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综合与实践题 高频考点预测练 2026年初中数学中考复习备考
1．综合与实践
问题情境：从地面竖直向上发射的物体离地面的高度)满足关系式，其中)是物体运动的时间，为定值，是物体被发射时的速度．科学实验小组用某种发球器从水平地面竖直向上发射一个小球(记作甲)，并借助无人机探究小球甲离地面的高度)与该小球的运动时间)之间的关系，得到如下数据：
时间/
高度/
注：经科研人员检验，上述实验数据均满足
(1)建立模型：根据实验数据，求小球甲离地面的高度)与它运动时间)的关系式()；
(2)问题解决：已知小球甲发射前，无人机悬停在的空中．在小球甲发射的同时，无人机以的速度沿竖直方向匀速下降．
①无人机下降过程中离地面的高度为______(用含的代数式表示)；
②当小球甲与无人机在空中离地面的高度恰好相等时，求的值；
(3)当时，地面上另一个发球器竖直向上发射小球乙．已知小球乙被发射时的速度与小球甲被发射时的速度相同，当小球甲与小球乙同时在空中，且离地面的高度差为时，直接写出的值．
2．综合与探究
问题情境：已知矩形中，点为边上的一点，．沿过点的动直线折叠，得到同一平面内的（点，的对应点分别是点，），延长交射线于点．

(1)猜想证明：如图，当点，都落在矩形内部时，判断线段与的数量关系，并说明理由；
(2)拓展延伸：在矩形中，过点作的垂线，分别交线段，于点，．解决下列问题：
①如图2，当点恰好落在边上时，猜想线段，与的数量关系，并说明理由；
②如图3，已知，，点与点重合，连接交线段于点．当以，，为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出，两点之间的距离．
3．综合与实践：折纸，
素材：一张正方形纸片
步骤：（1）如图，将正方形纸片对折，沿折痕剪开，取其中一张矩形，将矩形对折，使边与重合，折痕交于点，展开；
（2）分别将、沿过点的直线折叠，点，重合于点处，折痕分别交、于点、．
猜想与证明：
(1)直接写出与的位置关系和数量关系；
(2)证明（1）中你发现的结论．
4．综合与实践
如图，有一种类型的装饰图案是在由边长为1的小正方形组成的网格中裁剪而成的，数学兴趣小组成员在计算这些图案的面积时，积极采用数学课上同学们总结出来的方法．小明采用了如图甲所示的“割法”（图1割成5个小正方形，图2割成8个小正方形，图3割成13个小正方形……），小亮采用了如图乙所示的“补法”，但都分别求出图1的面积，图2的面积，图3的面积，，图4的面积……
(1)从小明和小亮的方法中任选一种，请写出图6的面积________．
(2)若用小明的方法求图n的面积，则________；若用小亮的方法求图n的面积，则________．
(3)在研究这些装饰图案的面积时，小明还发现前面三个图案的面积符合于是猜想其他连续的三个图案面积也满足上述关系，请你判断小明的猜想是否正确，并说明理由．
5．综合与实践
从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，某综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究．
【特例研究】
(1)如图1，在正方形中，相交于点O．可以看成是绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，则k的值为____________；
【类比探究】
(2)如图2，在正方形中，相交于点O．将绕点A逆时针旋转，并放大得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上，求的值；
(3)如图3，在菱形中，，O是的垂直平分线与的交点，将绕点A逆时针旋转，并放缩得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上．请直接写出=____________．
6．在一次综合与实践课上，某数学兴趣小组从一张正方形纸片出发，通过不同的折叠方式，感受数学的奥秘．
【实践操作1】折法：如图1．
步骤1：将正方形对折，得到折痕，连接；
步骤2：将正方形沿折叠，使点翻折至点处，交于点．
【实践操作2】折法：如图2．
步骤1：将正方形对折，得到折痕，连接．
步骤2：将正方形折叠，使点落在上，得点，得到折痕．
【问题解决】
(1)在实践操作1中，猜想的形状，并说明理由．
(2)在实践操作2中，若，求的长．
7．【综合与实践】
小明用六根长均为的木棍首尾顺次相接拼成凸六边形（如图）．直线与直线交于点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，得．
(1)当六边形的每个内角都相等时，的形状为______．
(2)如图，六边形的对边分别平行时，称为“菱六边形”．
若为，为，求的长度．
当为等腰直角三角形时，是否存在“菱六边形”？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出此“菱六边形”的面积．
8．综合与实践
把特殊图形进行组合可以衍生出一些有趣的结论，综合与实践小组以等腰直角三角形为基础，配上特殊图形展开探究．
已知是等腰直角三角形，点A是直角顶点，在同侧增加特殊图形．
特例研究
(1)如图1，当四边形是正方形时，点A在对角线上，，则相似比为________；
(2)如图2，当四边形是矩形时，经过的中点F，与是否相似？如果相似，求出它们的相似比；
类比探究
(3)如图3，当四边形是菱形时，以为直角边，点E为直角顶点，在边右侧再作一个等腰直角三角形，连接，，求，所在直线的夹角（锐角）的度数．
9．综合与实践
把特殊图形进行组合可以衍生出一些有趣的结论，综合与实践小组以等腰直角三角形为基础，配上特殊图形展开探究．
已知是等腰直角三角形，点A是直角顶点，在同侧增加特殊图形．
特例研究
(1)如图1，当四边形是正方形时，点A在对角线上，，则相似比为________．
类比探究
(2)如图2，当四边形是菱形时，以为直角边，点E为直角顶点，在边右侧再作一个等腰直角三角形，连接，，求，所在直线的夹角（锐角）的度数．
(3)若（2）中，若A，D，E三点在同一条直线上，探究与之间的数量关系．
10．综合与实践．
问题情境：
在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展探究活动．如图，在中，，，，为斜边的中点，将与全等的绕点旋转得到．
操作发现：
（1）如图①，顺时针旋转一定角度，记和分别与交于点，，当时，猜想和的数量关系为______，并证明你的猜想；
（2）如图②，继续旋转一定角度，当线段经过点时，连接，试判断四边形的形状，并证明你的结论；
实践探究：
（3）在整个旋转过程中，当在下方，且的直角边恰好与垂直时，设线段与直线交于点，直线交射线于点，连接，请直接写出的长．
11．综合与实践．
问题情境：
在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展探究活动．如图，在中，为斜边的中点，与所在的直线重合，将绕点旋转得到．
操作发现：
(1)如图1，顺时针旋转一定角度，记和分别与交于点，当时，猜想和的数量关系为__________，并证明你的猜想；
(2)如图2，继续旋转一定角度，当线段经过点时，连接，若时，试判断四边形的形状，并证明你的结论；
(3)实践探究：
在整个旋转过程中，当边在下方，时，设线段与直线交于点，直线交射线于点，连接．
①如图3，若的直角边恰好与垂直，请求出的长；
②若的直角边恰好与垂直，请直接写出的长．
12．综合与实践
【问题情境】
“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中，，将和按图2所示方式摆放，其中点与点重合（标记为点）．当时，延长交于点，试判断四边形的形状，并说明理由．
【数学思考】
（1）请你解答以上老师提出的问题；
【深入探究】
（2）老师将图2中的绕点逆时针方向旋转，使点落在内部，让同学们提出新的问题并请你解答此问题．
“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点A作交的延长线于点，与交于点．证明：．
参考答案
1．(1)
(2)①；②的值为或4
(3)的值为或
【分析】（1）依据题意，结合表格数据，利用待定系数法计算可以得解；
（2）①依据题意，由初始高度，匀速下降速度，则无人机下降过程中离地面的高度为：，从而可以得解；
②依据题意，得，则从而可以得解；
（3）依据题意，由甲速度，小球乙在时发射，乙运动时间：，分别求得甲、乙的解析式，结合高度差，从而列出方程计算可以得解．
【详解】（1）解：由题意，将，和，分别代入关系式，
得
∴
∴与的关系式为；
（2）①由题意，∵初始高度，匀速下降速度，
∴无人机下降过程中离地面的高度为：
②由题意，得，
解得：
答：当小球甲与无人机在空中离地面的高度恰好相等时，的值为或4
（3）由题意，∵甲速度，小球乙在时发射，乙运动时间：，
，
或
2．(1)．理由见解析
(2)①．理由见解析；②，两点之间的距离为或
【分析】（1）连接，根据折叠性质得出，，可证明，得出，根据线段的和差关系即可得出；
（2）①连接，根据折叠的性质及矩形的性质得出，进而证明四边形是矩形，，即可得出；
②连接，分点在延长线上和点在上两种情况，利用勾股定理及三角函数的定义分别求解即可．
【详解】（1）解：，理由如下：
如图，连接，
∵四边形是矩形，
∴，
∵沿过点的动直线折叠，得到同一平面内的，
∴，，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：①，理由如下：
如图，连接，
∵沿过点的动直线折叠，得到同一平面内的，点恰好落在边上，
∴，，，，
∴，即，
∵，
∴四边形是矩形，，
∵，
∴．
②如图，连接，当点在延长线上，时，
∵，，
∴，
∵点与点重合，，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴．
如图，连接，当点在上，时，
∵，
∴，
∴点在上，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴．
综上所述：，两点之间的距离为或．
3．(1)，
(2)见解析
【分析】（1）根据折叠的性质可得结论：，；
（2）如图，过点作于点．先证明，再证明，可得结论．
【详解】（1）解： ，；
（2）证明：如图，由折叠可知，，
，
，
，
过点作于点，
则四边形是长方形，
，
，
，
四边形是正方形对折得到的长方形，得，
，
，
，
．
4．(1)40
(2)；
(3)小明的猜想错误，理由见解析
【分析】（1）分别观察两种方法的变化规律，计算即可得出结果；
（2）根据（1）中列出的式子，得出规律即可；
（3）设第、、个图案的面积符合上述关系，则，求出，即可得出结论．
【详解】（1）解：小明的方法：
图1的面积，
图2的面积，
图3的面积，
图4的面积，
…，
故图6的面积；
小亮的方法：
图1补成正方形，减去个小正方形，即，
图2补成正方形，减去个小正方形，即，
图3补成正方形，减去个小正方形，即，
图4补成正方形，减去个小正方形，即，
…，
故图6的面积；
（2）解：由（1）可得：
若用小明的方法求图n的面积，则；若用小亮的方法求图n的面积，则；
（3）解：小明的猜想错误，理由如下：
设第、、个图案的面积符合上述关系，则，
整理可得：，
解得，
∴满足上述关系的只有第、、个图案，
故小明的猜想是错误的．
5．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据正方形的性质以及锐角三角函数求解；
（2）根据正方形的性质，证明，利用相似三角形的性质即可求解；
（3）过点作于点，根据菱形的性质以及线段垂直平分线的性质得出相关角的度数，利用锐角三角函数表示出线段之间的关系，证明，即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形是正方形，
∴，且，，
∴；
（2）解：∵四边形是正方形，且根据旋转的性质可得，
∴与为等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，过点作于点，
∴，
∵O是的垂直平分线与的交点，
∴，，
∵在菱形中，，
∴，，
∴，
∴；
根据旋转的性质可得，，
∴，
∴，
∴．
6．(1)是等腰三角形，理由见解析
(2)
【分析】（1）由得，由折叠得，可得，由等角对等边可得结论；
（2）由折叠得，过点作交于点，交于点，得，得出，设，则，由勾股定理得出，证明，四边形是矩形，得，求出的值即可解决问题．
【详解】（1）解：猜想：是等腰三角形，理由如下：
∵正方形对折得到折痕，
∴，且垂直平分,，
∴，
由折叠得：，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：∵四边形是正方形，，
∴，，，
由折叠得垂直平分，
∴为的中点，
∴，
如图，过点作交于点，交于点，
∴，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵，，
∴，
∴,
由折叠得,
∴，
∴，
，
∴四边形是平行四边形，
又,
∴四边形是矩形，
∴，
解得，
∴，
∴．
7．(1)等边三角形；
(2)的长度为；存在，“菱六边形”的面积为．
【分析】（）根据六边形的每个内角都相等，则每个内角都为，故有每个外角都为，从而求得，故是等边三角形；
（）由六边形是“菱六边形”，则，，所以，，则有，，然后代入即可求解；
分当时，当时，当时三种情况，利用等腰三角形的性质和勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：如图，
由六边形的内角和为，
∵六边形的每个内角都相等，
∴每个内角都为，
∴每个外角都为，即，
∴，
∴是等边三角形；
（2）解：如图，
∵六边形是“菱六边形”，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴的长度为；
存在，“菱六边形”的面积为．
当时，如图，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∵六边形是“菱六边形”，
∴，，，
∴，
∴，，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴“菱六边形”的面积为
；
如图，当时，同理可得：“菱六边形”的面积为；
，
如图，当时，同理可得：“菱六边形”的面积为．
综上可知，“菱六边形”的面积为．
8．(1)
(2)相似，相似比为
(3)
【分析】（1）由正方形的性质可得，，结合勾股定理得出，最后再由相似三角形的性质即可得出结果；
（2）由等腰直角三角形的性质可得，，由矩形的性质可得，求出，得到为等腰直角三角形，设，则，结合题意求出，再证明，由相似三角形的性质计算即可得出结果；
（3）延长交于点，交的延长线于点，证明，得出，再结合三角形内角和定理计算即可得出结果．
【详解】（1）解：∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∵点A在对角线上，，
∴，即相似比为；
（2）解：∵为等腰直角三角形，
∴，，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
设，则，
∵经过的中点F，
∴，
∵，，
∴，
∴，即相似比为；
（3）解：如图，延长交于点，交的延长线于点，
∵、为等腰直角三角形，
∴，，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
即，所在直线的夹角（锐角）的度数为．
9．(1)
(2)，所在直线的夹角（锐角）的度数为
(3)或
【分析】（1）由正方形的性质可得，，结合勾股定理得出，最后再由相似三角形的性质即可得出结果；
（2）延长交于点，交的延长线于点，证明，得出，再结合三角形内角和定理计算即可得出结果；
（3）由（2）可得，由相似三角形的性质可得，分两种情况：当在直线右侧时；在直线左侧时，分别计算即可得出结果．
【详解】（1）解：∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∵点A在对角线上，，
∴，即相似比为；
（2）解：如图，延长交于点，交的延长线于点，
∵、为等腰直角三角形，
∴，，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
即，所在直线的夹角（锐角）的度数为；
（3）解：由（2）可得：，
∴，
∴，
∵A，D，E三点在同一条直线上，
∴分两种情况：如图，当在直线右侧时，
设，则，，
作于，于，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图，当在直线左侧时，作于，
则，
设，则，
∴，
作于，
同理可得：四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述，或．
10．（1），证明见解析；
（2）四边形是平行四边形，证明见解析；
（3）或
【分析】本题考查了旋转的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定、平行四边形的判定、相似三角形的判定与性质以及勾股定理的综合应用，关键是利用旋转前后图形全等的性质，结合直角三角形的相关结论，通过角的等量代换、平行线的判定与性质、相似三角形的对应边成比例求解线段长度．
（1）利用直角三角形两锐角互余的性质，结合旋转的全等性质，通过同角的余角相等得到角的等量关系，再利用等角对等边证明线段相等．
（2）先利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得到等腰三角形，推出角相等，再结合旋转与全等的性质，证明一组对边平行且相等，从而判定平行四边形．
（3）分两种情况讨论，分别是和，先根据勾股定理求出斜边的长度，结合中点性质得到相关线段长，再利用平行线得到相似三角形，求出对应线段长度，最后用勾股定理计算的长．
【详解】（1）解：猜想，证明如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
由旋转的性质可得，，
∵，
∴，
∴；
（2）解：四边形是平行四边形，证明如下：
由题意，得，
在中，是边的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
由旋转的性质，得，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（3）解：在中，，，
∴，
∵为的中点，
∴，
由全等及旋转的性质得，，分两种情况讨论：
①当时，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，解得，
∴，
由，得，即，解得，
在中，由勾股定理得；
②当时，设交于点，此时点与点重合，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵为的中点，，
∴是的中位线，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，解得，
在中，由勾股定理得；
综上所述，的长为或．
11．(1)，证明见详解
(2)四边形是菱形，理由见详解
(3)①；②
【分析】（1）根据旋转的性质可知，再根据“等角对等边”得出答案；
（2）结合已知可得，再根据旋转的性质及全等三角形的对应角相等可得，可得结论；
（3）①当时，根据勾股定理，得，再根据中点定义得，结合，得，即可求出，进而求出，然后证明，可知，可求，最后根据得出答案；
②当时，设交于点，可得，再说明，结合中点的定义求出，然后证明，可得，即可求出，最后根据勾股定理得出答案．
【详解】（1）解：；
证明：∵，
，
，
，，
根据旋转的性质，得，
∴，
，
，
．
（2）解：四边形是菱形．
证明：在中，∵是边的中点，，
，
，
∴是等边三角形，
∴，
，
，，
根据旋转的性质，得，，
，，
，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形；
（3）解：①当时，
，
根据勾股定理，得．
∵是的中点，
，
在中，，
，
，
由旋转的性质得，
，
，
，
，
，
，
．
②当时，如图，设交于点I，点G与点C重合，
，
，
，
，
∵为的中点，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
．
12．（1）四边形为正方形．证明见解析；（2）证明见解析
【分析】（1）先根据“三个角是直角的四边形是矩形”证明四边形为矩形，再根据得，即可得出答案；
（2）先根据“等角对等边”得，进而确定，再根据三角形面积相等得，然后由旋转性质得出答案．
【详解】（1）结论：四边形为正方形．
理由如下：
，
，
，
，
，
，
四边形为矩形．
，
．
矩形为正方形；
（2）证明：，
，
，
．
，即，
，
，
．
由旋转性质得，
．
【点睛】本题主要考查了矩形和正方形的判定，全等三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，旋转的性质，平行线的判定与性质等知识．熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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