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射洪中学高2025级高一下期期中考试
数学试题
（考试时间：120分钟 满分：150分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答非选择题时，将答案写在答题卡对应题号的位置上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将答题卡交回。
第I卷（选择题）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．复数的虚部为（ ）
A． B．0 C．1 D．6
2．已知向量，若，则实数（ ）
A．1 B． C． D．
3．如图正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）
A． B． C． D．
4．在正方体中，点为棱的中点，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为M为PB的中点，下列结论正确的个数为（ ）
①平面PBC ②平面PCD
③平面PDA ④平面PBA
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（ ）
A． B． C．1 D．3
7．如图，在中，已知，，P是线段与的交点，若，则的值为（ ）
A． B．
C．1 D．
8．如图，在正四面体中，放置1大、4小共个球，其中，大球为正四面体的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体的体积为，则个球的体积之和为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9．已知复数，，则（ ）
A．是纯虚数 B．在复平面内对应的点位于第二象限
C． D．
10．窗花是贴在窗户玻璃上的贴纸，它是中国古老的传统民间艺术之一．在2026年马年新春，有人设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）．已知正方形ABCD的边长为2，四个半圆的圆心均为正方形ABCD各边的中点（如图2），若E，F分别为弧BC，弧CD的中点，则（ ）
A． B．与的夹角为
C．在方向上的投影向量为 D．
11．在中，角的对边分别为外接圆的半径为2，且，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C． 面积的最大值为
D．若，角的平分线交于点，则
第II卷（非选择题）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．若△ABC中，，那么cosC=__________．
13．已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是__________．
14．海军某登陆舰队在一次海上训练中，雷达兵在处发现在北偏东50°方向，相距30公里的水面处，有一艘舰艇发出液货补给需求，它正以每小时50公里的速度沿南偏东70°方向前进，这个雷达兵立马协调在处的舰艇以每小时70公里的速度，沿北偏东方向与舰艇对接并进行横向液货补给．若舰艇要在最短的时间内实现横向液货补给，则__________．
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．（13分）已知向量，．
（1）求；
（2）求．
▲
16．（15分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E是PD上的点．
(1)若E，F分别是PD和BC的中点，求证：EF∥平面PAB；
(2)若PB∥平面AEC，求证：E是PD的中点．
▲
17．（15分）如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，.
(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的大小．
▲
18．（17分）如图，在梯形中，，，，E、F分别为、的中点，且，P是线段上的一个动点．
(1)若，求的值；
(2)求的长；
(3)求的取值范围．
▲
19．（17分）已知，，分别为三个内角，，的对边，
(1)求角；
(2)若，的面积为，求，；
(3)若，且为锐角三角形，为的中点，求中线的取值范围．
▲数学试题参考答案
考试时间：120 分钟 满分：150 分
1.C 2. C 3.A 4.B 5．B 6.A 7．B 8. A 9. AC 10.ACD 11.BCD
1
12. -0.25. 13. 5 3且 2 14．
2 14
8.在正四面体 A BCD中，设棱长为 a，高为 h，O为正四面体 A BCD内切球的球心，
延长 AO交底面 BCD于 E， E是等边三角形 BCD的中心， BE延长线交CD于 F ，连接 AF ，
则点 F是CD的中点，OE为正四面体 A BCD内切球的半径，
AF BF 3 a ,BE 2 BF 3 a ,EF 3 a 6，h AE AF 2 EF 2 a，
2 3 3 6 3
由正四面体 ABCD 1 3 6的体积为 28 3 ，得 a a 8 3，解得 a 2 6，
3 4 3
由OE BO2 BE2 (AE OE)2 BE2 ，解得OE 6 a 1 h，
12 4
6 1
则 h 2 6 4，最大球半径 r h 1
3 大
，
4
4π 3 4π
因此最大球的体积为V 1 大 ；3 3
小球也可看作一个小的正四面体的内切球，则小正四面体的高 h小 h 2r 4 2 2大 ，
1 1 1
因此最小球半径 r小 h小 2 ，4 4 2
4π 3 1 π 4π π
因此最小球的体积为V ，所以 5个球的体积之和为 4 2π 11．BCD小 3 2 6 3 6
11.【详解】对于 A，因为 a cos B b cos A c(4cos A 1)，所以 sin Acos B sin B cos A sinC(4cos A 1)，
所以 sin A B sinC(4cos A 1)，又 A B π C，即 sin A B sin π C sinC，
则 sinC sinC(4cos A 1)，又 sinC 0，所以1 4cos A 1，
1 π
解得 cos A ，又0 A π，故 A ，故 A错误；
2 3
A π对于 B，因为 ，VABC外接圆的半径为 2，
3
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所以 a 2Rsin A 3 4 2 3，故 B正确；
2
对于 C，因为b2 c2 a2 2bc cos A，即b2 c2 12 bc，
又b2 c2 2bc，所以12 bc 2bc，得bc 12，当且仅当 b c 2 3时，取等号，
S 1 bc sin A 3 3所以 VABC bc 12 3 3，即VABC面积的最大值为3 3，故 C正确；2 4 4
对于 D，由 b c 2，结合b2 c2 12 bc，解得b 4,c 2，
S 1 π 1 π 1 π由 ABC S ABD S ACD，即 2 4sin 2 AD sin 4 AD sin ，2 3 2 6 2 6
4 3
解得 AD ，故 D正确
3

15.【解析】（1）因为 a 1,2 ，b 2,3 ,
2 2
所以 a2 a 5,b 2 b 13，
a 所以 b a b a2 b 2 5 13 8 , ————6分


a b 1 2 2 3 4 65
（2） cos a,b . ————13分| a | | b | 5 13 65
16．【答案】证明：(1)如图，取 PA 的中点 G，连接 BG，EG，
1
在△PAD 中，因为 E，G分别为所在边的中点，所以 EG∥AD，且 EG＝ AD，
2
又因为底面 ABCD 为平行四边形，F 为 BC 的中点，
1
所以 BF∥AD，且 BF＝ AD，所以 EG∥BF，且 EG＝BF，
2
所以四边形 BFEG 为平行四边形，
所以 EF∥BG， ————4分
因为 EF 平面 PAB，BG 平面 PAB，所以 EF∥平面 PAB． ————7分
(2)如图，连接 BD，交 AC 于点 H，连接 EH，
因为 PB∥平面 ACE，PB 平面 PBD，平面 PBD∩平面 ACE＝EH，
所以 PB∥EH， ————12分
在△PBD 中，H 为 BD 的中点，所以 E为 PD 的中点． ————15分
17. 【解析】（1）略 ————7分
（2）由（1）知 BD 平面 AA1C1C，所以直线 BC1在平面 AA1C1C的射影为DC1，
所以 DC1B即为所求的线面角，
在VABC中， AB BC 2， AB BC，D为 AC的中点，
1 1
所以 BD AC 2 2 2 .
2 2
第 2 页 共 4 页
在直角三角形DC1C中，DC CC2 21 1 CD 4 2 6，
BD 3
故在直角三角形DC1B中， tan DC1B ，DC1 3
π π
又 DC1B 0, ，所以 DC1B ， 2 6
π
所以直线 BC1与平面 AA1C1C所成角为 . ————15分6
1
18.【解析】（1）由 E,F分别为CD,BC的中点，则 EF / /BD， EF BD，
2
1 1 由图可得 EF DB AB AD 1 mAB nAD，则m ,n 1 ，2 2 2 2
1
所以mn .————5分
4
1 1 1
（2）由（1）可知 EF AB AD， AC AB AD，
2 2 2

由 AD AB，则 AD AB 0，
1 1 1 1 2 2AC EF AB AD AB
1
AD AB AD 2，
2 2 2 4 2
1 2
可得 4 AD 2，解得 AD 2 . ————10分
2
1 1
（3）由图可得PE PA AD DE xAB AD AB x AB AD，4 4

PF PB BF 1 x AB 1
1 BC 1 x AB BA AD DC2 2
1 1 1 3 1 x AB AB AD AB 1 x AB AD，2 2 4 4 2
2 2
PE PF 1 x 3 1 1 3 AB AD · x AB AD x x AB
1
AD
4 4 2 4 4 2
2

3
x x
2
16
1
4 16x2 16x 5 16 x
1

16 2 2
1，


由0 x 1，则 PE PF 1,5 .————17分
19、【解析】（1）因为 a cosC 3a sinC b c 0 ，
由正弦定理知可得 sin AcosC 3 sin AsinC sin B sinC 0，
而 sin B sin π A C sin A C sin AcosC cos AsinC，
sin AcosC 3 sin AsinC sin AcosC cos AsinC sinC 0 ，
即 3 sin AsinC cos AsinC sinC 0，又 sinC 0，
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3 sin A cos A 2sin A π 1 sin A π 1 ，即 ，
6 6 2
π π 5π
又0 A π，则 A
6 6 6
A π π π，则 A . ————5分
6 6 3
1
bc sin A 3 2 bc 4
（2）由（1）及题设可得 2 2 2 ，即 b2
，
c
2 8
cos A b c a 1
2bc 2
4
将b 代入b2 c2 8，整理得 c4 8c2 16 0，则 c2 4，c
即 c 2（负值舍去），故b 2 . ————10分
1 （3）因为D为 BC的中点，所以 AD AB AC2 ，
1 AD2 2AB AC 1 2 2 1两边平方得 AB AC 2AB AC c2 b2 bc ，4 4 4
在△ ABC 中，由余弦定理得 a2 b2 c2 2bccos A b2 c2 bc，即b2 c2 3 bc，
2
所以 AD
1
3 2bc 3 1 bc，
4 4 2
b c a 3
2
在△ ABC 中，由正弦定理得 sinB sinC sin A 3 ，
2
所以b 2sin B，c 2sinC
2π
所以bc 4sin B sinC 4sin B sin B
3
2 3 sin B cos B 2sin2 B 3 sin 2B 1 cos 2B 2sin 2B π 1，
6
π 2π π π π
因为△ ABC 为锐角三角形，所以0 B 且0 B ，解得 B ，
2 3 2 6 2
π 2B π 5π
1
所以 ，所以 sin

2B
π
1，则 2 bc 3，6 6 6 2 6
7 2 9
所以 AD ，
4 4
7 3
所以中线 AD的取值范围是 ,2 2
. ————17分

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