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福建龙岩市连城县2025-2026学年八年级下学期期中数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列计算正确的是（）
A. B. C. D.
2.下列命题中是假命题的是（）
A. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
B. 四条边相等的四边形是菱形
C. 对角线相等的平行四边形是矩形
D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
3.估计的值，应在（）
A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间
4.如图，要使平行四边形成为矩形，可以添加的条件是（ ）
A. B. C. D.
5.如图，在同一平面内，将边长相等的正方形、正五边形的一边重合，则大小为（ ）
A. B. C. D.
6.如图，在中，，，，分别是边，的中点，连接在线段上，若，则的长为（ ）
A. 8 B. 4 C. 2 D. 1
7.如图，在平面直角坐标系中，已知点，，且，，则点C的坐标为（ ）
A. B. C. D.
8.中国是最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年的历史.勾股定理目前约有五百多种证明方法，是数学中证明方法较多的定理之一．下列四幅图中，不能证明勾股定理的是（）
A. B.
C. D.
9.我国古代著作《九章算术》中有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．”其大意为：有一水池一丈见方（即正方形），池中间生有一颗类似芦苇的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边平齐（如图），问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺，设水深为x尺，则水深为（ ）尺．
A. 5 B. 10 C. 12 D. 13
10.如图，在△ABC中，按如下步骤作图：在AB和AC上分别截取AM，AN，使AM=AN，分别以点M和N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点O，作射线AO，再分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线PQ交AO于点D，连接BD，CD.根据以上作图，若AB=6，AC=4，BD=3，则点D到直线AB的距离为（　　）
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.计算 ．
12.已知是整数，则正整数n的最小值为 ．
13.若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 .
14.在中，，则是 度．
15.如图，圆柱底面的周长为，高为，要在圆柱的侧面上过点和点镶嵌一圈金属丝，这圈金属丝的最短长度为 ．
16.七巧板被西方人称为“东方魔术”，下面的两幅图是由同一副七巧板拼成的．已知七巧板拼成的正方形（如图1），若图2的“小狐狸”图案中阴影部分面积记为，非阴影部分面积记为．若， ．
三、计算题：本大题共1小题，共10分。
17.计算：
(1) ，
(2)
四、解答题：本题共8小题，共92分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题10分)
先化简，再求值：，其中．
19.(本小题7分)
已知，求的值．
20.(本小题10分)
已知：如图，中，E，F两点在对角线上，．
求证：四边形是平行四边形．
21.(本小题10分)
如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为．
(1) 求旗杆在距地面多高处折断；
(2) 在折断点C的下方的点P处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点P处吹断，那么行人在距离旗杆底部处是否有被砸到的风险？
22.(本小题10分)
如图，，点C是射线上一点．
(1) 尺规作图：以为对角线构造菱形，且点B在射线上（不写作法，保留作图痕迹）；
(2) 若，求菱形的面积．
23.(本小题15分)
“雄奇山水，新韵重庆！”为了加强市容市貌建设，环卫部门组织了多台环卫车清理街道，有一台环卫车沿公路由点向点行驶清理道路．已知点为一所学校，且点与直线上两点，的距离分别为和，又，环卫车工作时周围以内为受噪声影响区域．
(1) 求的度数；
(2) 学校会受环卫车产生的噪声影响吗？请画图并计算说明；
(3) 若环卫车的行驶速度为每分钟40米，则该环卫车产生的噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？
24.(本小题15分)
先阅读下列一段文字，再回答问题。
我们已经知道在数轴上，如果点A表示的数为a，点B表示的数为b，那么的长度等于，借助平面直角坐标系与勾股定理可以研究平面内两点，之间的距离，小明已经构建了如图所示平面直角坐标系及直角三角形，则两点间距离；
(1) 根据上面结论，已知点，，求的长；
(2) 已知点A，B所在的直线平行于y轴，点A的纵坐标为，点B的纵坐标为1，求A，B两点间的距离；当两点，所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，求两点间的距离；
(3) 已知，，在y轴上找点Q，使是以为腰的等腰三角形．
25.(本小题15分)
已知四边形ABCD是正方形，将线段CD绕点C逆时针旋转（），得到线段 CE，联结BE、CE、DE. 过点B作BF⊥DE交线段DE的延长线于F．

(1) 如图，当BE=CE时，求旋转角的度数；
(2) 当旋转角的大小发生变化时，的度数是否发生变化 如果变化，请用含的代数式表示；如果不变，请求出的度数；
(3) 联结AF，求证：．
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】C
10.【答案】A
11.【答案】2
12.【答案】2
13.【答案】x≥2026
14.【答案】
15.【答案】 /厘米
16.【答案】20
17.【答案】【小题1】
解：
；
【小题2】
解：
．

18.【答案】解：原式；
当时，原式．

19.【答案】解：，
，
．

20.【答案】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）

21.【答案】【小题1】
解：由题意得，，，
设AC长为，则长，
在中，由勾股定理可得，
，
解得．
答：旗杆在距地面处折断；
【小题2】
如图，由题意可得，
∴．
在中，，
因为，
答：行人在距离旗杆底部处没有被砸伤的风险．

22.【答案】【小题1】
解：如图，菱形为所求．
∵是的垂直平分线，
∴，，
∵，
∴四边形是菱形．
【小题2】
解∶∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴，
∵在中，，
即，
∴，
∴，
∴．

23.【答案】【小题1】
解：∵，
∴，
∴；
【小题2】
解：学校C会受噪声影响．理由如下：
如图，过点C作于D，
∵，
∴是直角三角形．
∴，
∴，
解得：米．
∵环卫车周围以内为受噪声影响区域，
∴学校C会受噪声影响；
【小题3】
解：如图：当时，在上行驶时，正好影响学校C，
∵，
同理，
∴，
∵环卫车的行驶速度为每分钟40米，
∴（分钟），
∴环卫车噪声影响该学校持续的时间有分钟．

24.【答案】【小题1】
解：，，
∴；
【小题2】
解：设点A横坐标为t，
∵点A，B所在的直线平行于y轴，点A的纵坐标为，点B的纵坐标为1，
∴点A的坐标为，
∴；
①当点，在x轴上时，则，
∴；
②当点，在y轴上时，则，
∴；
③当平行y轴（或垂直x轴）时，则，
∴；
④当平行x轴（或垂直y轴）时，则，
∴；
综上所述：当点，所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，或；
【小题3】
解：设点Q的坐标为，
∵点，，
∴，，，
∵是以为腰的等腰三角形，
∴有以下两种情况：
①如图所示，当点M为顶点，为底边时，则，
∴，
整理得：，
解得：或，
∴点Q的坐标为或；
②如图所示，当点N为顶点，为底边时，则，
∴，
整理得：，
解得：或，
∴点Q的坐标为或，
综上所述：点Q的坐标为或或或．

25.【答案】【小题1】
证明：在正方形ABCD中, BC=CD.由旋转知，CE=CD,
又∵BE=CE,
∴BE=CE=BC,
∴△BEC是等边三角形，
∴∠BCE=60°.
又∵∠BCD=90°,
∴=∠ DCE=30°.
【小题2】
∠BEF的度数不发生变化.
在△CED中，CE=CD,
∴∠CED=∠CDE=，
在△CEB中,CE=CB,∠BCE=,
∴∠CEB=∠CBE=,
∴∠BEF=.
【小题3】
过点A作AG // DF与BF的延长线交于点G，过点A作AH // GF与DF交于点H，过点C作CI⊥DF于点I
易知四边形AGFH是平行四边形，
又∵BF⊥DF，
∴平行四边形AGFH是矩形.
∵∠BAD=∠BGF=90°，
∠BPF=∠APD ，
∴∠ABG=∠ADH.
又∵∠AGB=∠AHD=90°，AB=AD，
∴△ABG≌△ADH.
∴AG=AH ，
∴矩形AGFH是正方形.
∴∠AFH=∠FAH=45°，
∴AH=AF
∵∠DAH+∠ADH=∠CDI+∠ADH=90°
∴∠DAH=∠CDI
又∵∠AHD=∠DIC=90°，AD=DC，
∴△AHD≌△DIC
∴AH=DI，
∵DE=2DI，
∴DE=2AH= AF

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