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【期末真题汇编】浙教版八年级数学下册
第四章平行四边形 解答题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在四边形中，E是的中点，交于点F，，连接
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
2．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）方方与圆圆在学习中心对称后，准备对平行四边形进行更深入的研究，如图，平行四边形中，、分别为、上的点，当时，与是中心对称的，可推理得到．
(1)图中，为上不同于的一点，满足，此时与不是中心对称的，那么与是否仍存在某种数量关系？并说明理由；
(2)如图，平行四边形，、交于点，为上一点，延长交延长线于点，若，，求的长（用，表示）；
(3)如图，中，为的中点，为上一点，延长交延长线于点，若，，直接写出的长．
3．（24-25八年级下·浙江金华·期末）如图，四边形为矩形，对角线交于点O，交延长线于点E．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求的度数．
4．（24-25八年级下·浙江金华·期末）已知．
(1)如图，是上一点，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，连结，．求证：四边形是平行四边形．
(2)图中的四个顶点在的边上，这样的四边形叫的内接四边形．在图中用直尺和圆规作一个的内接菱形保留作图痕迹．
5．（24-25八年级下·浙江湖州·期末）定义：如果一个四边形有两条邻边相等，且这两条边所夹角的对角是直角，那么我们把这样的四边形称为“等对直四边形”，把夹角所对的直角称为“对直角”．
(1)如图，在四边形中，若，，，，请判断四边形是否为“等对直四边形”？并说明理由．
(2)如图，若四边形是“等对直四边形”，是“对直角”，，，对角线恰好平分四边形中的一个内角，求此时的长．
(3)如图，若四边形是“等对直四边形”，是“对直角”，，，，求此时对角线的长．
6．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图1，边长为4的正方形，E为边上的动点（不与A，B重合），连结，以为边向右上方作正方形，边与交于点H，连结．
(1)求证：．
(2)若，求的长．
(3)如图2，连结，过点C作于点N，交于点K．求证：点K为的中点．
7．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，在中，，分别是，的中点，延长至点，使，连结，，．
(1)从条件①；②中选择合适的一个，完成四边形为矩形的证明．
(2)在（1）的结论下，若平分，且，求四边形的面积．
8．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）在中，点E，F分别在，上，且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)求证：．
9．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在平行四边形中，，，，平分交于点．
(1)求的度数；
(2)求的长度．
10．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）已知是的对角线．小滨和小江分别用尺规作特殊的平行四边形：
(1)小滨：如图1作的中垂线，分别交于点，连结，则得到的四边形是菱形．请问小滨的作法是否正确？若正确，请证明；若不正确，请说明理由．
(2)小江：如图2，过中点作直线，分别交于点．以点为圆心，长为半径画弧，与边交于点，连结并延长交于点，连结，，，则得到的四边形是矩形．请问小江的作法是否正确？若正确，请证明；若不正确，请说明理由
11．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，在平行四边形中，，以点C为圆心，为半径作弧，交边于点E，连接．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
12．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图1，在中，M是的中点，连结并延长交的延长线于点N，连结，．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)如图2，连结，若，．
①求证；
②求的值．
13．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，将平行四边形的边延长至点，使，连接，交于点．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)连接、，若四边形是矩形，则与满足什么数量关系？并说明理由．
14．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图1，2均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．请按要求作图，所作图形的顶点均要落在格点上．
(1)如图1，已知A，B两点是格点，以为边作一个面积为6的平行四边形；
(2)如图2，作一个面积为6的菱形．
15．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，中，点、分别是边，的中点，交的延长线于点，连结，
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)判断四边形是什么四边形，并推理说明．
16．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）如图，在中，点，分别在，的延长线上，且．连结，交于点，连结．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，求的度数．
17．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，在四边形中，是的中点，、交于点，，．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，，，求的长．
18．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）已知，正方形和正方形有一个公共顶点 D，，点分别是的中点，连结．
(1)如图1，当三点共线时，求的长．
(2)如图2，当三点不共线时，连结，求证：．
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，当 三点共线时，求 的值．
19．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图 1，已知线段，用无刻度的直尺和圆规作．
以下是小颖同学的作法：
如图 2，先作的平分线，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点 E，连接并延长，再以点A为圆心，长为半径画弧，交射线于点D，连接，则四边形为平行四边形．
(1)小颖的作法是否正确？若正确，请给出证明．
(2)在图 1 中作一个与小颖不同的方法的（保留作图痕迹，不需要证明）．
(3)如图 3，在小颖同学的作法的条件下，连结，若 ，求四边形的面积．
20．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）如图，在中，是一条中位线，连接，过点D作的平行线交的延长线于点F．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求的长．
21．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，在四边形中，，于点E，于点F，与相交于点G，连接，已知，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，求的值；
(3)若F是的中点，连接，求证：．
22．（24-25八年级下·浙江温州·期末）如图，为四边形的对角线，已知．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)分别为的中点，连结．若，求的长．
23．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图1，在中，点E，F分别在，上，满足．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)如图2，连接，若，，，求的长．
24．（22-23八年级下·浙江温州·阶段检测）如图，在中，点在上，点在上，且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若为的角平分线，且，，求的周长．
25．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）如图，点、分别在、上，分别交、于点、，，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)已知，连接，若平分，求的长．
26．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）点E、F分别是的边、上的点，，求证：四边形是平行四边形．
27．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图1，在中，对角线与相交于点O，，点E，F，G分别为，，的中点，连结，，，，交于点 M．
(1)求证：．
(2)求证：四边形为平行四边形．
(3)如图2，当为矩形时，若，求四边形的面积．
28．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图，在平行四边形 中，， 是对角线上的两点，且 ．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若 ， ．
① 求证：；
② 若平分，，求．
29．（23-24八年级下·浙江台州·期末）【探索发现】小应发现：平行四边形两条对角线的平方和等于两邻边平方和的两倍．
【推理论证】如图1，四边形是平行四边形，求证：．
小应的证明：作于点交的延长线于点，由四边形是平行四边形，容易证得（），得到，．设，，．
在和中，．
在中，．
（1）请继续完成小应的证明；
【初步应用】（2）如图2，在平行四边形中，对角线，交于点，，，，求的长；
【拓展提升】（3）如图3，在中，，，是斜边的三等分点，，，求的长．
30．（23-24八年级下·浙江金华·期末）如图，的对角线，相交于点O，点E在上，点F在上，连结使恰好经过点O．
(1)求证：．
(2)若，，，求的长．
31．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图1，在平行四边形中，，，，点E，F分别为边，上的动点（不与顶点重合），且，连结，将四边形沿着折叠得到四边形．
(1)连结交于点O，连结．
①求证：．
②若，求的长．
(2)若点落在平行四边形的边上，请直接写出所有可能的值．【期末真题汇编】浙教版八年级数学下册
第四章平行四边形 解答题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
1．(1)证明见解析
(2)
本题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定与性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
对于，根据三角形中位线定理得到，根据平行四边形的判定定理得到四边形为平行四边形，进而得证；
对于，首先推导出，在中，利用勾股定理进行计算即可解答．
（1）证明：是的中点，
，
，
是的中位线，
，
，
，
四边形为平行四边形，
；
（2）解：由知，是的中位线，四边形为平行四边形，
，
，
，
在中，，，
由勾股定理得：
2．(1)，理由见解析；
(2)；
(3)．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（）证明，得出；
（）延长交于点，证明，得出，证出，则可得出结论；
（）证出，由（）知，得出，则可得出答案．
（1）解：，理由如下：
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（2）解：延长交于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
由（）知，
∴，
∴．
3．(1)见解析；
(2)．
此题考查了矩形的性质、平行四边形的判定、等边对等角等知识，熟练掌握矩形的性质、平行四边形的判定是解题的关键．
（1）根据矩形的性质和已知即可证明四边形是平行四边形；
（2）先求出，由矩形的性质和等边对等角得到，最后由三角形内角和定理即可得到答案．
（1）证明：在矩形中，，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵，，
∴，
在矩形中，，
∴，
在中，．
4．(1)见解析
(2)见解析
本题主要考查了尺规作图、平行四边形的判定与性质、菱形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
对于（1），由题意可知，再根据平行四边形的性质可得，则可知四边形是平行四边形．
对于（2），结合平行四边形的性质、菱形的性质画图即可．
（1）证明：由作图可得，
四边形为平行四边形，
∴，即，
四边形是平行四边形．
（2）解：如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接，
则菱形即为所求答案不唯一．
由作图可知：
∵四边形为平行四边形，
∴，即，
∴四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形．
5．(1)四边形是“等对直四边形”，见解析；
(2)的长为或；
(3)．
（）由题易证，，再根据定义判断即可；
（）分类讨论，当平分时或平分时，依据题意画出图形，进而求解即可；
（）由勾股定理逆定理先证明，再利用对角互补模型构造全等求解即可．
（1）解：四边形是“等对直四边形”，理由如下：
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是“等对直四边形”；
（2）解：第一种情况：平分，
∵四边形是“等对直四边形”，是“对直角”，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
如图，过作于点，
则四边形是平行四边形，
设的长为，则，
∵，，
∴，，
在中，，
∴，
解得，
即的长为；
第二种情况：平分，
同理可证，
如图，过作于点，
则四边形是平行四边形，
设的长为x，则，
∵，，
∴，，
∴，
解得，
即的长为；
综上所述，的长为或；
（3）解：∵四边形是“等对直四边形”，是“对直角”，
∴，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
过作于点，过作于点，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴．
本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，正方形的判定与性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，勾股定理及逆定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
6．(1)见解析
(2)
(3)见解析
本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，作辅助线构造特殊三角形是解题关键．
（1）根据正方形的性质，得出，，，，证明即可证明结论；
（2）连结，设，，由勾股定理得，，在中，，由此列方程解出x的值；
（3）延长，作于，作于，由，，得，推出，得到同理可证得到故以、、、为顶点的四边形是平行四边形，由平行四边形的性质即可得对角线、互相平分即为中点．
（1）证明：四边形和四边形均为正方形
，，，
，
，
．
（2）连结，设，，
，，
在中，．
∵在中，，
，
解得（舍去），，
．
（3）延长，作于，作于，
∴，
∴，
在和中，，
，
同理可证，
，
故以、、、为顶点的四边形是平行四边形
对角线、互相平分
即为中点．
7．(1)选择①；证明见解析
(2)
（1）根据，，得出四边形为平行四边形，选择①，根据等腰三角形性质，证明，再根据矩形的判定证明四边形为矩形即可；
（2）先证明四边形为平行四边形，再证明，根据等腰三角形的判定得出，根据勾股定理得出，根据平行四边形的面积公式得出．
（1）解：选择条件①；不能选择条件②；
∵是的中点，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
选择①，
∵点E为的中点，
∴，
∴，
∴四边形为矩形；
（2）解：∵四边形为矩形，
∴，，
∵点E为的中点，
∴，
∴，，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴根据勾股定理得：，
∵四边形为平行四边形，
∴．
本题主要考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．
8．(1)见解析；
(2)见解析．
本题考查了平行四边形的判定与性质，掌握平行四边形的判定与性质是关键．
（1）根据四边形是平行四边形，得出，，结合，得出，即可证明四边形是平行四边形；
（2）根据四边形是平行四边形，得出，即可得．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴．
9．(1)
(2)2
本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
（1）由平行四边形的对边平行得到，再由角平分线的定义即可求解；
（2）由平行四边形的对边平行得到，因此，由角平分线得到，从而，即可得到，又有，根据线段的和差即可求解．
（1）解：四边形是平行四边形，
∴，
，
平分，
．
（2）解：四边形是平行四边形，
，
，
平分，
∴
，
，
∵在中，，
．
10．(1)正确，理由见解析
(2)正确，理由见解析
本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定、矩形的判定，解题的关键是熟练掌握这些图形的判定定理和性质定理．
（1）小滨的作法正确，利用平行四边形性质和中垂线性质证明四边形是菱形；
（2）小江的作法正确，利用平行四边形性质和矩形判定定理证明四边形是矩形．
（1）小滨的作法正确．
理由：由作图可知垂直平分线段，
，
∵四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，
∴四边形是菱形；
（2）作法正确．
理由：∵四边形都是平行四边形，
，
，
，
，
，
同法可证，
∴四边形是平行四边形，
，
，
∴四边形是矩形．
11．(1)见解析
(2)
本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相关知识点是解题关键．
（1）由平行四边形的性质可得，由作法可知，，进而得到，即可证明结论；
（2）由平行四边形的性质可得，，，再在直角三角形中，利用勾股定理先求出，再求出即可．
（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
由作法可知，，
，
；
（2）解：，，
，，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
∴在中，，
∴在中，，
∴的长为．
12．(1)见解析
(2)①见解析；②10
本题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
（1）根据得到，然后证明，得到，即可证明其为平行四边形；
（2）①证明出，由平行四边形得到，再由等腰三角形三线合一即可证明；②先由勾股定理求解，再由平行四边形对角线互相平分即可求解．
（1）证明：在中，，
，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形．
（2）①证明：在中，，，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
②解：在中，，
在中，，
．
13．(1)见解析
(2)，理由见解析
本题考查了平行四边形和矩形．熟练掌握平行四边形的判定和性质，矩形的判定，是解题的关键．
（1）根据平行四边形的性质得到，然后根据，得到，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断即可；
（2）由（1）得的结论先证得四边形是平行四边形，通过角的关系得出，，即得．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：当，四边形是矩形，
理由：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
14．(1)答案见解析
(2)答案见解析
本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，平行四边形和菱形的作图，熟练掌握平行四边形的判定及菱形的判定是解题的关键．
（1）将四边形构造为底边长为3，高为2的平行四边形即可；
（2）将四边形构造为对角线分别为2和6且互相垂直平分的四边形即可．
（1）解：如图，四边形就是所求作的平行四边形；
（2）解：如图，四边形就是所求作的菱形．
15．(1)证明见解析
(2)四边形是菱形，证明见解析
（1）由三角形中位线的判定与性质得到，再由，依据平行四边形的判定即可得证；
（2）先由平行四边形的性质得到，，再由中点定义等量代换确定，从而由平行四边形的判定得到四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半确定，最后由菱形的判定即可得证．
（1）证明：点O、D分别是边、的中点，
是的中位线，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：四边形是菱形，证明如下：
四边形是平行四边形，
，，
点是边的中点，
，
∴，
，
四边形是平行四边形．
在中，是斜边上的中线，则，
四边形是菱形．
本题考查平行四边形及特殊平行四边形综合，涉及三角形中位线的判定与性质、平行四边形的判定与性质、中点定义、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、菱形的判定等知识．熟记平行四边形及菱形的判定与性质是解决问题的关键．
16．(1)证明见解析
(2)
本题考查平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四变形的判定方法和性质，是解题的关键：
（1）根据平行四边形的性质，得到，进而推出，即可得证；
（2）根据平行四边形的性质，结合三角形的内角和定理以及对顶角相等，进行求解即可．
（1）证明：∵在中，
∴，
∵点E，F分别在的延长线上，且，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
（2）∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
17．(1)见解析
(2)
此题考查了平行四边形的判定和性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识，熟练掌握三角形中位线定理是关键．
（1）根据三角形中位线定理证明，由已知即可证明结论；
（2）求出，，根据勾股定理即可求出答案．
（1）证明：∵是的中点，，
∴是的中位线，
∴，
∵，．
∴四边形为平行四边形；
（2）∵，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴
∵，
∴
∵，
∴
18．(1)3
(2)见解析
(3)
（1）根据题意及三角形的中位线定理即可解答；
（2）连接，交于点M，交于点N，证明，根据角的等量代换得到，利用三角形的中位线定理即可得证；
（3）记交于点P，利用勾股定理即可解答
（1）解：∵三点共线，正方形和正方形有一个公共顶点，
∴三点共线，
∵点H、点O分别是线段和的中点，
∴是的中位线，
∴， ，
∴， ， 即，
∴，
（2）证明：如图，连接，交于点M，交于点N，
∵，
∴，
∵在和中，
， ，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴， 即，
∵点H、点O分别是线段和的中点，
∴OH是△CEG的中位线，即，
∴，
（3）解：记交于点P，
∵，
∴，
，
∴，
即，
，
，
∴三点共线，
∴，
∵，
∴，
∴．
19．(1)正确，见解析
(2)见解析
(3)
（1）由平行线的性质可得，再根据等边对等角可得，即，可得；由作图过程可得，最后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明；
（2）根据平行四边形的定义运用尺规作图即可；
（3）如图，过点A作，过点E作，易证可得、，再证明四边形是矩形可得，易得，再运用勾股定理求得，最后根据平行四边形的面积公式求解即可．
（1）解：小颖的作法正确，证明如下：
∵的平分线，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴四边形ABCD是平行四边形．
（2）解：如图所示；
（3）解：如图，过点A作，过点E作，
∵
，
∵，
，
，
，
∴，
，，
，，
∴四边形是矩形，
∴，
，
，
由勾股定理得，，
．
本题主要考查了平行四边形的判定与性质、等边对等角、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
20．(1)见解析
(2)
本题主要考查了三角形中位线定理，平行四边形的性质与判定，熟知三角形中位线定理和平行四边形的性质与判定定理是解题的关键．
（1）由三角形中位线定理可得，再由即可证明结论；
（2）由平行四边形对边相等得到，再由三角形中位线定理即可得到答案．
（1）证明：∵是的中位线，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，，
∴，
∵是的中位线，
∴．
21．(1)见解析
(2)
(3)见解析
本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，角平分线的性质和平行线的判定与性质，掌握以上知识是解决本题的关键．
（1）根据角的等量变换得到，再根据平行线的判定得到，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可求解；
（2）通过平行和垂直的性质可得，再根据勾股定理可得，过点C作 ，然后分别证得和，然后设，根据即可求解；
（3）根据中位线性质可得，再证明四边形是菱形，然后即可求解；
（1）证明：如图：
∵，， ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵AD // BC
∴四边形是平行四边形
（2）解：∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
过点C作 ，如图：
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴E为中点，
∵， ，
∴设，由，
得，
解得：，
即；
（3）解：连接，，如图：
∵E为中点(已证)， F是中点，
∴，
∵F是中点，，
∴，
同理∵ E是 中点，，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形，
∴，
∵，，
∴；
22．(1)见解析
(2)3
本题考查了平行四边形的判定与性质，中位线的性质，平行线的判定，熟练掌握相关性质定理为解题关键．
（1）根据内错角相等两直线平行得到，结合即可得证结论；
（2）根据题意可得是的中位线，结合平行四边形性质即可求出最后结果．
（1）证明：，
．
，
四边形是平行四边形；
（2）分别为的中点，
是的中位线，
．
四边形是平行四边形，
，
．
23．(1)证明见解析
(2)
本题考查平行四边形的性质和判定，菱形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握平行四边形的判定，应用勾股定理解三角形．
（1）利用平行四边形的性质可得，根据，由两组对边平行的四边形是平行四边形即可得出结论；
（2）过点作于点G，连接，交于点O．证明四边形是菱形，得出，，，，设，则，根据勾股定理得出，求出，得出，利用勾股定理求解即可．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：如下图，过点作于点G，连接，交于点O．
则，
∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是菱形，
∴，，，，
设，则，
根据勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴，，
∴，
根据勾股定理得：，
∴，
∴，
∴，
∴．
24．(1)见解析
(2)32
本题考查了平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，等角对等边，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据平行四边形的对边平行且相等可得，，结合题意可得，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明；
（2）根据角平分线的定义可得，根据平行四边形的对边平行可得，根据两直线平行，内错角相等可得，推得，根据等角对等边可得，求得，即可求解．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，且，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵为的角平分线，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的周长．
25．(1)见解析
(2)
本题考查了平行四边形的判定和性质，角平分线的性质，平行线的性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．
（1）先证得，再利用等量代换证得，证得，即可证明结论；
（2）利用角平分线的定义和平行线的定义可证得，可求得．
（1）证明：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
26．见解析
本题主要考查了平行四边形的判定和性质，先根据平行四边形的性质得出，，再根据，得出，最后根据平行四边形的判定得出答案即可．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
即，
∵，
∴四边形是平行四边形．
27．(1)见解析
(2)见解析
(3)
本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，矩形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等，熟练掌握平行四边形的判定定理与性质定理是解题的关键．
（1）根据平行四边形的性质先证明，再根据点为中点可得结论；
（2）根据三角形中位线定理可得，，结合平行四边形的性质，证明，，即可得出结论；
（3）过点作于点，证明是等边三角形，，求出，再利用勾股定理求出，得到的长，进而可计算四边形的面积．
（1）解：，
，互相平分，
，
，
，
点为中点，
；
（2），
，，
点，，分别为，，的中点，
，，，
，，
四边形是平行四边形；
（3）如图，过点作于点，
矩形，，
，
∴，
∴，是等边三角形，
，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
四边形的面积．
28．(1)证明见解析；
(2)证明见解析；．
（）连接交于点，则，，再证明，得到，所以，利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可证；
（）首先证出四边形为矩形，则，设， 可表示出，，故，得到，又因为，得到；
首先可证出四边形为菱形，四边形为正方形，根据可得，根据（）得，故三角形为等边三角形，，再根据含的等腰三角形的三边关系可得的长．
（1）证明：如图，连接交于点，
∵四边形为平行四边形，
∴，，，，
∴，
又∵ ，
∴，
∴，
∴，即，
又∵，
∴四边形为平行四边形；
（2）证明：∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
设，，则，，
∴，。
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴四边形为菱形，
∴，，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴．
本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，熟练掌握定理进行推导是解题的关键．
29．（1）见解析；（2）；（3）
此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识
（1）首先证明出，得到，，然后利用勾股定理求出，进而求解即可；
（2）根据（1）的结论，代入数据，即可求解；
（3）以为对角线作平行四边形，连接，以为对角线作平行四边形，连接；设，则，根据（1）的结论得出，，根据勾股定理可得，解方程，即可求解．
（1）小应的证明：作于点交的延长线于点，由四边形是平行四边形，容易证得（），得到，．设，，．
在和中，．
在中，．
∴
（2）∵，，，
∴
∴
∴
（3）如图所示，以为对角线作平行四边形，连接，以为对角线作平行四边形，连接；
则
∵，是斜边的三等分点，
∴，
设，则
由（1）可得
∴
即
同理可得
∴
即
又∵
∴
解得：（负值舍去）
∴
30．(1)证明见解析
(2)8
本题考查平行四边形的性质，勾股定理以及全等三角形的判定与性质．
（1）证明，即可证明．
（2）先由（1）和已知可得，根据勾股定理求得的长，即可得到的长．
（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
又∵，
∴
∴；
（2）解：∵，
∴即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
31．(1)
(2)或或
（1）①根据平行四边形的性质得到，，求得，根据平行线的性质得到，，根据全等三角形的性质得到结论；
②过D作于H，根据平行线的性质得到，求得，根据勾股定理得到，连接交于G，根据折叠的性质得到，，根据中位线定理得到 ，根据线段垂直平分线的性质得到结论；
（2）当在边上时，过D作，得到，根据勾股定理得到，根据折叠的性质得到；当C在边上时，如图，设，交于H，连接，根据折叠的性质得到，，，故是中位线，求得，根据等腰直角三角形 到现在得到；当点与点A重合时，过A作于H，求得，根据勾股定理得到．
（1）解：在中，，，
，
即，
，
，，
，
；
②过D做于H，
，
，
，
在中，，
连接交于G，
由折叠可知．，
又，
是的中位线，
，
是的中垂线，
；
（2）解：或5或
当在边上时（图1），
由折叠可知，
过D做，
，
．
由折叠，，
当在边上时（图2），
由折叠，，．
又，故是中位线．
因此，
是等腰直角三角形，
．
当与A重合时（图3），
过点A作，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
．
综上所述，或5或．
本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键．(共5张PPT)
【期末真题汇编】浙教版八年级数学下册 第四章 平行四边形 解答题 分析
三、知识点分布
一、解答题
1 0.85 三角形中位线的实际应用；用勾股定理解三角形；利用平行四边形性质和判定证明
2 0.65 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；等腰三角形的性质和判定；等边对等角；根据等角对等边求边长；利用平行四边形的性质求解
3 0.65 利用矩形的性质求角度；利用矩形的性质证明；等边对等角；三角形内角和定理的应用；证明四边形是平行四边形
4 0.85 证明四边形是菱形；作线段(尺规作图)；证明四边形是平行四边形
5 0.4 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；判断三边能否构成直角三角形；角平分线的有关计算；根据正方形的性质与判定求线段长；根据等角对等边证明边相等；用勾股定理解三角形；利用平行四边形的判定与性质求解
6 0.65 公式法解一元二次方程；全等的性质和SAS综合（SAS）；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；根据正方形的性质证明；用勾股定理解三角形；利用平行四边形性质和判定证明
7 0.65 证明四边形是矩形；等腰三角形的性质和判定；用勾股定理解三角形；利用平行四边形性质和判定证明
8 0.85 利用平行四边形的性质求解；利用平行四边形性质和判定证明
9 0.65 角平分线的有关计算；根据等角对等边求边长；利用平行四边形的性质求解
10 0.65 证明四边形是菱形；证明四边形是矩形；利用平行四边形性质和判定证明
三、知识点分布
11 0.65 等边对等角；利用平行四边形的性质求解；利用平行四边形的性质证明；用勾股定理解三角形
12 0.65 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；三线合一；利用平行四边形的性质求解；用勾股定理解三角形；利用平行四边形性质和判定证明
13 0.65 证明四边形是矩形；利用平行四边形的性质证明；利用平行四边形性质和判定证明
14 0.65 证明四边形是菱形；证明四边形是平行四边形
15 0.65 与三角形中位线有关的证明；斜边的中线等于斜边的一半；证明四边形是菱形；证明四边形是平行四边形；利用平行四边形性质和判定证明
16 0.65 利用平行四边形的性质求解；利用平行四边形的性质证明；证明四边形是平行四边形
17 0.65 与三角形中位线有关的证明；用勾股定理解三角形；利用平行四边形性质和判定证明
18 0.85 与三角形中位线有关的求解问题；与三角形中位线有关的证明；利用勾股定理求两条线段的平方和（差）；用SAS证明三角形全等（SAS）；根据正方形的性质证明；用勾股定理解三角形
19 0.65 根据平行线的性质探究角的关系；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；根据矩形的性质与判定求角度；根据矩形的性质与判定求线段长；等边对等角；利用平行四边形的性质求解；证明四边形是平行四边形；用勾股定理解三角形；利用平行四边形性质和判定证明
20 0.85 与三角形中位线有关的求解问题；与三角形中位线有关的证明；利用平行四边形的性质求解；证明四边形是平行四边形；利用平行四边形性质和判定证明
三、知识点分布
21 0.65 根据平行线判定与性质证明；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；利用菱形的性质证明；用勾股定理解三角形；利用平行四边形性质和判定证明
22 0.65 与三角形中位线有关的求解问题；利用平行四边形的性质求解；证明四边形是平行四边形；内错角相等两直线平行
23 0.65 根据菱形的性质与判定求线段长；用勾股定理解三角形；利用平行四边形性质和判定证明
24 0.65 角平分线的有关计算；根据等角对等边求边长；利用平行四边形的性质求解；利用平行四边形性质和判定证明
25 0.65 两直线平行内错角相等；根据平行线判定与性质证明；根据等角对等边求边长；利用平行四边形的性质求解；证明四边形是平行四边形；利用平行四边形性质和判定证明
26 0.85 利用平行四边形性质和判定证明
27 0.65 等腰三角形的性质和判定；等边三角形的判定和性质；用勾股定理解三角形；利用平行四边形性质和判定证明
28 0.65 全等的性质和SAS综合（SAS）；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；证明四边形是矩形；证明四边形是菱形；证明四边形是平行四边形；利用平行四边形性质和判定证明
29 0.65 利用平行四边形的性质求解；用勾股定理解三角形
30 0.65 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；利用平行四边形的性质求解；用勾股定理解三角形
31 0.65 与三角形中位线有关的求解问题；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；等腰三角形的性质和判定；利用平行四边形的性质求解；利用平行四边形的性质证明；用勾股定理解三角形

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