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山西大同市第一中学校北校2025-2026学年八年级第二学期期中检测 数学试卷
一、单选题
1．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．根据我国古代一部数学著作记载，在约公元前1100年，人们就已经知道如果勾是三、股是四，那么弦是五，这本数学著作是（ ）
A．《周髀算经》 B．《九章算术》 C．《几何原本》 D．《海岛算经》
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，对角线，相交于点，．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜七里，中斜二十四里，大斜二十五里，欲知为田几何？”其大意是：有一块三角形沙田，三条边分别为7里，24里，25里，问这块沙田的面积为（ ）
A．30平方里 B．32.5平方里 C．84平方里 D．65平方里
6．下列四个选项中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．邻边相等 D．对角线平分一组对角
7．若一个多边形的内角和是外角和的倍，则这个多边形的边数是（ ）
A． B． C． D．
8．最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角（如图1）．图2是机器狗正常状态下的腿部简化图，其中，．机器狗正常状态下的高度可以看成，两点间的距离，则机器狗正常状态下的高度为（ ）
A．40cm B． C． D．
9．如图，点分别是的边的中点，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作直线，交于点，连接，经测量得，，则（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
10．在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，，交于点．若四边形的对角线互相垂直，则线段与一定满足的关系为( )
A．互相垂直平分 B．互相平分且相等
C．互相垂直且相等 D．互相垂直平分且相等
二、填空题
11．若代数式有意义，则实数x的取值范围是______．
12．菱形的周长为，对角线，则其面积等于_________．
13．如图，已知，正五边形的顶点、分别在射线、上，则_____ ．
14．甲、乙两人同时从同一个地点出发，甲往北偏东方向走了3.6公里，乙往北偏西方向走了4.8公里，这时甲、乙两人相距_____公里．
15．如图，在中，于点E，点F在边上，且，，若，则的长为______．
三、解答题
16．计算
(1)
(2)
17．行文明之举，向高空抛物说“不”．为进一步研究高空抛物的危害，小亮请教了物理老师，得知高空抛物下落的速度v（单位：）和高度h（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响，），已知小亮家所住楼层的高度是．
(1)假如一个物品从小亮家坠落，求该物品落地时的速度（结果保留根号）；
(2)小明说他家所住楼层的高度是小亮家的2倍，所以两个相同的物品分别从他家和小亮家坠落，从他家坠落的物品落地时的速度将是从小亮家坠落的物品速度的2倍，请问小明的说法正确吗？判断并说明理由．
18．在几何的小世界里，直角三角形藏着一个有趣的规律：如果一条直角边的长度刚好是斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于
(1)如图1，在中，，．求证：；
(2)利用这个规律，尝试解决下面问题．如图2，是一张长方形纸片，且，沿过点D的折痕将翻折，使得点落在上的点，折痕交于点．求的度数．
19．如图，在矩形中，，，为边上一点，点为的中点，连接并延长，交于点N，若平分．求证：
(1)；
(2)求的长．
20．如图，在中，过点作，垂足为点，点在边上，，连接，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，，求证：平分．
21．项目式学习
【项目主题】城市空气质量监测系统设计
【项目背景】2025年，大同市空气质量创历史最优，连续六年获国家二级标准．优质空气是生命之基，洁净空气关乎每个人的当下与未来．我校综合与实践小组以“城市空气质量监测”为主题开展项目式学习．
【测量工具】皮尺、测角仪等工具．
【操作步骤】
步骤一：如图1，综合与实践小组计划在某公园的一棵倾斜的树木上安装两个空气质量传感器，以便收集不同高度的污染数据．
步骤二：如图2，测得树木与水平地面的夹角，传感器与树木底部B的距离为，传感器D与树木底部B的距离为．
步骤三：为了数据传输需要，必须在水平地面上安装一个信号接收器E，使得信号接收器E到传感器C和D的距离相等，即．（图中各点均在同一竖直平面内）
【问题解决】求信号接收器E与传感器C的距离（结果精确到．参考数据：）．
22．阅读与思考
下面是小颖同学的一篇数学笔记，请仔细阅读并完成相应的任务．
三角形的“亲密菱形”
【概念理解】
若菱形的一个顶点与三角形的一个顶点重合，其余三个顶点均在三角形的三条边上，则称这个菱形为三角形的“亲密菱形”．如图1，菱形是的“亲密菱形”
【问题解决】
如图2，在中，，点为上一点，连接，，，平分，与边交于点，过点作交于点，连接．
求证：四边形是的“亲密菱形”
证明：，，
．
平分，
．
．
（依据）．
，，
．
．……
任务：
(1)笔记中的“依据”是______．
(2)请将【问题解决】中的证明过程补充完整．
(3)尺规作图：如图3，是任意三角形，请作出的“亲密菱形”，点分别在上（要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母）．
23．综合与探究
在数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题展开探究．如图1，在矩形中，，点分别是边上的点，连接，将矩形沿折叠，点A的对应点为．
(1)【初步探究】如图2，若点E与点B重合，点恰好落在边上，求证：四边形是正方形；
(2)【深入探究】如图3，若点E是的中点，改变点F的位置，延长交于点H，猜想与的数量关系，并说明理由；
(3)如图4，若点F是的中点，改变点E的位置，在折叠的过程中，若以，为顶点构成的三角形是以为腰的等腰三角形，直接写出线段的长．
参考答案
1．B
【详解】解：A，，故A不符合题意；
B，这个二次根式的根号内不含分母，不含能开得尽方的因数或因式，故B符合题意；
C，，故C不符合题意；
D，，故D不符合题意．
故选：B．
2．A
【详解】解：勾股定理被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》．
故选A．
3．B
【详解】A.，故不合题意；
B．，故符合题意；
C．，故不合题意；
D．，故不合题意．
故选：B．
4．B
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
在中
，
∴．
5．C
【详解】解：已知三角形沙田的三条边分别为7里，24里，25里，
，，
，
故该三角形沙田是直角三角形，且两条直角边的长分别为7里，24里
则沙田的面积为 （平方里）．
6．B
【详解】解：矩形对角线相等，菱形对角线不一定相等，
故矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等．
故选B．
7．C
【详解】解：设这个多边形的边数是，
根据题意得：，
解得：，
故选：．
8．D
【详解】解：连接，过B作于D，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
即机器狗正常状态下的高度为，
故选：D．
9．C
【详解】解：由作图方法可知，垂直平分，
∴点M为的中点，
∵，，
∴；
∵点分别是的边的中点，
∴是的中位线，
∴．
10．B
【详解】解：如图所示：
连接四边形的对角线，
根据三角形中位线定理，且，且，
且，
四边形是平行四边形，
同理，且，
，
，
平行四边形是矩形，
，
即线段与互相平分且相等，
故选：B．
11．
【详解】解：∵代数式有意义，
∴，
∴，
故答案为：．
12．
【详解】解：如图，
菱形的周长为，
，
菱形对角线互相垂直平分，
，
，
，
菱形的面积为，
故答案为：．
13．
【详解】解：∵五边形是正五边形，
∴，
∴，
∴．
14．6
【详解】解：如图，甲往北偏东方向走的距离是，乙往北偏西方向走的距离是，
根据题意可知，，公里，公里，
则（公里）．
15．/
【详解】解：∵，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，，
∴，
∴；
如图所示，过点A作于点M，过点E作，交的延长线于点N，
设，
∵，
∴，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或（舍去），
∴．
16．(1)
(2)6
【详解】（1）解：
．
（2）解：原式
．
17．(1)该楼层落地时的速度为
(2)不正确，见解析
【详解】（1）解：把，，
代入得：
，
∴该楼层落地时的速度为；
（2）不正确，理由如下：
∵小明住的高度是小亮家的2倍，
∴，
将的值代入公式中得：
v小明，
∴2，
即小明家坠落的物品落地时的速度是小亮家坠落的物品速度的倍，而不是2倍，
因此，小明的说法不正确．
18．(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：取中点，连接，
是直角三角形，，
是的中点，
，
，
，
是等边三角形，
，
；
（2）解：在长方形中，，，，
根据折叠可得，，
，，
，
，
在中，，
，
，
，
．
19．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：∵点为的中点，
，
∵四边形是矩形，
，，
，
在和中，
，
，
．
（2）解：平分，，
，，
，
，
，
，
，
，
在中，，，
在中，，，
即，
解得．
20．(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）∵四边形是平行四边形，
∴，
∵
∴，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）由（1）知四边形是矩形，
∴．
在 中， ，，
，
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴平分．
21．
【详解】解：如图，过点E作于点F，则，
，，
点F是CD的中点，即，
，，
，
，
，
在中，，，
∴，
，
，
在中，
答：信号接收器E与传感器C的距离约为．
22．(1)等角对等边
(2)见解析
(3)见解析
【详解】（1）解：笔记中的“依据”是等角对等边；
（2）证明：设与相交于点，
，
．
，，
，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，
∴平行四边形是菱形，
即四边形是的“亲密菱形”．
（3）解：如图，作的角平分线，交于，作的垂直平分线，交于，交于，连接、，四边形即为所求．
∵是的垂直平分线，
∴，，
∵，，
∴，即，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
即四边形是的“亲密菱形”．
23．(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)或
【详解】（1）证明：∵四边形为矩形，
∴，
由折叠的性质可得，
∴四边形是矩形，
又∵，
∴矩形是正方形；
（2）解：，理由如下：
连接，如图所示：
∵四边形是矩形，
∴；
∵E为中点，
∴，
根据折叠可知，，
∴，，
又∵，
∴，
∴；
（3）解：∵点F为的中点，
∴，
根据折叠可知，，
当时，过点作于点G，延长，交于点H，过点F作于点M，如图所示：
∵四边形是矩形，
∴；
∵，，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，，
∴，
同理得四边形为矩形，
∴，，
∴，
根据勾股定理得，
∴，
设，则，
根据勾股定理得，
即，
解得，
∴；
当时，连接，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
由折叠的性质可得，，
∴，
∴三点共线，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴；
综上所述，的长为或．

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