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解答题中圆的证明与计算 高频考点预测练 2026年初中数学中考复习备考
1．如图，在中，，点D是边上一点，以为直径的⊙O与边交于点E，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，的直径为4，求的长．
2．如图，点D在以AB为直径的⊙O上，AD平分，，过点B作⊙O的切线交AD的延长线于点E．
(1)求证：直线CD是⊙O的切线．
(2)求证：．
3．如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD．

（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若∠BAC = 60°，OA = 2，求阴影部分的面积（结果保留）．
4．如图，内接于，是的直径，E为上一点，过点E作的切线交的延长线于点F，且，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
5．如图，为的外接圆，直径垂直于弦，垂足为点．点为圆外一点，连结、、，．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，，求的长．
6．如图，是的外接圆，点D在的延长线上，且满足．
(1)求证：是的切线；
(2)若是的平分线，，，求的半径．
7．如图，内接于是延长线上的一点，，相交于点．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
8．已知，如图①，是的直径，，点E是上一动点（点E与点C在直径的两侧，且点E不与A，B重合），连接，连接交于点F，连接分别交于点G，H．
(1)求证：．
(2)试问：在点E在运动过程中，的值会不会变？若不变，请求出它的比值；若会变，请说明理由．
(3)如图②，连接，求证：．
9．【材料阅读】有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫做这个三角形的“等弦圆”．
【问题解决】如图，是的“等弦圆”，是截得的三条弦．
(1)求证：平分．
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
10．如图，点，在上，，点在的延长线上，过作的切线，切点为，连接交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
11．如图，是的直径，弦于点E，G为上一点，延长交于点F，连接和．
(1)若，，求的半径；
(2)求证：．
12．如图1，内接于，作直径交边于点，平分，连接，．
(1)若，求的度数．
(2)如图2，作于点，交于点，
①求证：．
②若，且，求的最小值．
13．如图1，C，D是以为直径的上的两动点，分别位于两侧，连接、、，且．连结交于E．
(1)求证：；
(2)若，，求的长：
(3)如图2，若直径为定值，当的面积最大时，求的面积与的面积比．
参考答案
1．(1)详见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得到，，求得，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）连接，根据圆周角定理得到，由（1）知，，根据相似三角形的性质得到，求得，设，，根据三角函数的定义即可得到结论．
【详解】（1）证明明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是⊙O的半径，
∴是的切线；
（2）解：连接，
∵为的直径，
∴，
由（1）知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，，
∴，
在中，，
解得，
故的长为．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，切线的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
2．(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【分析】（1）连接OD，由角平分线的定义得到∠CAD=∠BAD，根据等腰三角形的性质得到∠BAD=∠ADO，求得∠CAD=∠ADO，根据平行线的性质得到CD⊥OD，于是得到结论；
（2）连接BD，根据切线的性质得到∠ABE=∠BDE=90°，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：证明：(1)连接OD，
∵AD平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴直线CD是⊙O的切线；
(2)连接BD，
∵BE是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的定义．圆周角定理，切线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
3．（1）见解析；（2）
【详解】试题分析：（1）由Rt△ABC中，∠C=90°，⊙O切BC于D，易证得AC∥OD，继而证得AD平分∠CAB．
（2）如图，连接ED，根据（1）中AC∥OD和菱形的判定与性质得到四边形AEDO是菱形，则△AEM≌△DMO，则图中阴影部分的面积=扇形EOD的面积．
试题解析：（1）证明：∵⊙O切BC于D，
∴OD⊥BC，
∵AC⊥BC，
∴AC∥OD，
∴∠CAD=∠ADO，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∴∠OAD=∠CAD，
即AD平分∠CAB；
（2）设EO与AD交于点M，连接ED．
∵∠BAC=60°，OA=OE，
∴△AEO是等边三角形，
∴AE=OA，∠AOE=60°，
∴AE=AO=OD，
又由（1）知，AC∥OD即AE∥OD，
∴四边形AEDO是菱形，则△AEM≌△DMO，∠EOD=60°，
∴S△AEM=S△DMO，
∴S阴影=S扇形EOD=．

考点：1、切线的性质、2、等腰三角形的性质
4．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接．先证明，从而可证得，由等腰三角形的性质和三角形外角性质知，即可得出结论；
（2）连接．证明，得．从而求得．设，则，，．由勾股定理，得，即，解得，则可求得，，，再解直角三角形得，最后解即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接．
是的直径，
．
与相切于点E，
，
，
．
，
．
又
∴
，
．
（2）解：如图，连接．
为的直径，
，
，．
由（1）得，
，
．
，
，
．
又，
，
．
，
，
．
设，则，，．
在中，由勾股定理，得
，即，
，
，，，
在中，．
，
．
在中，，
．
【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理及其推论，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，三角形外角的性质．熟练掌握切线的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形的应用是解题的关键．
5．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先由垂径定理得到，则，再导角证明，则，即可证明；
（2）可证明四边形是平行四边形，则，，然后解求出，连接，设，则，在中，由勾股定理得，求出，再由即可求解．
【详解】（1）证明：∵直径垂直于弦，
∴，，
∴，
∴
∵
∴，
∴，
∴，
即，
∵为半径，
∴为的切线；
（2）解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
设，
∴，
∴，
∴，
连接，如图：
设，则
在中，由勾股定理得，
∴，
解得：，
∴．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定，解直角三角形，垂径定理，勾股定理，平行四边形的判定与性质，熟练掌握各知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
6．(1)见解析
(2)5
【分析】（1）作直径，连接，利用直径得出直角，利用圆周角定理得出相等的角，最后等量代换可得出结论；
（2）根据相等的角得出相等的边，最后利用锐角三角函数求解．
【详解】（1）证明：如图，作直径，连接，
则，所以，
因为和所对的弧为，
所以，
又因为，
所以，
所以，
所以，
因为是半径，
所以是的切线；
（2）解：因为是的平分线，，
所以，
所以，
由（1）得，
所以，
令，则根据勾股定理，
所以，
则，
所以的半径为5．
7．(1)证明见解析
(2)6
【分析】（1）由，为半径，可知，，则，，，如图1，连接，由，可得，则，即，进而结论得证；
（2）如图2，记与交点为，连接，过作于，证明是等边三角形，则，，设半径为，则，由，，可得，证明，则，即，解得或（舍去）， 根据，计算求解即可．
【详解】（1）解：如图，连接，

∵，
∴，
∴，
∴，由等边对等角可得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
又∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：如图2，记与交点为，连接，过作于，

∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
设半径为，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰三角形，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，解得或（舍去），
∴，
∴ 的长为6．
【点睛】本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定与性质，切线的判定，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，余弦、正切等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
8．(1)见解析
(2)不会；
(3)见解析
【分析】（1）根据，可得，即可求证；
（2）连接，根据圆周角定理可得，则，证明，可得，即可解答；
（3）延长至M，使得，连接，则，证明，可得，从而得到，即可解答．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
又，
∴；
（2）解：不会变化，
如图，连接，
∵，
∴，
是的直径，
，
，
，，
∴，
，，
∴，
∴；
（3）证明：如图②，延长至M，使得，连接，则，
∵是直径，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴
即，
∴．
9．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，，由，，，可得，得出，即可得证；
（2）连接，，由平分，可得，由可得，进而得出，从而得出是等腰直角三角形，可求出，最后由即可求出结果．
【详解】（1）证明：连接，，如图所示，
∵，
又，，
，
，
平分．
（2）解：由（1）得平分，
∵
，
，
，
，
连接，，如图所示，
，
，
，
，
∴是等腰直角三角形，
又∵，
，
．
10．(1)见解析；
(2)的长为．
【分析】（）连接，由是的切线，则，即，所以，又，则，从而可得，然后通过等角对等边可得；
（）设的半径为，则，解得或（舍去），则，
在中，由勾股定理得，从而求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵是的切线，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：设的半径为，则，
∵，，
∴，
∴，
由（）知，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得或（舍去），
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴的长为．
11．(1)5
(2)见解析
【分析】（1）由垂径定理可得，如图：连接，设圆的半径为r，则，再利用勾股定理构造方程求解即可；
（2）如图：连接AC，易得，即，再利用圆的内接四边形的性质即可证明结论．
【详解】（1）解：∵是的直径，弦于点E，，
∴，
如图：连接，设圆的半径为r，则，
∴，即，解得：，
∴的半径为5．
（2）证明：如图：连接，
，是的直径，
，
，
四边形为圆的内接四边形，
，
．
12．(1)
(2)①见解析②1
【分析】（1）由为直径得，求出，由平分得，根据可得结论；
（2）①设，则，证明即可；②证明，得，设，，则， 代入比例式得，整理得，求得，根据二次函数的性质得从而得出的最小值为1，即的最小值为1．
【详解】（1）解：∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
（2）解：①证明：设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴
②由①得，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，，则，
∴，
整理得，
∵，
∴，
∴，
又，
∴的最小值为1，即的最小值为1．
13．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）设，利用直径性质得到，推导得到，利用同弧对应的圆周角相等，得到，通过三角形内角和计算出的度数，证明两个底角相等，最终用等角对等边得到；
（2）利用三角形内角和得到三个内角的三角函数关系，结合正弦定理和同角三角函数平方和为1，解出和的数值，利用相似三角形的比例性质，代入已知边长求出的长度，结合第一问的结论直接得到的长度；
（3）先确定面积最大的条件：C为上半圆中点，为等腰直角三角形，得到对应角度值，利用圆周角和弧的度数对应关系，得到各段弧的圆心角，再利用同高三角形面积比等于底边长之比的性质，最终计算出两个三角形的面积比值．
【详解】（1）证明：如图，连接，
设，则，
，
AB为直径，
，
，
，
，
；
（2）解：过点D作垂直于，垂足为G，如图，
，，，
，，，
为等腰三角形，
垂直于，，
，，
在中，，
，，
，
即，，
，即，
．
；
（3）解：设点C到线段的距离为，
，
要使得的面积最大，就是当，
此时，为等腰直角三角形，且，
连接，过点D作，如图，
，，
，则，
为等腰直角三角形，，
，，
，
．
【点睛】本题为圆的综合几何题，核心用到直径所对圆周角为直角、同弧对应的圆周角相等、等角对等边、相似三角形判定、三角形面积比例性质等初中几何核心知识点．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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