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江西新余市分宜县2025-2026学年第二学期期中质量监测试卷九年级数学
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各式是最简二次根式的是（）
A. B. C. D.
2.下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）
A. B. C. D.
3.如图, ABCD的对角线AC,BD交于点O,若AC=6,BD=8,则AB的长可能是( )
A. 10 B. 8 C. 7 D. 6
4.如图是由个完全相同的小正方体搭成的几何体，移动其中一个小正方体，得到图，则所得几何体的三视图与图中的几何体相比改变的是（ ）
A. 主视图、左视图 B. 主视图、俯视图 C. 左视图、俯视图 D. 只有俯视图
5.若关于x的不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围是( )
A. 0≤a≤2 B. 0 ≤a＜2 C. 0＜a≤2 D. 0＜a＜2
6.如图，在菱形ABCD中，，，点P，Q同时从点A出发，点P以1cm/s的速度沿A﹣C﹣D的方向运动，点Q以2cm/s的速度沿A﹣B﹣C﹣D的方向运动，当其中一点到达D点时，两点停止运动．设运动时间为x（s），的面积为y（cm2），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.清代袁枚的一首诗苔中的诗句“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开”若苔花的花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为 ．
8.如图，点A、B、C在⊙O上，BC＝6，∠BAC＝30°，则⊙O的半径为 ．
9.如图，某学校“桃李餐厅”把WIFI密码做成了数学题．小红在餐厅就餐时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了“桃李餐厅”的网络．那么她输入的密码是 ．
账号：Tao Li Can Ting
密码
10.若，则 ．
11.如图，在中，，分别以点A，B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点D，E．作直线DE，交BC于点M．分别以点A，C为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点F，G．作直线FG，交BC于点N．连接AM，AN．若，则 ．
12.如图，正方形中，，连接，的平分线交于点E，在上截取，连接，分别交，于点G，H，点P是线段上的动点，于点Q，连接．下列结论：①；②；③；④的最小值是．其中所有正确结论的序号是 ．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
13.按要求完成下列各题：
(1) 计算：．
(2) 如图，点E，F分别在菱形的边，上，且．求证：．
四、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题5分)
先化简：，再从、、、0、1中选一个合适的数作为的值代入求值．．
15.(本小题6分)
在“趣味化学实验室”课上，黄老师用毛笔蘸取透明无色液体，并在白纸上书写，立马显现出红色的文字，这是酚酞溶液产生的神奇变化．酚酞是化学领域重要的酸碱指示剂，它遇碱变红，遇酸或中性溶液不变色．如图，现有四个完全相同且无标签的滴瓶，里面分别装有四种无色溶液．
(1) 小明同学从四瓶无色液体中随机选择一瓶，从中取一定量的溶液与酚酞混合，则混合后溶液变红的概率是 ；
(2) 黄老师从四瓶无色液体中随机选择两瓶，从中分别取一定量的溶液与酚酞混合，请利用画树状图或列表的方法求混合后两种溶液都变红的概率．
16.(本小题7分)
如图，A，B，C均为上的点，连接，，，，且，D为的中点，连接，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．
(1) 在图①中，过点C作交于点P；
(2) 在图②中，过点B作的垂线，垂足为Q．
17.(本小题7分)
如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图像经过点，点在轴的负半轴上，交轴于点，为线段的中点．
(1) ，点的坐标为 ；
(2) 若点为线段上的一个动点，过点作轴，交反比例函数图像于点，求面积的最大值．
18.(本小题8分)
如图，在中，，平分交于点，点在上，以为直径的经过点．
(1) 求证：是的切线；
(2) 若点是劣弧的中点，且，求阴影部分的面积．
19.(本小题8分)
一酒精消毒瓶如图1，为喷嘴，为按压柄，为伸缩连杆，和为导管，其示意图如图2，，，．当按压柄按压到底时，转动到，此时（如图3）．
(1) 求点转动到点的路径长；
(2) 求点到直线的距离（结果精确到）．（参考数据：，，，，，）
20.(本小题13分)
某校为调查学生对海洋科普知识的了解情况，从全校学生中随机抽取名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如下的频数直方图和扇形统计图．
请根据图中信息解答下列问题：
(1) 补全频数直方图；
(2) 在扇形统计图中，“70~80”这组的百分比 ；
(3) 已知“80~90”这组的数据如下：81，83，84，85，85，86，86，86，87，88，88，89．抽取的名学生测试成绩的中位数是 分；
(4) 若成绩达到80分以上（含80分）为优秀，请你估计全校1200名学生对海洋科普知识了解情况为优秀的学生人数．
21.(本小题6分)
如图，AB为的直径，D是弧BC的中点BC与AD，OD分别交于点E，F
(1) 求证：；
(2) 求证：;
(3) 若,求的值.
22.(本小题6分)
请根据以下素材，完成探究任务．
制定加工方案
生产背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式． ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件． ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等.
背景2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为： ①“风”服装：24元/件； ②“正”服装：48元/件； ③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元．
信息整理 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下： 服装种类加工人数（人）每人每天加工量（件）平均每件获利（元）风y224雅x1正148
探究任务 任务1 探寻变量关系 求x、y之间的数量关系．
任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式．
任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案．
23.(本小题12分)
如图，直线分别交轴、轴于点A，B，过点A的抛物线与轴的另一交点为C，与轴交于点，抛物线的对称轴交于E，连接交于点F．
(1) 求抛物线解析式；
(2) 求证：；
(3) P为抛物线上的一动点，直线交于点M，是否存在这样的点P，使以A，O，M为顶点的三角形与相似？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】
8.【答案】6
9.【答案】244872
10.【答案】6
11.【答案】2-180°
12.【答案】①②④
13.【答案】【小题1】
（1）解：原式
．
【小题2】
（2）证明：四边形是菱形，
，，
在和中，，
，
．

14.【答案】【详解】解：原式
，
当，，0，1时，原式没有意义，舍去，
当时，原式．

15.【答案】【小题1】
【小题2】
（2）解：根据题意，列表如下，
A B C D
A —
B —
C —
D —
由表格可知，共有12种等可能的结果，
其中混合后溶液都变红的结果有，，共2种，
（混合后两种溶液都变红）．

16.【答案】【小题1】
【详解】（1）解：如图①，即为所求；
证明：如图②，连接，
，
，
，
，
，
，
；
【小题2】
（2）解：如图，线段即为所求．
证明：，
，
∵为的半径，
，
为的中点，，
，
的三条高线交于一点，
．

17.【答案】【小题1】
6

【小题2】
（2）设直线对应的函数表达式为．
将，代入得，解得．
所以直线对应的函数表达式为．
因为点在线段上，可设，
因为轴，交反比例函数图像于点．所以．
所以．
所以当a=1时，面积的最大值为．
【点睛】本题考查了函数与几何综合，涉及了待定系数法求函数解析式、三角形面积、坐标中点求法、二次函数的应用等知识点，解题关键是用函数解析式表示三角形面积．

18.【答案】【小题1】
证明：连接，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又是半径，
是的切线．
【小题2】
解：如图，连接，，，
点是劣弧的中点，
，
，，
，
，
，
，
又，
，
又，
，
是等边三角形，
，
又，
，
，
．

19.【答案】【小题1】
解：如图，
∵，，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴点转动到点的路径长．
【小题2】
如图，
过点作于点，过点作于点．
在中，
．
在中，
．
∴．
又∵，
∴点到直线的距离约为7.3 cm．

20.【答案】【小题1】
8÷16％=50人，
50-4-8-10-12=16人，
补全频数直方图如下：
【小题2】
20％
【小题3】
84．5分
【小题4】
人．
∴优秀人数是672人．

21.【答案】【小题1】
【详解】(1)证明：∵D为弧BC的中点，OD为的半径
∴即∠ BFO=90°
又∵AB为的直径
∴
∴
【小题2】
(2)证明：∵D为弧BC的中点
∴
∴
∴
∴
即
【小题3】
(3)解：∵，
∴
设CD=，则DE=，
又∵
∴
∴
所以
又
∴
即

22.【答案】解：任务1：根据题意安排70名工人加工一批夏季服装，
∵安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，
∴加工“正”服装的有人，
∵“正”服装总件数和“风”服装相等，
∴，
整理得：；
任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：，
∴，
整理得：
∴
任务3：由任务2得，
∴当x=18时，获得最大利润，
，
∴x≠18，
∵开口向下，
∴取x=17或x=19，
当x=17时，，不符合题意；
当x=19时，，符合题意；
∴，
综上：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润．

23.【答案】【小题1】
【详解】解：（1）∵直线分别交轴、轴于点A，B
∴A（3,0），B（0，），
∵抛物线经过A（3，0），D（0，3），
∴，解得
∴该抛物线的解析式为；
【小题2】
（2）∵，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
设直线AD的解析式为y=kx+a，
将A（3，0），D（0，3）代入得：，解得
∴直线AD的解析式为y=-x+3，
∴E（1，2），G（1，0），
∵∠EGO=90°，
∴
∵OA=3，OB=，∠AOB=90°，
∴
∴
∴∠OAB=∠OEG，
∵∠OEG+∠EOG=90°，
∴∠OAB+∠EOG=90°，
∴∠AFO=90°，
∴OE⊥AB；
【小题3】
（3）存在.
∵A（3，0），抛物线的对称轴为直线x=1，
∴C（-1，0），
∴AC=3-（-1）=4，
∵OA=OD=3，∠AOD=90°，
∴，
设直线CD解析式为y=mx+n，则：
，解得
∴直线CD解析式为y=3x+3，
①当△AOM∽△ACD时，∠AOM=∠ACD，如图2所示，
∴OM//CD，
∴直线OM的解析式为y=3x，
∵抛物线的解析式为y=-x2+2x+3，
∴3x=-x2+2x+3，解得：；
②当△AMO∽△ACD时，如图3所示，
∴
∴，
过点M作MG⊥x轴于点G，则∠AGM=90°，
∵∠OAD=45°，
∴
∴OG=OA-AG=3-2=1，
∴M（1，2），
设直线OM解析式为y=m1x，将M（1，2）代入，得：m1=2，
∴直线OM解析式为y=2x，
∵抛物线的解析式为y=-x2+2x+3
∴2x=-x2+2x+3，解得：x=±．
综上，点P的横坐标为或±．

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