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二次函数综合题压轴练 高频考点预测练 2026年初中数学中考复习备考
1．如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图（2），作抛物线，使它与抛物线关于原点成中心对称，求抛物线的解析式；
(3)如图（3），将（2）中抛物线向上平移2个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线相交于两点（点在点的左侧）．
①求点和点的坐标及直线的解析式；
②如图，点在上，过点作轴，交于点，求的最大值．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点（点在点左侧），交轴于点．
(1)求点的坐标；
(2)将抛物线绕某点旋转得到，且也经过两点，求抛物线的解析式；
(3)在（2）的条件下，点为抛物线上之间的一点，作轴交于点．
①求出线段长度的最大值；
②若点为线段的中点，直接写出之间的关系式．
3．抛物线与轴的两个交点为，，且与轴交点的纵坐标为．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图，若是抛物线上任意一点，过点作轴的平行线，交直线于点．当时，求点的横坐标；
(3)针对上述抛物线的特征，小宇发现这样的一个结论：若抛物线经过抛物线的顶点，则抛物线的顶点也在抛物线上．你认为他发现的这个结论正确吗？请说明理由．
4．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）交轴于点，交轴于点，点坐标为，点为抛物线的顶点，点为抛物线上一动点，且点的横坐标为．
(1)求该抛物线的解析式及点的坐标；
(2)如图②，连接，当点在抛物线上点之间运动时（不与点重合），过点作直线轴于点，交于点．若，求的值；
(3)若点在抛物线对称轴的左侧，以点为对称中心，构造正方形，且在轴上（点在点的下方），直接写出抛物线与正方形的边只有2个公共点时的取值范围．
5．已知抛物线（，为常数）过点．
(1)若该抛物线与轴交于点．
①求该抛物线的解析式；
②已知，在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围；
(2)若对于任意实数，都有，此时抛物线与直线交于，两点，求的长．
6．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A，两点（点A在点的左侧）其顶点为，是抛物线第四象限上一点．
(1)求点A，的坐标；
(2)如图2当时，若，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，如图3，过点A的直线与轴正半轴交于点，与抛物线交于点，将直接绕点A顺时针旋转使其与轴负半轴交于点，与抛物线交于点，若，试判断直线是否经过定点．若是，请求出该点坐标；若不是，请说明理由．
7．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，经过点A的直线与抛物线交于点D，与y轴交于点E，顶点坐标为．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当时，函数最大值与最小值的差为，求p的取值范围；
(3)如图2，连接，已知的面积为10．
①求点D的坐标；
②若M是线段上的一动点，N是线段上的一动点，且，求的最小值．
8．已知，抛物线（），与x轴交于A，B，（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，顶点为点D．
(1)抛物线的对称轴为 （用含有a的式子表示）；
(2)若当时，函数值y随着x的增大而减小，求a的取值范围；
(3)如图1，当时，点为第四象限的抛物线上一点，过点E作轴与抛物线另外一个交点为点F．
①连接，过点E作轴，交于点H，以为邻边构造矩形，当矩形的周长为时，求m的值；
②以所在直线为对称轴将抛物线位于下方的部分翻折，若翻折后所得部分与x轴有交点，且交点都位于x轴正半轴，请直接写出n的取值范围．
9．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数图象经过点，，其对称轴为直线．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)若直线将的面积分成相等的两部分，求的值；
(3)点是该二次函数图象与轴的另一个交点，点是直线上位于轴下方的动点，点是第四象限内该二次函数图象上的动点，且位于直线右侧．若以点为直角顶点的与相似，求点的坐标．
10．如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C．直线经过点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴l与直线相交于点P，连接，判定的形状，并说明理由；
（3）在直线上是否存在点M，使与直线的夹角等于的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴相交于点，抛物线的对称轴直线与轴交于点．
(1)求抛物线的表达式：
(2)点是第一象限内抛物线上一点，连接，，，点，是抛物线对称轴上的动点（点在点上方），且，连接，，当的面积最大时，求点的坐标及的最大值；
(3)在（2）中的面积取最大的条件下，将抛物线沿射线的方向平移个单位得到抛物线，点为点的对应点，点是抛物线上一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．
12．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数（b、c为常数）的图像与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），交y轴于点C，对称轴为直线，．
(1)求二次函数关系式：
(2)连接、，抛物线上是否存在点P，使，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．
(3)如图2，在x轴上方的抛物线上找一点Q，作射线，使，点M是线段上的一动点，过点M作轴，垂足为点N，连结，求的最小值．
参考答案
1．(1)
(2)
(3)①；；②4
【分析】（1）将点和点代入，即可求解；
（2）利用对称性求出函数顶点关于原点的对称点为，即可求函数的解析式；
（3）①通过联立方程组，求出点和点坐标即可；
②求出直线的解析式，过点作轴交于点，设，则 ，可求，即可求出的最大值4．
【详解】（1）解：将点和点代入，
∴，
解得，
∴．
（2）∵，
∴抛物线的顶点，
∵顶点关于原点的对称点为，
∴抛物线的解析式为，
∴．
（3）①由题意可得，抛物线的解析式为，
联立方程组，
解得和，
∴或；
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴，
②过点作轴交于点，如图所示：
设，则，
∴，
∵，
∴当时，有最大值．
2．(1)
(2)抛物线的解析式为
(3)①；②
【分析】（1）根据二次函数的性质即可解答；
（2）设抛物线的解析式为，将坐标代入解析式，解出即可；
（3）利用中点坐标公式求解即可.
【详解】（1）解：∵抛物线交轴于，两点（点在点左侧），交轴于点，
∴当时，，解得：
即：，
当时，，即：；
（2）解：设抛物线的解析式为，
∵，
∴，
解得：，
即：抛物线的解析式为；
（3）解：①设，
∵轴交于点，
∴，
∵点为抛物线上之间的一点，
∴在的上方，
∴，
∵
∴当时，最大为：；
②∵点为线段的中点，
∴，，
∴.
3．(1)
(2)或或或
(3)结论正确，理由见解析
【分析】（1）使用待定系数法求函数表达式即可；
（2）先求出直线的函数表达式为，设点，则点，从而得到，因此，分别求解即可；
（3）先计算出抛物线的顶点的坐标为，将点代入的表达式可得，进而求出抛物线的顶点的坐标为，代入的表达式可知，点也在抛物线．
【详解】（1）解：由题意可知，点的坐标为，
将点，，代入，得，
，
解得，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：设直线的函数表达式为，
将点，代入，得，
，
解得，
∴直线的函数表达式为，
设点的坐标为，
∵轴，
∴，
∴点的坐标为，
∴，
∵，
∴，即，
当时，
整理，得，
解得或；
当时，
整理，得，
解得或；
综上所述，点的横坐标为或或或；
（3）解：结论正确，理由如下：
，
∴抛物线的顶点的坐标为，
将点代入，得，
，
∴，
∴抛物线的表达式为，
∴抛物线的顶点的坐标为，
将代入，得，
∴点也在抛物线上．
4．(1)，
(2)
(3)或．
【分析】（1）将点，代入抛物线的解析式用待定系数法即可求解；
（2）令，解之可得，进而可求直线解析式为． 由点E在抛物线上的点A，C之间，点，，，求得，，根据题意建立方程求解即可；
（3）由题可得，，则，即，根据题意画出图形，结合图形建立方程，根据题意写出取值范围即可．
【详解】（1）解：∵抛物线交y轴于点，
将代入得：，
解得，
∴该抛物线的解析式是．
∵，
．
（2）解：令，解得，，
，
设直线的解析式为，将代入，
解得，
∴直线解析式为．
∵点E在抛物线上的点A，C之间，
∴．
由点，，，
，
∴．
∵，
∴，
解得，而，
∴
（3）解：由题可得，，则，即，
如图所示：此时边经过点，正方形与抛物线有3个交点，，
解得，或，
，
，
正方形与抛物线有2个交点时，；
当点与点重合时，正方形与抛物线有3个交点，如图所示：
此时，
解得，（舍去）或，
当时正方形与抛物线有2个交点，
综上所述，正方形与抛物线有2个交点时，的取值范围是：
或．
【点睛】本题主要是考查了二次函数综合运用，涉及到待定系数法求二次函数的表达式，二次函数 与线段问题，二次函数与特殊四边形的问题，点的坐标求解，其中(3)要注意数形结合，分类讨论，避免漏解．
5．(1)①抛物线的解析式为；②；
(2)
【分析】本题考查二次函数综合运用，熟练掌握函数与方程和不等式的关系，是解决本题的关键．
（1）①代入点坐标，利用待定系数法求解析式；
②根据解析式，计算出，利用函数图象增减性，得出或，列出不等式组，计算即可求解；
（2）把代入解析式，找到和的关系，根据对于任意实数，都有，得出对任意实数都成立，根据函数恒成立问题结合题意得出，求出的值，再计算出交点坐标，即可求解．
【详解】（1）解：①∵抛物线过点和，
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
②抛物线开口向上，
∵已知，在该抛物线上，，
∴，
∴或，
又∵．
当时，则，无解；
当时，则，解得，符合条件．
故的取值范围为 ．
（2）解：∵抛物线过点，
，
∴，
∵对于任意实数，都有，即
∴，
∴对任意实数都成立，
，
∴，
，
∴抛物线解析式为，
联立抛物线与直线，
得，
解得，
即抛物线与直线交点的横坐标为和，
．
6．(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了二次函数的性质、正切的定义、二次函数与一元二次方程等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
（1）先说明A，两点的横坐标为方程的解，即方程的解，然后解方程即可解答；
（2）根据题意和二次函数的性质可得、顶点，如图：过C作轴于点E，交于点F，则，可说明，即，则；设点F的坐标为，则，，易得，解得：，即；再运用待定系数法求得直线的解析式为，最后与抛物线解析式联立即可解答．
（3）由（2）可得：当时，函数解析式为，，设直线的解析式为可得直线的解析式为、，再与抛物线解析式联立可得；设直线的解析式为，同理可得：、，；再由可得；再运用待定系数法求得直线的解析式进行分析即可解答．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于A，两点（点A在点的左侧），
∴A，两点的横坐标为方程的解，
∵，
∴，解得：，
∴点A，的坐标分别为：．
（2）解：如图：当时，函数解析式为，
∴，顶点，
如图：过C作轴于点E，交于点F，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设点F的坐标为，则，，
∴，即，解得：，
∴，
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为，
联立，解得：或（不合题意舍弃），
∴，
∴．
（3）解：由（2）可得：当时，函数解析式为，，
设直线的解析式为，则，即，
∴直线的解析式为，，
联立，解得：或（不合题意舍弃），
∴；
设直线的解析式为，
同理可得：、，
∵，
∴，解得：，
设直线的解析式为，
则，
①-②可得,
,
,
∵，
∴，
把代入可得：
，
，
，
∴∴直线的解析式为，整理得：
∴当，即时，，
∴直线经过定点．
7．(1)；
(2)；
(3)①；②
【分析】（1）设，将点代入，求函数的解析式即可；
（2）当时，，解得；当时，函数的最大值与最小值的差始终为，所以时，函数最大值与最小值的差为；
（3）①求出，可得，再由，求出，直线与抛物线的交点为D点；
②过点A作，使，连接，则，当E、M、F三点共线时，有最小值为，求出即可．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，
将点代入，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：当时，，
时，，
当时，，
解得；
当时，；
时，函数最大值与最小值的差为；
（3）解：①当时，，
解得或，
，
，
，
解得，
，
设直线的解析式为，
把，的坐标代入得，
解得，
直线的解析式为，
当时，解得或，
；
②过点A作，使，连接，
，，
，
，，
，
，
，
当E、M、F三点共线时，有最小值为的长，
此时，在中，，，
∴，
有最小值为．
【点睛】本题考查了二次函数与几何的综合问题，用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的面积问题，二次函数的最值问题，二次函数中的线段问题，全等三角形的判定与性质，熟练掌握二次函数与几何的综合问题是解题的关键．
8．(1)
(2)或
(3)①或；②
【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键：
（1）直接利用对称轴的计算公式计算即可；
（2）分和，利用二次函数的增减性进行求解即可；
（3）①求出的坐标，进而求出的解析式，由题意，求出，，利用矩形的周长公式列出方程进行求解即可；
②求出抛物线的顶点坐标，进而求出翻折后的抛物线的解析式，求出翻折后的抛物线的顶点恰好在轴上，和翻折后的抛物线恰好经过原点两种临近情况的值，即可．
【详解】（1）解：∵，
∴对称轴为直线；
故答案为：；
（2）由（1）知，抛物线的对称轴为直线，
∴当时，时，随着的增大而减小，
∵当时，函数值y随着x的增大而减小，
∴；
当时，时，随着的增大而减小，
∵当时，函数值y随着x的增大而减小，
∴；
综上：或；
（3）①当时，则：，抛物线的对称轴为直线，
∴当时，，当时，解得：，
∴，
设直线的解析式为：，把代入，得：，
∴，
∵点为第四象限的抛物线上一点，过点E作轴与抛物线另外一个交点为点F，轴，交于点H，
∴，，，，
∴，，
∴当矩形的周长为时，，
∴，
当，即：时，，
解得：或（舍去）；
当，即：时，，
解得：；
综上：或；
②∵，
∴抛物线的顶点坐标为：，
由题意，得：直线的解析式为，
∴点关于的对称点为：，
∴翻折后的抛物线的解析式为，
当抛物线的顶点恰好在轴上时，则：，
∴，
当抛物线过原点时，则：，解得：，
∵翻折后所得部分与x轴有交点，且交点都位于x轴正半轴，
∴．
9．(1)抛物线的表达式为：，直线的表达式为： ；(2)；(3)点坐标为或．
【分析】(1)把A、C坐标代入二次函数表达式，再由对称轴公式以及对称轴x=2得到关于a、b、c的方程组，解方程组即可得；
(2)求出直线AC解析式为：，联立，求得两直线交点的横坐标为，直线 与轴的交点为，求出，
由题意得则可知两直线与y轴围成的三角形的面积为 且m>-6，解方程即可得；
(3)由已知可得，然后分①当时，则，如图1，过点作直线，垂足为，过点作，垂足为，则，根据相似三角形的性质则可得到，设点，则，，求得h值即可求得答案；②当时， ，过点作直线，垂足为，过点作，垂足为，则 ，则可得，设点，则， ，求得p的值即可求得答案.
【详解】(1)由已知得：，解得：，
故抛物线的表达式为：；
(2)设直线AC解析式为y=k1x+b1，将A(-2，0)、C(0，-6)分别代入得
，解得：，
所以直线的表达式为：，
联立，解得：，
直线 与轴的交点为，
∵，
∴由题意得： ，
解得：或(舍去)，
；
(3)，，
，
①当时，则，
如图1，过点作直线，垂足为，过点作，垂足为，
则，
则，则，
设点，则，，
则，即，
点在二次函数上，故： ，
解得：或(舍去)，
则点；
②当时， ，
过点作直线，垂足为，过点作，垂足为，
则 ，则，则，
设点，则， ，
则，解得：或(舍去)；
故点坐标为或．
【点睛】本题考查的是二次函数综合题，涉及了待定系数法，三角形的面积，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.注意数形结合思想与分类讨论思想的应用.
10．（1）；（2）的为直角三角形，理由见解析；（3）存在使与直线的夹角等于的2倍的点，且坐标为M1（），M2（，）．
【分析】（1）先根据直线经过点，即可确定B、C的坐标，然后用带定系数法解答即可；
（2）先求出A、B的坐标结合抛物线的对称性，说明三角形APB为等腰三角形；再结合OB=OC得到∠ABP=45°，进一步说明∠APB=90°，则∠APC=90°即可判定的形状；
（3）作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E；然后说明△ANB为等腰直角三角形，进而确定N的坐标；再求出AC的解析式，进而确定M1E的解析式；然后联立直线BC和M1E的解析式即可求得M1的坐标；在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，利用中点坐标公式即可确定点M2的坐标
【详解】解：（1）∵直线经过点
∴当x=0时，可得y=5，即C的坐标为（0,5）
当y=0时，可得x=5，即B的坐标为（5,0）
∴解得
∴该抛物线的解析式为
（2）的为直角三角形，理由如下：
∵解方程=0，则x1=1，x2=5
∴A（1,0），B（5,0）
∵抛物线的对称轴l为x=3
∴△APB为等腰三角形
∵C的坐标为（5,0）, B的坐标为（5,0）
∴OB=CO=5,即∠ABP=45°
∴∠ABP=45°，
∴∠APB=180°-45°-45°=90°
∴∠APC=180°-90°=90°
∴的为直角三角形；
（3）如图：作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E，
∵M1A=M1C，
∴∠ACM1=∠CAM1
∴∠AM1B=2∠ACB
∵△ANB为等腰直角三角形.
∴AH=BH=NH=2
∴N（3，2）
设AC的函数解析式为y=kx+b
∵C(0，5),A(1，0)
∴ 解得b=5，k=-5
∴AC的函数解析式为y=-5x+5
设EM1的函数解析式为y=x+n
∵点E的坐标为（）
∴=× +n，解得：n=
∴EM1的函数解析式为y=x+
∵ 解得
∴M1的坐标为（）；
在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2
设M2（a，-a+5）
则有：3=，解得a=
∴-a+5=
∴M2的坐标为（，）．
综上，存在使与直线的夹角等于的2倍的点，且坐标为M1（），M2（，）．
【点睛】本题属于二次函数与几何的综合题，主要考查了待定系数法确定函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、一次函数图像、三角形外角等知识，考查知识点较多，综合应用所学知识成为解答本题的关键．
11．(1)
(2)当的面积最大时，点的坐标为，的最大值为
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果；
（2）由题意可得，求出直线的解析式为，，过点作，交直线于点，设点，则点的纵坐标为，求出，得到，再由得出当时，的面积最大，为，此时点的坐标为，连接，由抛物线的对称性可得，将点向下平移个单位长度得到点，连接，，则，证明四边形为平行四边形，得出，从而可得，再由勾股定理计算即可得出结果；
（3）求出直线的解析式为，结合题意得出将抛物线向右平移个单位长度，向上平移个单位长度得到抛物线，进而可得，，过点作对称轴于点，过点作于点，过点作于点，解直角三角形求出，分两种情况：当点在下方时，在轴上取一点，使得，则，连接并延长交于点，当点在上方时，作点关于直线的对称点，作直线交抛物线于点，分别计算即可得出结果．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，与轴相交于点，抛物线的对称轴直线，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵抛物线的对称轴直线与轴交于点，
∴，
设直线的解析式为，
将代入可得，
∴，
∴直线的解析式为，
在中，令，则，
解得：，，
∴，
如图，过点作，交直线于点，
设点，则点的纵坐标为，
在中，当时，，
解得：，
∴，
∴，
∴
，
∵，
∴时，的面积最大，为，此时，
∴当的面积最大时，点的坐标为，
连接，
∵点，是抛物线对称轴上的动点，且点、点关于对称轴对称，
∴，
将点向下平移个单位长度得到点，连接，，则，
由平移的性质可得：，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴的最大值为；
（3）解：设直线的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得，
∴直线的解析式为，
，
∵将抛物线沿射线的方向平移个单位得到抛物线，
∴将抛物线向右平移个单位长度，向上平移个单位长度得到抛物线，
∵，
∴，
∵点为点的对应点，
∴，
过点作对称轴于点，过点作于点，过点作于点，
则，，，，
∴，，
∴，
∴，
当点在下方时，在轴上取一点，使得，则，连接并延长交于点，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵对称轴于点，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即点即为所求，
设直线的解析式为，
将，代入可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：或，
∴此时；
设直线的解析式为，
将，代入可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
当点在上方时，作点关于直线的对称点，作直线交抛物线于点，
由轴对称的性质可得，点、的中点在直线上，，即点即为所求，
设，则，
解得：或（不符合题意，舍去），
∴，
设直线的解析式为，
将，代入可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：或，
∴此时；
综上所述，点的坐标为或．
【点睛】二次函数的平移法则：左加右减，上加下减；采用数形结合与分类讨论的思想．
12．(1)
(2)抛物线上存在点，使，的坐标是或
(3)
【分析】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数解析式，解直角三角形，轴对称的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）由对称轴为和得，，再由得，，，将代入得，，故二次函数关系式为；
（2）设，根据点的坐标可得，，分两种情况讨论，①当P在直线的下方时，以为斜边在的下方作等腰直角三角形，设C关于的对称点为E，则，验证可得点P与点E重合，得出，②当P在的上方时，作点P关于的对称点，即，即可求解；
（3）在上取一点，使得，得出，过点B作轴，垂足为点B，交于点G，则，作B关于的对称点，连接交于点T，根据轴对称性质得当M在上时取得最小值，最小值为的长，等面积法求得，则，进而得出，根据，即可求解．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，，
，即，
二次函数解析式为，
抛物线的对称轴为直线，，
，
将代入得，
解得：，
二次函数关系式为；
（2）解：在中，
当时，，则，
，
由可知，
又，
，
设，则，
①当P在直线的下方时，
如图，以为斜边在的下方作等腰直角三角形，
，，
设C关于的对称点为E，则，
，，
，，
又，
点P与点E重合，．
②当P在的上方时，作点P关于的对称点，
，都是等腰直角三角形，，
在y轴上，，
，
设直线解析式为，，，则
，解得，，
直线解析式为，
联立，
解得：或，
，
综上所述，抛物线上存在点，使，的坐标是或；
（3）解：如图，在上取一点，使得，
，
设，则，
在中，，，，
，即，
解得：，
，
，
过点B作轴，垂足为点B，交于点G，
，
，
，
即，
如图，作B关于的对称点，过点作轴，
垂足为点N，连接交于点T，
，
当M在上时取得最小值，最小值为的长，在中，，，
，
，，
，
又，，
，，
的最小值为．
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