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山东烟台市牟平区2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷（五四制）
一、选择题：本题共12小题，每小题2分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各式（都有意义）：，，，，，中，属于最简二次根式有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2.下列方程中：①，②，③，④，⑤，⑥，是一元二次方程的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3.若，且b是a、c的比例中项，那么等于（ ）
A. B. C. D.
4.下列命题中正确的是（）
A. 一定是个二次根式
B. 若a（）为有理数，则是它的算术平方根
C. 化简的结果是
D. 若二次根式有意义，则x的取值范围为
5.已知是一元二次方程的一个根，则的值是（ ）
A. 3 B. C. 或3 D. 或2
6.用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（ ）
A. B. C. D.
7.如图，平行四边形和正方形，其中点E在边上．若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
8.如图，矩形中，对角线相交于点O，已知，，的面积为20，则的长为（ ）
A. 10 B. 12 C. 14 D. 16
9.新定义：关于的一元二次方程如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．如方程是“倍根方程”．若关于的一元二次方程是“倍根方程”．则代数式的值为（ ）
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
10.如图，在菱形中，点E是对角线上一点，，连接，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
11.如图，要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的墙，另外三边用长的篱笆围成．为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽的木板门，设花圃与墙垂直的一边长为，若花圃的面积为，所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
12.在给定的平行四边形中作出一个菱形，甲、乙两人的作法如下：
甲：如图（1），以点A为圆心，长为半径画弧，交于点M，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点N，连接，则四边形是菱形．
乙：如图（2），以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，分别以点B，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，H，作直线交于点K，连接，则四边形是菱形．

下列判断正确的是（ ）
A. 甲对，乙错 B. 甲错，乙对 C. 甲和乙都对 D. 甲和乙都错
二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。
13.使代数式有意义，则的取值范围是 ．
14.因为，所以，的整数部分为2，小数部分为；设的小数部分为x，的整数部分为y，则 ．
15.如果ab>0,a+b<0,那么下面各式:=;=1;=-b.其中正确的是 (填序号).
16.已知是一元二次方程的两个根，且，则a等于 ．
17.如图，，则的长度是 ．
18.如图，菱形的对角线与交于点，过点作于点，连接，若，，则的面积等于 ．
三、计算题：本大题共2小题，共20分。
19.计算：
(1) ；
(2) ．
20.解方程：
(1) ；
(2) ．
四、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题15分)
我们之前学习有理数时，知道两个数的乘积为1则这两个数互为倒数.在学习二次根式的过程中，小明研究发现有一些特殊的无理数之间具有互为倒数的关系.例如：由，可得与互为倒数，即或，类似地，，可得或
根据小明发现的规律，解决下列问题：
(1) ， 为正整数）
(2) 若，则
(3) 求的值.
22.(本小题10分)
如图，在中，，于点D，M在边上，与交于点E，作交于点N．
(1) 求证：；
(2) 求证：．
23.(本小题10分)
为响应绿色环保、居家便捷的生活理念，家居清洁类器材需求持续增长．某电商店铺专门经营某品牌扫地机器人专用边刷套装，近期该产品销量呈稳步上升趋势．店铺统计了该款边刷套装的销售情况：月份售出套，月份售出套．
(1) 若月增长率相同，求该品牌边刷套装两个月销售量的月均增长率；
(2) 该品牌边刷套装每套进货价为元．调查发现，当销售价为元时，月均销售量为套；而当销售价每上涨元时，月均销售量将减少套．为使月均销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌边刷套装的销售价应定为多少元？
24.(本小题10分)
已知的一条边长为4，另两边的长恰好是关于x的一元二次方程的两个实数根．
(1) 求证：无论k为何值，方程总有两个实数根；
(2) 当k为何值时，是等腰三角形，并求的周长．
25.(本小题4分)
如图，以的三边为直角边分别向外作等腰直角，等腰直角和等腰直角，连接．当满足什么条件时，四边形是矩形？请证明你的结论．
26.(本小题15分)
如图，中，， cm， cm，过点作于点，点以的速度从点出发，匀速向终点运动；同时，点以的速度从点出发，匀速向终点运动，一点到达终点后，另一点也随之停止运动．过点作于点，连接，，．设运动的时间为，解答下列问题：
(1) 求线段AD的长；
(2) 当四边形ANMC的面积是34cm2时，求t的值；
(3) 在运动过程中，是否存在以M，E，N，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】C
10.【答案】A
11.【答案】A
12.【答案】C
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】
18.【答案】
19.【答案】【小题1】
解：（2-6+3）÷（2）；
＝（4-2+12）÷（2）
＝14÷（2）
＝7
【小题2】
（2+5）（2-5）-（）2．
＝（2）2-（5）2-（5﹣2+2）
＝20-50-（7-2）
＝-37+2．

20.【答案】【小题1】
解：，
，
，
，
∴或，
∴；
【小题2】
解：，
，
∵，，，
∴，
∴，
∴，．

21.【答案】【小题1】


【小题2】
【小题3】
解：
．

22.【答案】【小题1】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小题2】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又由（1）可知：，
∴．

23.【答案】【小题1】
解：设该品牌边刷套装两个月销售量的月均增长率为，
根据题意得：，
解得：（不符合题意，舍去），
答：该品牌边刷套装两个月销售量的月均增长率为；
【小题2】
解：设该品牌边刷套装的销售价应定为元，则每套的销售利润为元，月均销售量为套，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，
又要尽可能让顾客得到实惠，
取，
答：该品牌边刷套装的销售价应定为元．

24.【答案】【小题1】
证明：∵
，
∴无论k为何值，方程总有两个实数根．
【小题2】
解：①当4为腰长时，则方程必有一个根为4，
∴．
∴．
∴方程为：．
∴或．
∴等腰三角形的三边为：4，4，2．
∴周长为：；
②当4为底边时，则方程有2个相同的实数根，
∴．
∴．
∴方程为：，解得：，
∵，
∴不满足三角形三边关系．
故当k为2.5时，是等腰三角形，的周长为10．

25.【答案】解：当时，四边形是矩形；证明如下：
∵和为等腰直角三角形，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
平行四边形是矩形．

26.【答案】【小题1】
解：∵，，
∴为等腰直角三角形，
设，则，
在Rt中，，
∴，
解得，，
∵，
∴，
∴；
【小题2】
过作于点，如图所示：
在中，，
由题可知，，
∴，
∵，
∴，
∴
，
依据题意可得，
整理得，
即，
解得或；
【小题3】
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
当时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，
①当点M在点D右侧时，，
即，
解得；
②当点在点左侧时，，
即，
解得；
综上，的值为或．

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