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冀教版数学七年级下学期期末仿真模拟试卷一
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（　　)
A． B．
C． D．
2．如图， ∠ACD是△ABC的外角， ∠A=75°， ∠ACD=135°，则∠B的度数为（　　)
A．60° B．50° C．45° D．40°
3．如果，那么下列不等式正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．下列图形中，由，能判断直线的是（　　）
A． B．
C． D．
5．明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手.问哪吒、夜叉各有多少 设哪吒有x个，夜叉有y个，则根据条件所列方程组为 (　　)
A． B．
C． D．
6．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．下列各式：①；②；③；④； ⑤，能用公式法分解因式的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．如图，两个形状、大小完全相同的三角形ABC和三角形DEF重叠在一起，固定三角形ABC不动，将三角形DEF向右平移，连接AE，DC，在点E和点C重合前这个过程中，图中四边形AECD面积的变化情况是（　　）
A．始终呈增大趋势 B．始终呈减小趋势
C．先减小，后增大 D．始终保持不变
9．如图，CD是△ABC的角平分线，∠A＝30°，∠B＝66°，则∠BDC的度数是（　　）
A．96° B．84° C．76° D．72°
10．关于的不等式组的整数解仅有4个，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
11．某班数学兴趣小组对不等式组讨论得到以下结论：①若，则不等式组的解集为；②若，则不等式组无解；③若不等式组无解，则a的取值范围为；④若不等式组只有两个整数解，则a的值可以为．其中，正确结论的序号是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
12．如图，在中，AD是BC边上的高，且平分．交BC于点，过点作，分别交AB，AD于点F、G．则下列结论①∠BAC=90°；②∠AEF=∠BEF；③∠BAE=∠BEA；④∠B=2∠AEF，其中正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分。
13．分解因式：　 　
14．如图，在△ABC中，若点D，E分别是BC，AD的中点，且△ABC的面积为12，则阴影部分的面积是　 　．
15．一次知识竞赛中共有10道题，答对一题得5分，不答得0分，答错扣2分，小李有1道题没答，竞赛成绩不少于38分，则小李至少答对了　 　道题．
16．如图，　 　．
三、解答题：本大题共8小题，共72分。
17． 因式分解：
（1）；
（2）.
18．解下列一元一次不等式组.
（1）
（2）
19．如图，在中，点分别在边上，．若，，求的度数．
20．如图，在中，于点与交于点．
（1）求的度数；
（2）若平分平分，试说明．
21．小王周末参与2026年湖南足球超级联赛（简称“湘超”）的赛事文创推广社会实践活动，负责筹备湘超主题周边产品，已知4个纪念徽章的成本与5个吉祥摆件的成本相同；采购3个纪念徽章和10个吉祥摆件成本总共需要220元．
（1）求每个纪念徽章和每个吉祥摆件的成本；
（2）若小王计划用不超过1800元购进这两种产品共100个，购进的吉祥摆件数量不多于纪念徽章数量的2倍，那么小王有多少种采购方案？请帮他算一算．
22．若am=an（a＞0且a≠1，m，n是正有理数），则m=n.利用该结论解决下面的问题：
（1）如果4x=24，求x的值；
（2）如果3x+1+3x+2=108，求x的值.
23．如图，在三角形ABC中，点D，E分别是AC，BC上的点，且DE∥AB，点F，G分别是AD，AB上的点，连结FG，∠1+∠2=180°。
（1）试说明DB∥FG的理由。
（2）若GF⊥AC，∠2=150°，求∠CDE的度数。
24．（1）【学科融合】
光在反射时，光束的路径可用图①来表示，叫做入射光线，叫做反射光线，从入射点O引出的一条垂直于镜面的射线叫做法线．与的夹角叫做入射角，与的夹角叫做反射角．根据科学实验可得．则图①中与的数量关系是______．
（2）【数学思考】
生活中我们可以运用“激光”和两块相交的平面镜进行测距．如图②，一束“激光”射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被平面镜反射后得到反射光线．
猜想：当满足什么条件时，任何射到平面镜上的光线经过平面镜和的两次反射后，入射光线与反射光线总是平行的．请你根据所学过的知识及新知探究的结论说明理由．
（3）【知识应用】
人们发明了一种曲面的反射光罩，使汽车灯泡在点O处发出的光线反射后都能平行射出，在如图③所示的截面内，已知入射光线的反射光线为，．若一入射光线（点D是入射光线与反光罩的交点）经反光罩反射后沿射出，且，请直接写出的度数．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：A：，错误，不符合题意；
B：，错误，不符合题意；
C：，正确，符合题意；
D：
故答案为：C
【分析】根据提公因式，完全平方公式，平方差公式进行因式分，逐项进行判断即可求出答案.
2．【答案】A
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】
解：∵∠A=75 ，∠ACD=135 ；
∴∠B=135 75 =60 ；
∴∠B =60 。
故答案为：A
【分析】本题的核心解题思路是：识别∠ACD为三角形的外角，直接应用“三角形外角等于不相邻两内角之和”的定理，通过简单的减法运算即可求出未知内角∠B 的度数，无需复杂辅助线或多步推导。
3．【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、由可得，原不等式正确，符合题意；
B、由可得，原不等式不正确，不符合题意；
C、由可得，原不等式不正确，不符合题意；
D、由不一定得到，例如，但是，原不等式不正确，不符合题意；
故选：A
【分析】根据不等式的性质逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A：，则BC∥AD，不能判断AB∥CD，不符合题意；
B：不能判断AB∥CD，不符合题意；
C：能判断AB∥CD，符合题意；
D：不能判断AB∥CD，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据直线平行判定定理逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设哪吒有个，夜叉有个，
然后根据题意可得：．
故答案为：A .
【分析】设哪吒有个，夜叉有个，根据“共有36个头”和“108只手”列出二元一次方程组即可解答．
6．【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、∵，∴A不正确，不符合题意；
B、∵，∴B不正确，不符合题意；
C、∵，∴C不正确，不符合题意；
D、∵，∴D正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用合并同类项、完全平方公式、积的乘方、幂的乘方以及同底数幂的除法的计算方法逐项分析判断即可.
7．【答案】B
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解： 因此①不能用公式法分解因式；
因此②能用公式法分解因式；
因此③能用公式法分解因式；
不符合完全平方公式的结果特征，因此④不能用公式法分解因式；
因此⑤能用公式法分解因式；
综上所述，能用公式法分解因式的有②③⑤，故答案为：B.
【分析】根据每个多项式的特征，结合平方差公式、完全平方公式的结构特征，综合进行判断即可.
8．【答案】D
【知识点】三角形的面积；平移的性质
【解析】【解答】解：如图，过点A作于点H，
由平移的性质可得：，，
，
和是形状、大小完全相同的三角形，
，
，
在整个平移过程中，四边形面积大小情况是一直不变．
故答案为：D.
【分析】过点A作于点H，根据平移可得，，即可得到，利用，可得，从而得到结论解答即可．
9．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵∠A＝30°，∠B＝66°，
∴∠ACB＝180°﹣30°﹣66°＝84°，
∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠ACD＝∠ACB＝×84°＝42°．
∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝30°+42°＝72°．
故选：D．
【分析】根据考查三角形内角和、角平分线、外角性质的综合应用. 解题关键在于先利用内角和求出∠ACB，再结合角平分线得到∠ACD；最后用外角性质快速计算∠BDC．
10．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：，由②得：，
解集为，
由不等式组的整数解只有4个，得到整数解为2，1，0，，
∴，
∴；
故选：A．
【分析】本题聚焦一元一次不等式组的整数解问题，综合考查不等式组的求解与参数范围的确定. 解题时需先解出不等式组的解集，再结合整数解的具体数量，精准锁定解集的边界范围，进而建立关于参数m的不等式，最终求出m的取值区间.
11．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】①当时，不等式组的解集为“且”，属于“大小小大中间找”的情况，解集为，该说法正确；
②当时，不等式组为“且”，属于“大大小小无处找”的情况，不等式组无解，该说法正确；
③要使不等式组无解，需满足“且”无公共部分，此时，但原说法表述有误，故该说法错误；
④若不等式组只有两个整数解，则这两个整数解为和，此时的取值范围为，在此范围内，该说法正确；
综上，①②④正确，
故答案为：C。
【分析】本题解题要点：
①将代入不等式组，根据“大小小大中间找”的规律确定解集；
②将代入不等式组，根据“大大小小无处找”的规律判断是否无解；
③根据不等式组无解的条件，分析的取值范围，注意临界值的取舍；
④先确定整数解，再根据整数解的个数反推的取值范围，验证数值是否符合。
12．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
∵
∴
∴则①正确；
∵
∴则③正确；
∵
∴
∵
∴
∵
∴则④正确；
无法判定，则②错误，
综上所述，正确的说法有①③④，共三个，
故答案为：B.
【分析】根据题意证明即可判断①；无法判定，即可判断②；利用三角形外角的性质和角的运算即可判断③；证明即可判断④.
13．【答案】(2-y) (2+y)
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：，
故答案为：(2-y) (2+y).
【分析】根据平方差公式分解因式即可.
14．【答案】3
【知识点】三角形的面积；三角形的中线；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：，
即阴影部分的面积是3.
故答案为：3.
【分析】因为点D是△ABC上BC边的中点，因此根据三角形中线求出△ADC的面积为，而点E是△ADC上AD边的中点，因此根据三角形中线求出△AEC的面积为.
15．【答案】7
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设小华答对了x道，则答错9-x道
由题意可得：5x-2(9-x)>30
解得
∴小李至少答对了7道题
故答案为：7
【分析】设小华答对了x道，则答错9-x道，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
16．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解； ∵，
∴．
故答案为：．
【分析】先利用三角形外角的性质可得，再利用角的运算和三角形的内角和求出答案即可.
17．【答案】（1）解：
=4a(2ab-1)
（2）解：
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）直接提取公因式4a分解因式即可；
（2）注意（a+b)整体结构，直接利用完全平方公式分解因式即可.
18．【答案】（1）解：解不等式①可得：x>2
解不等式②可得：x>3
∴不等式组的解集为x>3
（2）解：解不等式①可得：x≥8
解不等式②可得：
∴不等式组无解
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可.
（2）分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可.
19．【答案】解：，
，
，
，
，
的度数为．
【知识点】三角形外角的概念及性质；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】首先根据已知条件利用内错角相等，两直线平行判定DEBC，利用三角形内角和定理求出的度数，最后根据“两直线平行，同旁内角互补”求出角度即可.
20．【答案】（1）解：如图，
，，
．
，
，
．
（2）证明：如图，
平分，
，
．
平分，
．
，
．
．
【知识点】三角形内角和定理；同位角相等，两直线平行；三角形的角平分线
【解析】【分析】（1）利用三角形的内角和定理得，再结合已知求出，在根据垂直的定义，三角形的内角和定理可得.
（2）根据平分，平分，可得．，可得，从而可得结论.
21．【答案】（1）解：设每个纪念徽章成本为元，每个吉祥摆件成本为元，根据题意可得
解得
答：每个纪念徽章成本为20元，每个吉祥摆件成本为16元．
（2）解：设购进纪念徽章个，则购进吉祥摆件个，为正整数，
根据题意可得
解得，
因为为正整数，所以的取值为
的可取值个数为
答：小王共有种采购方案．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】(1)根据题干给出的两个等量关系，设未知数列二元一次方程组求解得到两种产品的成本；
(2)根据总费用不超过1800元，吉祥摆件数量不超过纪念徽章数量2倍两个限制条件，列一元一次不等式组，求出符合条件的正整数解的个数，即可得到采购方案的数量.
22．【答案】（1）解：∵4x=24
∴ (22)x= 2
∴22x=24
∴2x=4
∴x=2
（2）解：∵3x+1+3x+2=108，
∴3x+1×(1+3)=108，
∴3x+1=27，
∴3x+1=33，
∴x+1=3
∴x=2.
【知识点】因式分解﹣提公因式法；同底数幂乘法的逆用；幂的乘方的逆运算
【解析】【分析】(1)逆用幂的乘方公式将等式两边化为相近的形式，对比指数，建立方程即可求解；
(2)逆用同底数幂的乘法公式，结合因式分解将等式两边化为相近的形式，对比指数，建立方程即可求解。
23．【答案】（1）解：∵DE∥AB
∴∠1=∠DBG
又∵∠1+∠2=180°
∴∠DBG+∠2=180°
∴DB∥FG
（2）解：∵∠2=150°，∠1+∠2=180°
∵FG⊥AC
∴∠GFC=90°
又∵DB∥FG
∴∠CDB=∠CFG=90°
又∵∠CDB=∠1+∠CDE
∴∠CDE=∠CDB-∠1=90°-30°=60°
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）先根据两直线平行，内错角相等得到∠1=∠DBG，然后根据等量代换得到，再根据平行线的判定得到结论即可；
（2）求得，再根据垂直定义和两直线平行同位角相等得到，然后根据角的和差解答即可．
24．【答案】（1）相等；
（2）证明：如图所示，过点B作DB平行EF，则，
，
，
由（1）得，
，，
，
，
过点作，则，
∵，
，
，
．
即当∠B为直角时，即可满足要求.
（3）或.
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；平行线的判定与性质；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
∴∠1+∠α=∠2+∠β
又∵，
∴
故答案为：相等.
（3）①当点D在点C下方时，如图所示，
由题意得，
∵∠OAB=75°
∴∠OGE=75°
又∵
∴∠AOD=∠OGE-∠ODE=75°-22°=53°
②当点D在点C上方时，如图所示，
由题意得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
综上，的度数为或．
故答案为：或．
【分析】（1）根据和，即可证明；
（2）通过构图，由平行线的性质得出，，，，在由（1）中结论，推出，，等角代换后推出，继而证明．
（3）因为D点位置不确定，需要分情况讨论：①当点D在点C下方时，利用，得到∠OGE=75°，再利用三角形外角性质，即可求出的度数 ；②当点D在点C上方时，将∠AOD拆分为两部分即，再利用，将∠DOC和∠AOC进行转化，即可求出的度数.
1 / 1冀教版数学七年级下学期期末仿真模拟试卷一
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：A：，错误，不符合题意；
B：，错误，不符合题意；
C：，正确，符合题意；
D：
故答案为：C
【分析】根据提公因式，完全平方公式，平方差公式进行因式分，逐项进行判断即可求出答案.
2．如图， ∠ACD是△ABC的外角， ∠A=75°， ∠ACD=135°，则∠B的度数为（　　)
A．60° B．50° C．45° D．40°
【答案】A
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】
解：∵∠A=75 ，∠ACD=135 ；
∴∠B=135 75 =60 ；
∴∠B =60 。
故答案为：A
【分析】本题的核心解题思路是：识别∠ACD为三角形的外角，直接应用“三角形外角等于不相邻两内角之和”的定理，通过简单的减法运算即可求出未知内角∠B 的度数，无需复杂辅助线或多步推导。
3．如果，那么下列不等式正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、由可得，原不等式正确，符合题意；
B、由可得，原不等式不正确，不符合题意；
C、由可得，原不等式不正确，不符合题意；
D、由不一定得到，例如，但是，原不等式不正确，不符合题意；
故选：A
【分析】根据不等式的性质逐项进行判断即可求出答案.
4．下列图形中，由，能判断直线的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A：，则BC∥AD，不能判断AB∥CD，不符合题意；
B：不能判断AB∥CD，不符合题意；
C：能判断AB∥CD，符合题意；
D：不能判断AB∥CD，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据直线平行判定定理逐项进行判断即可求出答案.
5．明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手.问哪吒、夜叉各有多少 设哪吒有x个，夜叉有y个，则根据条件所列方程组为 (　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设哪吒有个，夜叉有个，
然后根据题意可得：．
故答案为：A .
【分析】设哪吒有个，夜叉有个，根据“共有36个头”和“108只手”列出二元一次方程组即可解答．
6．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、∵，∴A不正确，不符合题意；
B、∵，∴B不正确，不符合题意；
C、∵，∴C不正确，不符合题意；
D、∵，∴D正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用合并同类项、完全平方公式、积的乘方、幂的乘方以及同底数幂的除法的计算方法逐项分析判断即可.
7．下列各式：①；②；③；④； ⑤，能用公式法分解因式的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解： 因此①不能用公式法分解因式；
因此②能用公式法分解因式；
因此③能用公式法分解因式；
不符合完全平方公式的结果特征，因此④不能用公式法分解因式；
因此⑤能用公式法分解因式；
综上所述，能用公式法分解因式的有②③⑤，故答案为：B.
【分析】根据每个多项式的特征，结合平方差公式、完全平方公式的结构特征，综合进行判断即可.
8．如图，两个形状、大小完全相同的三角形ABC和三角形DEF重叠在一起，固定三角形ABC不动，将三角形DEF向右平移，连接AE，DC，在点E和点C重合前这个过程中，图中四边形AECD面积的变化情况是（　　）
A．始终呈增大趋势 B．始终呈减小趋势
C．先减小，后增大 D．始终保持不变
【答案】D
【知识点】三角形的面积；平移的性质
【解析】【解答】解：如图，过点A作于点H，
由平移的性质可得：，，
，
和是形状、大小完全相同的三角形，
，
，
在整个平移过程中，四边形面积大小情况是一直不变．
故答案为：D.
【分析】过点A作于点H，根据平移可得，，即可得到，利用，可得，从而得到结论解答即可．
9．如图，CD是△ABC的角平分线，∠A＝30°，∠B＝66°，则∠BDC的度数是（　　）
A．96° B．84° C．76° D．72°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵∠A＝30°，∠B＝66°，
∴∠ACB＝180°﹣30°﹣66°＝84°，
∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠ACD＝∠ACB＝×84°＝42°．
∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝30°+42°＝72°．
故选：D．
【分析】根据考查三角形内角和、角平分线、外角性质的综合应用. 解题关键在于先利用内角和求出∠ACB，再结合角平分线得到∠ACD；最后用外角性质快速计算∠BDC．
10．关于的不等式组的整数解仅有4个，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：，由②得：，
解集为，
由不等式组的整数解只有4个，得到整数解为2，1，0，，
∴，
∴；
故选：A．
【分析】本题聚焦一元一次不等式组的整数解问题，综合考查不等式组的求解与参数范围的确定. 解题时需先解出不等式组的解集，再结合整数解的具体数量，精准锁定解集的边界范围，进而建立关于参数m的不等式，最终求出m的取值区间.
11．某班数学兴趣小组对不等式组讨论得到以下结论：①若，则不等式组的解集为；②若，则不等式组无解；③若不等式组无解，则a的取值范围为；④若不等式组只有两个整数解，则a的值可以为．其中，正确结论的序号是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】①当时，不等式组的解集为“且”，属于“大小小大中间找”的情况，解集为，该说法正确；
②当时，不等式组为“且”，属于“大大小小无处找”的情况，不等式组无解，该说法正确；
③要使不等式组无解，需满足“且”无公共部分，此时，但原说法表述有误，故该说法错误；
④若不等式组只有两个整数解，则这两个整数解为和，此时的取值范围为，在此范围内，该说法正确；
综上，①②④正确，
故答案为：C。
【分析】本题解题要点：
①将代入不等式组，根据“大小小大中间找”的规律确定解集；
②将代入不等式组，根据“大大小小无处找”的规律判断是否无解；
③根据不等式组无解的条件，分析的取值范围，注意临界值的取舍；
④先确定整数解，再根据整数解的个数反推的取值范围，验证数值是否符合。
12．如图，在中，AD是BC边上的高，且平分．交BC于点，过点作，分别交AB，AD于点F、G．则下列结论①∠BAC=90°；②∠AEF=∠BEF；③∠BAE=∠BEA；④∠B=2∠AEF，其中正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
∵
∴
∴则①正确；
∵
∴则③正确；
∵
∴
∵
∴
∵
∴则④正确；
无法判定，则②错误，
综上所述，正确的说法有①③④，共三个，
故答案为：B.
【分析】根据题意证明即可判断①；无法判定，即可判断②；利用三角形外角的性质和角的运算即可判断③；证明即可判断④.
二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分。
13．分解因式：　 　
【答案】(2-y) (2+y)
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：，
故答案为：(2-y) (2+y).
【分析】根据平方差公式分解因式即可.
14．如图，在△ABC中，若点D，E分别是BC，AD的中点，且△ABC的面积为12，则阴影部分的面积是　 　．
【答案】3
【知识点】三角形的面积；三角形的中线；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：，
即阴影部分的面积是3.
故答案为：3.
【分析】因为点D是△ABC上BC边的中点，因此根据三角形中线求出△ADC的面积为，而点E是△ADC上AD边的中点，因此根据三角形中线求出△AEC的面积为.
15．一次知识竞赛中共有10道题，答对一题得5分，不答得0分，答错扣2分，小李有1道题没答，竞赛成绩不少于38分，则小李至少答对了　 　道题．
【答案】7
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设小华答对了x道，则答错9-x道
由题意可得：5x-2(9-x)>30
解得
∴小李至少答对了7道题
故答案为：7
【分析】设小华答对了x道，则答错9-x道，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
16．如图，　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解； ∵，
∴．
故答案为：．
【分析】先利用三角形外角的性质可得，再利用角的运算和三角形的内角和求出答案即可.
三、解答题：本大题共8小题，共72分。
17． 因式分解：
（1）；
（2）.
【答案】（1）解：
=4a(2ab-1)
（2）解：
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）直接提取公因式4a分解因式即可；
（2）注意（a+b)整体结构，直接利用完全平方公式分解因式即可.
18．解下列一元一次不等式组.
（1）
（2）
【答案】（1）解：解不等式①可得：x>2
解不等式②可得：x>3
∴不等式组的解集为x>3
（2）解：解不等式①可得：x≥8
解不等式②可得：
∴不等式组无解
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可.
（2）分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可.
19．如图，在中，点分别在边上，．若，，求的度数．
【答案】解：，
，
，
，
，
的度数为．
【知识点】三角形外角的概念及性质；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】首先根据已知条件利用内错角相等，两直线平行判定DEBC，利用三角形内角和定理求出的度数，最后根据“两直线平行，同旁内角互补”求出角度即可.
20．如图，在中，于点与交于点．
（1）求的度数；
（2）若平分平分，试说明．
【答案】（1）解：如图，
，，
．
，
，
．
（2）证明：如图，
平分，
，
．
平分，
．
，
．
．
【知识点】三角形内角和定理；同位角相等，两直线平行；三角形的角平分线
【解析】【分析】（1）利用三角形的内角和定理得，再结合已知求出，在根据垂直的定义，三角形的内角和定理可得.
（2）根据平分，平分，可得．，可得，从而可得结论.
21．小王周末参与2026年湖南足球超级联赛（简称“湘超”）的赛事文创推广社会实践活动，负责筹备湘超主题周边产品，已知4个纪念徽章的成本与5个吉祥摆件的成本相同；采购3个纪念徽章和10个吉祥摆件成本总共需要220元．
（1）求每个纪念徽章和每个吉祥摆件的成本；
（2）若小王计划用不超过1800元购进这两种产品共100个，购进的吉祥摆件数量不多于纪念徽章数量的2倍，那么小王有多少种采购方案？请帮他算一算．
【答案】（1）解：设每个纪念徽章成本为元，每个吉祥摆件成本为元，根据题意可得
解得
答：每个纪念徽章成本为20元，每个吉祥摆件成本为16元．
（2）解：设购进纪念徽章个，则购进吉祥摆件个，为正整数，
根据题意可得
解得，
因为为正整数，所以的取值为
的可取值个数为
答：小王共有种采购方案．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】(1)根据题干给出的两个等量关系，设未知数列二元一次方程组求解得到两种产品的成本；
(2)根据总费用不超过1800元，吉祥摆件数量不超过纪念徽章数量2倍两个限制条件，列一元一次不等式组，求出符合条件的正整数解的个数，即可得到采购方案的数量.
22．若am=an（a＞0且a≠1，m，n是正有理数），则m=n.利用该结论解决下面的问题：
（1）如果4x=24，求x的值；
（2）如果3x+1+3x+2=108，求x的值.
【答案】（1）解：∵4x=24
∴ (22)x= 2
∴22x=24
∴2x=4
∴x=2
（2）解：∵3x+1+3x+2=108，
∴3x+1×(1+3)=108，
∴3x+1=27，
∴3x+1=33，
∴x+1=3
∴x=2.
【知识点】因式分解﹣提公因式法；同底数幂乘法的逆用；幂的乘方的逆运算
【解析】【分析】(1)逆用幂的乘方公式将等式两边化为相近的形式，对比指数，建立方程即可求解；
(2)逆用同底数幂的乘法公式，结合因式分解将等式两边化为相近的形式，对比指数，建立方程即可求解。
23．如图，在三角形ABC中，点D，E分别是AC，BC上的点，且DE∥AB，点F，G分别是AD，AB上的点，连结FG，∠1+∠2=180°。
（1）试说明DB∥FG的理由。
（2）若GF⊥AC，∠2=150°，求∠CDE的度数。
【答案】（1）解：∵DE∥AB
∴∠1=∠DBG
又∵∠1+∠2=180°
∴∠DBG+∠2=180°
∴DB∥FG
（2）解：∵∠2=150°，∠1+∠2=180°
∵FG⊥AC
∴∠GFC=90°
又∵DB∥FG
∴∠CDB=∠CFG=90°
又∵∠CDB=∠1+∠CDE
∴∠CDE=∠CDB-∠1=90°-30°=60°
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）先根据两直线平行，内错角相等得到∠1=∠DBG，然后根据等量代换得到，再根据平行线的判定得到结论即可；
（2）求得，再根据垂直定义和两直线平行同位角相等得到，然后根据角的和差解答即可．
24．（1）【学科融合】
光在反射时，光束的路径可用图①来表示，叫做入射光线，叫做反射光线，从入射点O引出的一条垂直于镜面的射线叫做法线．与的夹角叫做入射角，与的夹角叫做反射角．根据科学实验可得．则图①中与的数量关系是______．
（2）【数学思考】
生活中我们可以运用“激光”和两块相交的平面镜进行测距．如图②，一束“激光”射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被平面镜反射后得到反射光线．
猜想：当满足什么条件时，任何射到平面镜上的光线经过平面镜和的两次反射后，入射光线与反射光线总是平行的．请你根据所学过的知识及新知探究的结论说明理由．
（3）【知识应用】
人们发明了一种曲面的反射光罩，使汽车灯泡在点O处发出的光线反射后都能平行射出，在如图③所示的截面内，已知入射光线的反射光线为，．若一入射光线（点D是入射光线与反光罩的交点）经反光罩反射后沿射出，且，请直接写出的度数．
【答案】（1）相等；
（2）证明：如图所示，过点B作DB平行EF，则，
，
，
由（1）得，
，，
，
，
过点作，则，
∵，
，
，
．
即当∠B为直角时，即可满足要求.
（3）或.
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；平行线的判定与性质；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
∴∠1+∠α=∠2+∠β
又∵，
∴
故答案为：相等.
（3）①当点D在点C下方时，如图所示，
由题意得，
∵∠OAB=75°
∴∠OGE=75°
又∵
∴∠AOD=∠OGE-∠ODE=75°-22°=53°
②当点D在点C上方时，如图所示，
由题意得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
综上，的度数为或．
故答案为：或．
【分析】（1）根据和，即可证明；
（2）通过构图，由平行线的性质得出，，，，在由（1）中结论，推出，，等角代换后推出，继而证明．
（3）因为D点位置不确定，需要分情况讨论：①当点D在点C下方时，利用，得到∠OGE=75°，再利用三角形外角性质，即可求出的度数 ；②当点D在点C上方时，将∠AOD拆分为两部分即，再利用，将∠DOC和∠AOC进行转化，即可求出的度数.
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