
（1）；
（2）.
21.(本小题8分)
解一元二次方程：
（1）4（x-1）2=9；
（2）x2-6x-4=0.
22.(本小题8分)
先化简：，再从0，1，2中选一个适当的数代入求值.
23.(本小题8分)
如图，在平行四边形ABCD中，点E为对角线AC延长线上的一点，连接DE，BE.请完成以下作图和填空：
（1）在平行四边形ABCD的外部，用尺规作∠ABF=∠CDE，且射线BF交直线AC于点F，连接DF（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）问的条件下，求证：四边形BEDF是平行四边形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ACD=①______，
∵∠BAC+∠BAF=180°，
∠ACD+∠DCE=180°，
∴②______，
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（ASA），
∴③______，∠CFB=∠AED，
∴④______，
∴四边形BEDF是平行四边形.
24.(本小题8分)
如图，在矩形ABCD中，点E为AB上一点，连接CE，DE，过点D作DF⊥CE于点F，CF=BE.点G是DE的中点，连接GF.
（1）求证：CE=CD；
（2）若CD=10，AD=6，求FG的长.
25.(本小题10分)
近年来，公园露营成为市民休闲的新方式.每逢周末，在各大公园总能见到成片的帐篷.某户外用品店看准商机，决定采购星空帐篷和普通帐篷两种产品进行销售.已知每顶星空帐篷的进价是每顶普通帐篷的2倍，4月份该店用5000元采购普通帐篷，8000元采购星空帐篷，结果普通帐篷的数量比星空帐篷的数量多5顶.
（1）求每顶普通帐篷和星空帐篷的进价分别为多少元？
（2）4月份帐篷销售火爆，库存告急，5月份该店决定再次采购两种帐篷.其中普通帐篷的采购数量与上月相同，每顶的进价比上月降低了20%；星空帐篷的采购数量比上月增加了4m（m＞0）顶，每顶的进价比上月降低了12.5m%，结果5月份采购这两种帐篷一共用了12000元，求m的值.
26.(本小题10分)
如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y1=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，一次函数y2=kx+b的图象与x轴、y轴分别交于C，D两点，且与y1=x+3的图象交于点E（m,4）.已知OD=2OB.
（1）求k,b的值；
（2）点G为线段CE上一点，连接BG，△BDE和四边形COBG的面积分别记为S1，S2.在线段AE上有两动点P，Q（点P在点Q的上方），且，过点Q作QH⊥x轴于点H，连接PG.当S2=4S1时，求GP+PQ+QH的最小值；
（3）如图2，将△BDE沿射线BA方向平移得到△B′D′E′，点M为平面内一点，当以D′，A，E，M为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点D′的横坐标.
27.(本小题10分)
如图，△ABC为等边三角形，AD平分∠BAC交BC于点D，E，F分别为线段AB，AC上的点，连接DF并延长至点G，使得FG=DF，连接DE，AG.
（1）如图1，若DF⊥AC于点F，，求DE的长；
（2）如图2，若∠FAG+∠EDB=120°，求证：DE=AG；
（3）如图3，点E，F在运动过程中满足BE=AF，将EF绕点E顺时针旋转120°至EF′，连接DF′，CF′，当DF′取最小值时，请直接写出此时的值.
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】B
10.【答案】D
11.【答案】-1．
12.【答案】6．
13.【答案】．
14.【答案】16．
15.【答案】．
16.【答案】m＜4且m≠-2．
17.【答案】
．

18.【答案】1253
2364．

19.【答案】3（a-2b）2 （x-y）（3m+n）（3m-n）
20.【答案】x=5 无解
21.【答案】x=或x= 或
22.【答案】-；-．
23.【答案】 ∠ CAB;∠BAF=∠DCE;BF=DE;BF∥DE
24.【答案】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，AB∥CD，
∵DF⊥CE于点F，
∴∠DFC=90°，
∴∠B=∠DFC=90°，
∵AB∥CD，
∴∠BEC=∠DCF，
在△BEC和△FCD中，
，
∴△BEC≌△FCD（ASA），
∴CE=CD
25.【答案】普通帐篷进价200元，星空帐篷进价400元 m=3
26.【答案】y=-2x+6 GP+PQ+QH有最小值+4 D'点横坐标为或或
27.【答案】 证明：如图，以AD为边在其右侧作等边三角形ADK，连接KF，KG，
∴AD=AK，∠DAK=60°，
设∠ADE=α，
∵△ABC为等边三角形，AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠CAD=30°，
则∠EDB=∠ADB-∠ADE=90°-α，
∵∠FAG+∠EDB=120°，
∴∠FAG=30°+α，
又∵∠FAK=∠KAD-∠CAD=60°-30°=30°，
∴∠GAK=∠FAG-∠FAK=α，
∴∠GAK=∠ADE，
又∵∠KAC=∠DAC，AK=AD，
∴AC垂直平分DK，
∴DF=FK，
∴∠FDK=∠FKD，
∵FG=DF，
∴FK=FG，
∴∠FKG=∠FGK，
∵∠FDK+∠FKD+∠FKG+∠FGK=180°，
∴∠FKD+∠FKG=90°，即∠DKG=90°，
∴∠AKG=∠DKG-∠DKA=90°-60°=30°，
∴∠AKG=∠DAE，
在△ADE和△KAG中，
，
∴△ADE≌△KAG（ASA），
∴DE=AG
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