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和平区2025-2026学年度第二学期高三年级第三次质量调查
数学学科试卷
第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题共45分）
监测注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，务必将自己的姓名、准考证号涂在答题卡上．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦净后，再选涂其他答案标号．
3．本卷共9小题，每小题5分，共45分．
参考公式：
球的体积公式，其中表示球的半径．
如果事件、互斥，则．
如果事件、相互独立，则．
任意两个事件与，若，则．
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
（1）已知全集，集合，则中的元素个数为（ ）
A．0 B．3 C．4 D．5
（2）若函数，则其图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
（3）已知直线，与平面，则下列条件中，可以推出的为（ ）
A．， B．，
C．，与平面所成角相等 D．，
（4）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
（5）以下说法不正确的是（ ）
A．样本数据1，1，1，3，3，3的极差为2，标准差为1
B．对具有线性相关关系的变量，，其经验回归方程为，若样本数据的中心点为，则实数的值为2
C．对一个容量为的总体，抽取容量为的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，三种方法的总体中每个个体被抽中的概率均相等
D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，则依据的独立性检验，可以认为“与无关联”
（6）为了得到函数的图象，纵坐标不变，只需将函数的图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度，再将所得各点的横坐标缩短到原来的
B．向左平移个单位长度，再将所得各点的横坐标伸长到原来的2倍
C．向左平移个单位长度；再将所得各点的横坐标缩短到原来的
D．向左平移个单位长度，再将所得各点的横坐标伸长到原来的2倍
（7）已知，数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
（8）已知椭圆与双曲线有公共的焦点，，的一条渐近线方程为，点在上，且，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
（9）在矩形中，，，沿矩形对角线将折起得到四面体，则四面体的外接球体积为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题共105分）
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．
2．本卷共11小题，共105分．
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分）
（10）i为虚数单位，复数满足，则__________．
（11）在（）的展开式中，常数项为__________．（用数字作答）
（12）过抛物线的焦点且倾斜角为的直线被圆截得的弦长为__________．
（13）盒子中有5个除了颜色外完全相同的小球，其中有1个白球，2个黄球，2个红球．现从盒中不放回地取球，每次取一个球，当三种颜色的球都有取到时停止，记停止时取出的球的个数为随机变量，则第二次取出的是黄球的条件下第三次取出的是红球的概率为__________，的数学期望为__________．
（14）已知中，点为边上一点，且，则__________（用与表示）；若点为内的一点，，满足，则__________．
（15）若，，使得关于的方程有4个不同的实根，则实数的取值范围为__________．
三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
（16）（本小题满分14分）在中，角，，所对的边分别为，，，且，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）求的值．
（17）（本小题满分15分）在多面体中，四边形是菱形，，平面，，，是中点．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求平面与平面的夹角的余弦值；
（Ⅲ）点为棱上靠近点的三等分点，求直线与平面所成角的正弦值．
（18）（本小题满分15分）已知椭圆的焦距为2，椭圆短轴的一个端点到右焦点的距离为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）为坐标原点，直线过点，与椭圆交于，两点，椭圆上点满足，若，求的取值范围．
（19）（本小题满分15分）已知个正数，， ，依次围成一个圆圈，其中，，， ，是公差为的等差数列，而，，， ，，是公比为的等比数列．
（Ⅰ）若，，，求数列，， ，的所有项的和；
（Ⅱ）若，，求的最大值；
（Ⅲ）当时，是否存在正整数，满足下式成立
？若存在，请求出值；若不存在，请说明理由．
（20）（本小题满分16分）已知函数．
（Ⅰ）若，求曲线在处的切线方程：
（Ⅱ）讨论函数的单调性；
（Ⅲ）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．
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