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相似三角形 高频考点预测练 2026年初中数学中考复习备考
一、单选题
1．如图，小明用两根木棍，制成一个测量工具，测量化学实验器材锥形瓶内径的长．若与交于点，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
2．已知两个相似三角形的对应边的比为，则它们对应高线的比为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，面积为24的菱形中，点O为对角线的交点，点E是线段的中点，过点E作于于G，则四边形的面积为（ ）
A．6 B．3 C．2 D．1
4．在矩形中，是对角线上一点，连接并延长交于，，是的中点，连接，，若，，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，分别以A、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于E、F两点，作直线分别交、于点M、N．若，，则的长度为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．如图，在四边形中，，点E为的中点，平分，与交于点F．若，，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，正方形的顶点在正方形的边上，与交于点，若，，则的长为（ ）
A． B．1 C．2 D．
8．如图，在中，，为上的中线，将沿直线翻折得到，与交于点，连接与分别交于点，连接，若，则下列结论正确的是（ ）
A． B．若，则
C． D．垂直平分
二、填空题
9．如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是，若，则的面积是__________．
10．如图所示的是某校综合实践活动小组测量某个机器零件的平面示意图．已知，与相交于点O，为的中位线，若，则的长为__________．
11．如图，已知四边形ABCD，AC与BD相交于点O，∠ABC=∠DAC=90°，，则=___．
12．如图，在平面直角坐标系中，点，点在负半轴上，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，点恰好在反比例函数图象上，连接，线段与轴交于点，若，则的值是_____．
13．如图，在中，是边上一点，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点：④过点作射线交于点．若与四边形的面积比为，则的值为___________．

14．如图，E是矩形内的一点，且，已知，线段的长为6，则的面积为________．
15．如图，在矩形中，，点为上一点，且，作的角平分线交边于点，作于点，分别与和交于点和点，若，则___.
16．如图1，在平行四边形中，，点F从点B出发，以的速度沿匀速运动，点E同时从点A出发，以的速度沿匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．图2是的面积随时间变化的函数图象（图中为线段），当的面积为时，运动时间t为_________．
三、解答题
17．如图1，已知是等腰三角形的外接圆，，是上一点，连接，交于点．射线与的夹角的角平分线交于点，射线交射线于点．
(1)若，，，求的长度；
(2)求证：；
(3)如图2，当为直径时，若，，求的面积．
18．在中，点D为边上一动点，连接，以为边，在右侧作等边（点，按逆时针方向排序），连接．
(1)当时，如图①，求的度数；
(2)当时，如图②，求线段的长；
(3)当时，求线段长．
19．（1）已知，，，点D在边上，，，连接，．线段，的数量关系为___________；若，则___________度；
（2）如图2，已知，，点B，A，E共线，A点在B，E两点之间，点C，D在直线同侧，若，请判断和的数量关系，并说明理由；
（3））如图3，已知等边，，E为中点，D为边上一动点，连接，，F为内一点，连接，，，若，求的最小值．．
20．如图，在菱形中，点E，F分别在边，上，
(1)求证：；
(2)为中点，交于点，垂足为．
①求证：；
②用等式表示线段，与之间的数量关系，并给予证明．
21．在和中，，，，旋转，使点在内．
(1)如图1，求证：；
(2)当时，延长交于点．
①如图2，若，，求的长；
②如图3，连接，若点是的中点，判断线段与线段的数量关系，并说明理由．
22．如图，在中，，点O在上，连接，并延长至点D，使得，，连接，，E是上的一点，连接．
(1)如图1，求证：四边形是菱形．
(2)如图2，将沿折叠，使点D的对应点F落在上，若，猜想与的数量关系，并加以证明．
(3)如图3，将沿折叠，点D的对应点F落在的延长线上，与交于点G．
①求证：．
②若，，求的值．
23．在中，，点在直线上，连接，作．连接，．
(1)如图1，若，求证：．小明同学的想法是：在上截取．，连接，通过证明三角形全等，得到对应边相等，即可得出结论．请你按照小明的思路进行证明；
(2)若，．
①如图，点在线段上（不包含，两点），求的度数；
②若点在直线上运动，直线，相交于点，当时，求的长．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B B D B D B A
1．B
本题主要考查了相似三角形的应用，证明两个三角形相似，即可求出的长度．
解：∵，，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
2．B
本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形对应高的比等于相似比，据此可得答案．
解：∵两个相似三角形的对应边的比为，
∴它们对应高线的比为，
故选：B．
3．B
本题考查了菱形的性质及面积的求法、矩形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握菱形的性质和矩形的性质是解题的关键．
由菱形的性质得出，证出四边形是矩形，得出都是的中位线，则，，由矩形面积即可得出答案．
解：∵四边形是菱形，
∴
∵于F，于G，
∴四边形是矩形，
∵点E是线段的中点，
∴都是的中位线，
∴，
∴矩形的面积＝．
故选B．
4．D
本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定定理和性质以及勾股定理，熟练掌握相关性质是解题的关键．
先证明，利用相似三角形性质推出，进而求出，再结合线段中点性质，以及勾股定理求出即可解答．
解：四边形为矩形，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，，
，
，
即，
，
是的中点，
，
，
故选：．
5．B
本题考查了勾股定理，垂直平分线的作法和性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形对应边成比例是解题关键．由勾股定理可得，由作法可知，垂直平分，进而得到，则，即可求解．
解：，，，
，
由作法可知，垂直平分，
，，
，
，
，
，
故选：B．
6．D
过点D作，证明四边形是矩形，得出，从而得，证出，在截取，得出，证明，得出，再证明，得出，，勾股定理求出，得出，，根据等腰三角形的性质得出，结合，得出，证明，再证明，从而证出，根据相似三角形的性质即可求出．
解：如图，过点D作，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在截取，
∵平分，，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∵点是中点，
∴，
延长交于点，
∵，
∴，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：．
故选：D．
该题考查了矩形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，三角形外角的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，正确做出辅助线．
7．B
本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质成为解题的关键．
由正方形和正方形可得、、、得，得，由，则，据此即可解答．
解：∵正方形和正方形，，，
∴，
，
，
，
∴，
∴，
又∵，
∴．
故选：B．
8．A
根据折叠得到，垂直平分，可判定D选项；设，则，由中位线的判定和性质得到，设，则，证明，，可判定A，C选项；根据锐角三角函数的计算可得，结合折叠的性质可判定B选项，由此即可求解．
解：在中，，为上的中线，
∴，
∵折叠，
∴，垂直平分，则，但不平分，故D选项错误，不符合题意，
∴，，
设，
∴，
在中，，
∴，则，
∴，
∵点分别是中点，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即,
∴，故A选项正确，符合题意；
∴，
∴，故C选项错误，不符合题意；
若，则，
根据上述计算，，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵折叠，，，
∴，
∴，故B选项错误，不符合题意；
故选：A ．
本题考查了折叠的性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半，等腰三角形的判定和性质，中位线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形的计算，掌握折叠的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形的计算是关键．
9．250
本题考查中心投影，位似图形的性质，与是位似图形，求出位似比，再根据面积比等于位似比的平方即可求解．
解：由平行投影可知与是位似图形，
，
，
与的位似比为，
，
，
故答案为：250．
10．
本题考查了三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
根据三角形的中位线定理以及得到，则，那么，再根据三角形中位线定理得到的线段关系求出，即可求解．
解：∵为的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∵，
设，则，
∴，
∴，
故答案为：．
11．
过B点作BE//AD交AC于点E，证明，得到再证明利用设利用三角形的面积公式可得答案．
解：过B点作BE//AD交AC于点E，
BE⊥AD，
，
∴
∴
由，
∴
设 则
故答案为：
12．2
本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定是解题的关键．
先证得得出，，再证得求出，然后代入求解即可．
解：过点C作轴交于点E，
由旋转可得，，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
由轴得，
∴，
∴，
∴，
∴，则，
∴，
∵点恰好在反比例函数图象上，
∴，
解得，
故答案为：2．
13．
根据作图可得，然后得出，可证明，进而根据相似三角形的性质即可求解．
解：根据作图可得，
∴，
∴，
∵与四边形的面积比为，
∴
∴
∴，
故答案为：．
本题考查了作一个角等于已知角，相似三角形的性质与判定，熟练掌握基本作图与相似三角形的性质与判定是解题的关键．
14．27
本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质．关键是构造相似三角形．
作过于于的面积等于与乘积的一半．要求的面积只有或中的一个量，不能求出面积的值，必须求出与乘积，逐项分析可得．是斜边上的高，证明，得出，根据，可得正确选项．
解：作于于．
∴
∵四边形为矩形，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴的面积等于．
∵是斜边上的高，
∴，，
，
，
∴的面积．
故答案为27.
15．
连接，过作交于，先证明，得到，设，则，证明，得到，根据平行线的判定和性质得到，根据等角对等边得到，进而得到，再由平行线分线段成比例得到，求出即可得到答案．
解：连接，过作交于，如图所示：
∵，
，
在和中，
，
，
，
设，则，
∵是的角平分线，
，
在和中，
，
，
，又，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴，
，
，
，
，
，
，
∴，
∴，
整理得，
解得，，
由图可知，不符合题意，
即，
，，
则
故答案为：．
本题考查了全等三角形的判定和性质、矩形的性质、等角对等边、角平分线的性质、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，解题的关键是掌握相关知识，并灵活运用．
16．或
本题考查了一元二次方程的应用，动点问题的函数图象，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，由图、图可知，当时，点与点重合，当时，点在上运动，而点继续在上运动，即得，，进而由勾股定理得，再分和两种情况，分别画出图形，求出与的函数关系式，再把代入计算即可求解，看懂函数图象并运用分类讨论思想解答是解题的关键．
解：由图、图可知，当时，点与点重合，当时，点在上运动，而点继续在上运动，
∵四边形是平行四边形，点、点的速度都是，
∴，；
∵，
∴，
∴，
当时，如图，作，交的延长线于点，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，则，
解得或（舍去）；
当时，如图，作，交的延长线于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
当时，则，
解得；
综上，或；
故答案为：或．
17．(1)见解析
(2)见解析
(3)
本题属于圆的综合题，主要考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识，较难的是题（3），通过添加辅助线，构造相似三角形是解题关键．
（1）先根据圆周角定理可得，，再证出，根据相似三角形的性质即可得；
（2）连接，先证明，进而根据圆周角定理得出，再根据三角形的外角性质可得，然后根据圆周角定理可得，等量代换即可得证；
（3）连接，延长交于点，过点作于点，连接，，，先根据等腰直角三角形的判定与性质可得， ，证明，根据相似三角形的性质可得，的长，然后设（），则利用的面积可求出的值，从而可得，的长，最后利用三角形的面积公式计算即可得．
（1）解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴,
∵，，，
∴，
（2）证明：如图，连接，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是圆内接四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∵
∴
又∵
∴，
∴
（3）解：如图，连接，延长交于点，过点作于点，连接，，，
设的半径为（），则
为的直径，
，
，
平分，
，
由圆周角定理得：，
由（2）知：，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
由圆周角定理得：，
，
，
设（），则
在中，由勾股定理得：，即
解得：（负值舍去）
，
，
的面积为．
18．(1)
(2)
(3)
（1）证明为等边三角形，得出，证明为等边三角形，得出，最后求出结果即可；
（2）在上取点F，使，连接，，过点E作于点G，证明，得出，，解直角三角形得出，，求出，根据勾股定理得出即可；
（3）在上取点F，使，过点C作，过点D作，交于点H，过点A作于点K，证明，得出，即，求出，设，则，设，则，，设，则，，，根据勾股定理得出，证明，得出，即，求出，列出方程，求出结果即可．
（1）解：∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴；
（2）解：在上取点F，使，连接，，过点E作于点G，如图所示：
∵，，
∴为等边三角形，
∴，，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
即，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
∴，
∴；
（3）解：在上取点F，使，过点C作，过点D作，交于点H，过点A作于点K，如图所示：
∵，，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，，
∵为等边三角形，
∴，，
∵，，
∴四边形为平行四边形，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
设，则，，
设，则，，，
在中，根据勾股定理得：，
即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
得：，
由③得：，
把代入得：，
整理得：，
∵
∴，
解得：或（舍去），
∴．
本题主要考查了等边三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，三角形外角的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
19．（1）相等，；（2），见解析；（3）
（1）先根据，，，证明，再结合三角形内角和性质列式计算，即可作答．
（2）根据得，证明，结合三角形内角和性质列式整理得，
（3）延长至，使得，连接，，运用相似三角形的性质以及E为中点，，证明，结合为等边三角形，得，则是的中位线， ，所以，点F的轨迹为，在的优弧上取点，连接，过点作，运用解直角三角函数进行列式得，最后运用勾股定理列式计算，即可作答．
解：（1）∵，，，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
则，
故答案为：相等，；
（2），理由如下：
∵，
∴，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴；
（3）延长至，使得，连接，，
∵，
∴，，
∵E为中点，，
∴，，
∴，
∴，
由（2）得，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
取中点G，连接，
∵，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴点F在的劣弧上运动，
在的优弧上取点，连接，过点作，
则四边形是圆内接四边形，
∴
∵
∴，
∵，
∴，
则，
则，
即，
∴，
∴，
∴，
当A、F、O共线时，取得最小值．
本题考查了中位线的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的相关运算，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
20．(1)证明见解析
(2)①证明见解析 ②；证明见解析
（1）根据菱形的性质，结合已知证明即可得证；
（2）①先证明是等边三角形，利用等边三角形的性质，结合三角形相似的判定证明，得到比例式，再利用相似的判定定理2证明即可；
②延长，交于点，证明，利用特殊角三角函数计算解答即可．
（1）证明：四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
又，
，
，
在和中，
，
，
．
（2）①证明：如图，连接EF，
由（1）知，
，
，
是等边三角形，
为中点，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
在和中，
，
．
②解：，
证明如下：如图，延长，交于点，
，
，
，
即，
，
，
，
又，
，
在和中，
，
，
，
，
在中，，
，
即．
本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，特殊角的三角函数的应用，三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)①；②，理由见解析
（1）证明，再利用已知，，即可证明结论；
（2）①求出，．证明．则．得到，由（1）可知，，即可得到答案；②延长交于点．证明四边形是正方形．则，．证明，得到．得到，．即可证明．
（1）证明：∵，
∴，
即．
∵，，
∴．
（2）解：①∵，
∴，．
∵，，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴
同（1）可知，，
∴．
②，理由如下：
如图3，延长交于点．
∵，
∴，．
∴．
∴四边形是矩形．
∵，
∴四边形是正方形．
∴，．
∴，．
∵，，
∴．
∴．
∴，．
∴．
此题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、正方形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)．证明见解析
(3)①见解析；②
（1）由已知条件可得出是的垂直平分线，由垂直平分线的性质得出，再结合即可得出，进而可证．
（2）延长交于点．由折叠的性质，可得．由菱形的性质可进一步推出， 设，则，得出，证明，由相似三角形的性质即可得出．
（3）①由折叠的性质，可得，由等边对等角可得出，再利用菱形的性质得出 ，等量代换可得出，再根据等角对等边可得出．
②延长，交的延长线于点．先证明，由全等三角形的性质得出，再证明，再由全等三角形的性质得出
，进一步即可得出答案．
（1）证明：，
是的垂直平分线，
．
，
四边形是菱形．
（2）．证明如下：
证明：如图1，延长交于点．
由折叠的性质，可得．
四边形是菱形，
，，
．
，
，
∴设，则，
，
，
，
，
，
，
．
（3）①证明：由折叠的性质，可得，
，
四边形是菱形，
，
，
，
．
②如图2，延长，交的延长线于点．
．
，
，
，
，
．
由折叠的性质，可得．
四边形是菱形，
，
，
，
∵，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
本题主要考查了菱形的判定和性质，等边三角形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，综合性较强，掌握这些判定定理和性质是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)①；② 或
（1）根据题意证明，根据全等三角形的性质，即可得证；
（2）①过点作于点，设，证明，根据相似三角形的性质得出，进而即可求解；
②当在线段上时，过点作于点，过点作于点，解，即可求解；当在的延长线上时，过点作于点，过点作于点，证明，进而证明是的中点，可得，即可求解．
（1）证明：∵，，
∴是等边三角形，
∴
又∵
∴是等边三角形，则
∴
∵，
∴
∵
∴
∵
∴
∴，
∴，
∴
（2）①如图，过点作于点，设，
∵在中，．，，
∴，都是等腰直角三角形，
∴，
∴
∵，
∴，，
设，则，，
∴，
∴
∴
∴
②解：如图，当在线段上时，过点作于点，过点作于点，
∴
由①可得
∴,
∵，，
∴，
又∵是等腰直角三角形，
∴
∵，
∴
∴
又∵
∴是等腰直角三角形
∴
设，则,
∴
∴
解得：
在中，；
如图，当在的延长线上时，过点作于点，过点作于点，
∴
∵
∴
∴
∴,
同理可得，
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
∵，
∴，
综上所述，的长为或．
本题考查了等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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