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2026年中考数学一轮模拟练习卷-山东省青岛市适用
一．选择题（共8小题）
1．（2023 平阴县一模）﹣6的相反数是（　　）
A．6 B．﹣6 C． D．
2．（2025 邹平市校级模拟）下列运算正确的是（　　）
A．a2 a3＝a6 B．（﹣2a2）3＝﹣6a6
C．a4÷a＝a3 D．2a+3a＝5a2
3．（2025 东港区校级三模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+k＝0的两个实数根分别为x1、x2，且4，则k的值是（　　）
A．﹣1或﹣2 B．﹣1或2 C．2 D．﹣1
4．（2023 夏津县一模）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是（　　）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
5．（2025 桓台县一模）如图，正方形ABCD中，AB＝4cm，动点P，Q分别从A，D同时出发，点P以每秒2cm的速度沿A→B→C运动，点Q以每秒1cm的速度沿D→C运动，P点到达点C时运动停止．设P点运动x（秒）时，△APQ的面积y（cm2），则y关于x的函数图象大致为：（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025 济宁一模）如图，直线AB∥CD，直线EF分别与AB，CD交于点E，F，EG平分∠BEF，交CD于点G，若∠1＝70°，则∠2的度数是（　　）
A．60° B．55° C．50° D．45°
7．（2025 东营区三模）如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形．若OA：AA′＝1：2，则△ABC与△A′B′C′的面积之比为（　　）
A．1：2 B．1：4 C．1：9 D．4：9
8．（2025 淄博一模）如图，矩形ABCD的顶点A，C在半径为5的⊙O上，D（2，1），当点A在⊙O上运动时，点C也随之运动，则矩形ABCD的对角线AC的最小值为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共8小题）
9．（2023 市中区一模）分解因式：a2﹣ab＝　 　．
10．（2025 济宁一模）若关于x的方程x2﹣x＝k有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 　 　．
11．（2025 沂水县二模）将相同的长方形卡片按如图方式摆放在一个直角上，每个长方形卡片长为2，宽为1，以此类推，当摆放2025个时，实线部分长为 　 　．
12．（2025 莱西市一模）近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为16的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为 　 　．
13．（2025 东平县一模）《中华人民共和国道路交通安全法》规定，同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离，其原因可以用物理和数学的知识来解释．公路上行驶的汽车急刹车时，刹车距离s（m）与时间t（s）的函数关系式为s＝16t﹣4t2，当遇到紧急情况刹车时，由于惯性的作用，汽车最远要滑行 　 　m才能停下．
14．（2023 莱芜区三模）如图，折叠矩形纸片ABCD，使点D落在AB边的点M处，EF为折痕，AB＝1，AD＝2．则四边形CDEF面积的最小值是 　 　．
15．（2025 罗庄区二模）如图，四边形ABCO是正方形，顶点B在抛物线y＝ax2（a＜0）的图象上，若正方形ABCO的边长为，且边OC与y轴的负半轴的夹角为15°，则a的值是 　 　．
16．（2025 东营区模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：与直线交于点A1，过A1作x轴的垂线，垂足为B1，过B1作l2的平行线交l1于A2，过A2作x轴的垂线，垂足为B2，过B2作l2的平行线交l1于A3，过A3作x轴的垂线，垂足为B3…按此规律，则点A2025的纵坐标为 　 　．
三．解答题（共8小题）
17．（2025 东港区校级模拟）（1）解不等式组，并将解集表示在所给的数轴上．
（2）先化简，再求值：，从1，2，3三个数中选择一个合适的数代入求值．
18．（2025 市北区三模）青岛二十六中某班举办了一场摸牌游戏，由甲乙同学两人进行．现有5张形状大上完全相同的牌，正面分别标有数字﹣1，2，3，5，6，将五张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．甲从中随机抽取一张牌，乙再随机抽取一张．
（1）请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率；
（2）若两人抽取的数字差的绝对值等于1，则甲获取；若抽取的数字差的绝对值大于1，则乙获胜，这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释．
19．（2025 东港区校级模拟）莒国古城北门为拱辰门，曾名“景泰门”，清康熙后改此名．“拱辰”者，典出《论语》：“为政以德，譬如北辰，居其所而众星共（拱）之”．意指有德的国君在位，得到天下臣民的拥戴，寓意着“拱卫北辰，四方归向”．拱辰门作为莒县古城的地标性建筑，明清风格的建筑和独特的地理位置，吸引着不少游客在此拍照打卡．莒子中学学生利用测角仪、皮尺等测量工具开展测量拱辰门楼的活动，测量步骤：第一步，利用测角仪站在B处测得城门楼最高点P的仰角为39°；第二步，前进了7米到达A处（点A，B，O在同一水平线上，测角仪高度忽略不计）在A处测得P点的仰角为56°．请根据测量数据，计算拱辰门楼PO的高度（结果保留整数）
参考数据：sin39°≈0.6，cos39°≈0.8，tan39°≈0.8，sin56°≈0.8，cos56°≈0.6，tan56°≈1.5．
20．（2025 垦利区二模）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，CD＝CB，AC，BD相交于点E，过点C作CF∥BD，CF与AB的延长线相交于点F，连接AD．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，BC＝6，求AD的长．
21．（2025 青岛三模）为美化校园，某校需补栽甲、乙两种花苗，经咨询，每株甲种花苗比每株乙种花苗的零售价多5元．已知用零售价购买相同数量的甲、乙两种花苗，需分别花费100元、50元．
（1）求甲、乙两种花苗的零售价．
（2）该校预计购买这两种花苗共1000株，且甲种花苗的数量不少于乙种花苗数量的，商家提供了甲、乙两种花苗的批发价分别为8元/株、2元/株．与零售价相比较，通过批发价购买这两种花苗可节约资金W元．设通过批发价购买a株甲种花苗，求W与a之间的函数关系式，并求节约资金总额的最大值．
22．（2023 巨野县三模）如图，反比例函数y（m≠0）与一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象交于点A（1，3），点B（n，1），一次函数y＝kx+b（k≠0）图象与y轴相交于点 C．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）连接OA、OB，求△OAB的面积．
23．（2025 青岛三模）在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC＝16cm，BD＝12cm．点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为2cm/s；点Q从点C出发，沿CO方向匀速运动，速度为1cm/s．若P、Q两点同时出发，过点Q作QM∥BC，交BD于点M，设运动时间为t（s）（0＜t≤4）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，PQ∥CD？
（2）设四边形AMQP的面积为S1，四边形PQCD的面积为S2，S＝S1﹣S2，求S关于t的函数关系式；并求出当t为何值时，S的值最大，最大值是多少？
（3）求是否存在某一时刻t，使点P在MQ的垂直平分线上？如果存在，求出此时t的值；如果不存在，请说明理由．
24．（2025 东港区校级模拟）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（﹣1，0），B两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图1，点P为第一象限抛物线上一点，且满足△PBC的面积与△ABC的面积相等，求直线AP的解析式；
（3）在（2）的条件下，设E是直线BC上一点，点P关于AE的对称点为点P，试探究，是否存在满足条件的点E，使得点P′恰好落在直线BC上，如果存在，求出点P'的坐标；如果不存在，请说明理由．
（4）如图2，点D是抛物线的顶点，过点D作直线DH∥y轴，交x轴于点H，当点M在第二象限抛物线上时，作直线MA，MB分别与直线DH交于点G和点I，请直接写出的值．
2025年中考数学一轮模拟练习卷-山东省青岛市适用
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C D D B B C A
一．选择题（共8小题）
1．（2023 平阴县一模）﹣6的相反数是（　　）
A．6 B．﹣6 C． D．
【解答】解：﹣6的相反数是6．
故选：A．
2．（2025 邹平市校级模拟）下列运算正确的是（　　）
A．a2 a3＝a6 B．（﹣2a2）3＝﹣6a6
C．a4÷a＝a3 D．2a+3a＝5a2
【解答】解：A．a2 a3＝a5，故该选项不正确，不符合题意；
B．（﹣2a2）3＝﹣8a6，故该选项不正确，不符合题意；
C．a4÷a＝a3，故该选项正确，符合题意；
D．2a+3a＝5a，故该选项不正确，不符合题意．
故选：C．
3．（2025 东港区校级三模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+k＝0的两个实数根分别为x1、x2，且4，则k的值是（　　）
A．﹣1或﹣2 B．﹣1或2 C．2 D．﹣1
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2kx+k2+k＝0的两个实数根分别为x1、x2，
∴x1+x2＝2k，x1 x2＝k2+k，
∵4，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝4，
∴（2k）2﹣2×（k2+k）＝4，
解得k＝2或k＝﹣1，
当k＝2时，一元二次方程为x2﹣4x+6＝0，此时Δ＝（﹣4）2﹣24＝﹣8＜0，原方程无实数解，这种情况不存在，舍去；
当k＝﹣1时，一元二次方程为x2+2x＝0，此时Δ＝22＞0，符合题意；
∴k的值是﹣1；
故选：D．
4．（2023 夏津县一模）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是（　　）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
【解答】解：∵多边形是正五边形，
∴正五边形的每一个内角为：108°，
∴∠O＝180°﹣（180°﹣108°）×2＝36°，
∴正五边形的个数是360°÷36°＝10．
故选：D．
5．（2025 桓台县一模）如图，正方形ABCD中，AB＝4cm，动点P，Q分别从A，D同时出发，点P以每秒2cm的速度沿A→B→C运动，点Q以每秒1cm的速度沿D→C运动，P点到达点C时运动停止．设P点运动x（秒）时，△APQ的面积y（cm2），则y关于x的函数图象大致为：（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：当点P在AB上，即0≤x≤2时，如图，
此时，AP＝2x cm，
∴y＝S△APQ4x（cm2）；
当点P在BC上，即2＜x≤4时，如图，
此时，BP＝（2x﹣4）cm，DQ＝x cm，
∴CP＝（8﹣2x）cm，CQ＝（4﹣x）cm，
∵S△APQ＝S正方形ABCD﹣S△ABP﹣S△CPQ﹣S△ADQ＝AB2，
∴yx2+2x+8（cm2）；．
综上，．
故选：B．
6．（2025 济宁一模）如图，直线AB∥CD，直线EF分别与AB，CD交于点E，F，EG平分∠BEF，交CD于点G，若∠1＝70°，则∠2的度数是（　　）
A．60° B．55° C．50° D．45°
【解答】解：∵EG平分∠BEF，
∴∠BEG＝∠GEF，
∵AB∥CD，
∴∠BEG＝∠2，
∴∠2＝∠GEF，
∵AB∥CD，
∴∠1+∠2+∠GEF＝180°，
∴∠2（180°﹣70°）＝55°．
故选：B．
7．（2025 东营区三模）如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形．若OA：AA′＝1：2，则△ABC与△A′B′C′的面积之比为（　　）
A．1：2 B．1：4 C．1：9 D．4：9
【解答】解：∵OA：AA′＝1：2，
∴OA：OA′＝1：3，
∵△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，
∴△ABC∽△A′B′C′，AB∥A′B′，
∴△AOB∽△A′OB′，
∴AB：A′B′＝OA：OA′＝1：3，
∴△ABC与△A′B′C′的面积之比为1：9，
故选：C．
8．（2025 淄博一模）如图，矩形ABCD的顶点A，C在半径为5的⊙O上，D（2，1），当点A在⊙O上运动时，点C也随之运动，则矩形ABCD的对角线AC的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：如图，取AC的中点M，连接DM，OD，
在Rt△DAC中，M为AC中点，，
当DM⊥AC时，DM最小，此时矩形的对角线最小，
∵DM⊥AC，AC为弦，M为中点，
∴DM在过M的直径上，
而O为圆心，则O、M、D三点都在一条直线上；
故O、M、D三点共线时，AC最小；
此时在Rt△OAM中，设AM＝DM＝x，
则OA＝5，，
∵OM2+AM2＝OA2，
∴，
∴，
解得，（舍去），
∴．
故选：A．
二．填空题（共8小题）
9．（2023 市中区一模）分解因式：a2﹣ab＝　a（a﹣b）　．
【解答】解：a2﹣ab＝a（a﹣b）．
10．（2025 济宁一模）若关于x的方程x2﹣x＝k有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 　k　．
【解答】解：∵x2﹣x＝k有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴（﹣1）2﹣4×1×（﹣k）＞0，
∴k，
∴k的取值范围为k，
故答案为：k．
11．（2025 沂水县二模）将相同的长方形卡片按如图方式摆放在一个直角上，每个长方形卡片长为2，宽为1，以此类推，当摆放2025个时，实线部分长为 　5060　．
【解答】解：第1个图实线部分长3，
第2个图实线部分长3+2，
第3个图实线部分长3+2+3，
第4个图实线部分长3+2+3+2，
第5个图实线部分长3+2+3+2+3，
第6个图实线部分长3+2+3+2+3+2，
从上述规律可以看到，对于第n个图形，当n为奇数时，第n个图形实线部分长度为（3+2）（n﹣1）+3，
当n为偶数时，第n个图形实线部分长度为（3+2）n，
∴摆放2025个时，实线部分长为（3+2）×2025＝5060，
故答案为：5060．
12．（2025 莱西市一模）近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为16的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为 　9.6　．
【解答】解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，
据此可以估计黑色部分的面积为16×0.6＝9.6．
故答案为：9.6．
13．（2025 东平县一模）《中华人民共和国道路交通安全法》规定，同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离，其原因可以用物理和数学的知识来解释．公路上行驶的汽车急刹车时，刹车距离s（m）与时间t（s）的函数关系式为s＝16t﹣4t2，当遇到紧急情况刹车时，由于惯性的作用，汽车最远要滑行 　16　m才能停下．
【解答】解：S＝16t﹣4t2＝﹣4（t﹣2）2+16，
∵﹣4＜0，
∴当 t＝2时，s最大，
∴当t＝2时，汽车停下来，滑行了16m．
故答案为：16．
14．（2023 莱芜区三模）如图，折叠矩形纸片ABCD，使点D落在AB边的点M处，EF为折痕，AB＝1，AD＝2．则四边形CDEF面积的最小值是 　　．
【解答】解：连接DM，过点E作EG⊥BC于点G，
设DE＝x＝EM，则EA＝2﹣x，
∵AE2+AM2＝EM2，
∴（2﹣x）2+t2＝x2，
解得x1，
∴DE1，
∵折叠矩形纸片ABCD，使点D落在AB边的点M处，
∴EF⊥DM，
∠ADM+∠DEF＝90°，
∵EG⊥AD，
∴∠DEF+∠FEG＝90°，
∴∠ADM＝∠FEG，
∴tan∠ADM，
∴FG，
∵CG＝DE1，
∴CF1，
∴S四边形CDEF（CF+DE）×1t+1（t）2．
故答案为：．
15．（2025 罗庄区二模）如图，四边形ABCO是正方形，顶点B在抛物线y＝ax2（a＜0）的图象上，若正方形ABCO的边长为，且边OC与y轴的负半轴的夹角为15°，则a的值是 　　．
【解答】解：如图，连接OB，
∵四边形OABC是边长为的正方形，
∴∠BOC＝45°，OB＝2，
过点B作BD⊥y轴于D，
∵边OC与y轴的负半轴的夹角为15°，
∴∠BOD＝45°﹣15°＝30°，
∴BDOB＝1，
∴OD，
∴点B的坐标为（﹣1，），
∵点B在抛物线y＝ax2（a＜0）的图象上，
∴a（﹣1）2，
解得a．
故答案为：．
16．（2025 东营区模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：与直线交于点A1，过A1作x轴的垂线，垂足为B1，过B1作l2的平行线交l1于A2，过A2作x轴的垂线，垂足为B2，过B2作l2的平行线交l1于A3，过A3作x轴的垂线，垂足为B3…按此规律，则点A2025的纵坐标为 　（）2025．　．
【解答】解：联立直线l1与直线l2的表达式并解得：x，y，故A1（，）；
则点B1（，0），则直线B1A2的表达式为：yx+b，
将点B1坐标代入上式并解得：直线B1A2的表达式为：y3x，
将表达式y3与直线l1的表达式联立并解得：x，y，即点A2的纵坐标为；
同理可得A3的纵坐标为，
…按此规律，则点A2025的纵坐标为（）2025，
故答案为：（）2025．
三．解答题（共8小题）
17．（2025 东港区校级模拟）（1）解不等式组，并将解集表示在所给的数轴上．
（2）先化简，再求值：，从1，2，3三个数中选择一个合适的数代入求值．
【解答】解：（1），
解不等式①得：x＞2，
解不等式②得：x≤4，
∴不等式组的解集是：2＜x≤4，
解集在数轴上表示如下：
（2）原式[]

，
∵a＝2，3时，分式无意义，
∴a＝1，
当a＝1时，原式．
18．（2025 市北区三模）青岛二十六中某班举办了一场摸牌游戏，由甲乙同学两人进行．现有5张形状大上完全相同的牌，正面分别标有数字﹣1，2，3，5，6，将五张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．甲从中随机抽取一张牌，乙再随机抽取一张．
（1）请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率；
（2）若两人抽取的数字差的绝对值等于1，则甲获取；若抽取的数字差的绝对值大于1，则乙获胜，这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释．
【解答】解：（1）画树状图如下：
共有25种等可能的情况数，其中两人抽取相同数字的有5种，
则两人抽取相同数字的概率是；
（2）因为共有25种等可能的情况数，其中两人抽取的数字差的绝对值等于1的有|2﹣3|＝1，|3﹣2|＝1，|6﹣5|＝1，|5﹣6|＝1共有4种情况，
抽取的数字差的绝对值大于1的|﹣1﹣2|＝3，|﹣1﹣3|＝4，|﹣1﹣5|＝6，|﹣1﹣6|＝7，|2+1|＝3，|2﹣5|＝3，|2﹣6|＝4，|3+1|＝4，|3﹣5|＝2，|3﹣6|＝3，|5+1|＝6，|5﹣2|＝3，|5﹣3|＝2，|6+1|＝7，|6﹣2|＝4，|6﹣3|＝2，共有16种情况，
所以甲胜的概率是，乙胜的概率是，
∵，
∴这个游戏不公平．
19．（2025 东港区校级模拟）莒国古城北门为拱辰门，曾名“景泰门”，清康熙后改此名．“拱辰”者，典出《论语》：“为政以德，譬如北辰，居其所而众星共（拱）之”．意指有德的国君在位，得到天下臣民的拥戴，寓意着“拱卫北辰，四方归向”．拱辰门作为莒县古城的地标性建筑，明清风格的建筑和独特的地理位置，吸引着不少游客在此拍照打卡．莒子中学学生利用测角仪、皮尺等测量工具开展测量拱辰门楼的活动，测量步骤：第一步，利用测角仪站在B处测得城门楼最高点P的仰角为39°；第二步，前进了7米到达A处（点A，B，O在同一水平线上，测角仪高度忽略不计）在A处测得P点的仰角为56°．请根据测量数据，计算拱辰门楼PO的高度（结果保留整数）
参考数据：sin39°≈0.6，cos39°≈0.8，tan39°≈0.8，sin56°≈0.8，cos56°≈0.6，tan56°≈1.5．
【解答】解：由题意得：PO⊥OB，AB＝7米，
设OA＝x米，
∴OB＝OA+AB＝（x+7）米，
在Rt△OPB中，∠B＝39°，
∴OP＝OB tan39°＝0.8（x+7）米，
在Rt△OPA中，∠OAP＝56°，
∴OP＝OA tan56°≈1.5x（米），
∴1.5x＝0.8（x+7），
解得：x＝8，
∴OP＝1.5x＝12（米），
∴拱辰门楼PO的高度为12米．
20．（2025 垦利区二模）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，CD＝CB，AC，BD相交于点E，过点C作CF∥BD，CF与AB的延长线相交于点F，连接AD．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，BC＝6，求AD的长．
【解答】（1）证明：连接OD，连接OC交BD于M，
∵CD＝CB，
∴，
∴∠COD＝∠COB，
∵OD＝OB，
∴OC⊥BD，DM＝BM，
∵CF∥BD，
∴半径OC⊥CF，
∴CF是⊙O的切线；
（2）解：设OM＝x，
∵OCAB＝5，
∴MC＝5﹣x，
∵BM2＝BC2﹣CM2＝OB2﹣OM2，
∴62﹣（5﹣x）2＝52﹣x2，
∴x＝1.4，
∵AO＝OB，DM＝BM，
∴OM是△BAD的中位线，
∴AD＝2OM＝2x＝2.8．
21．（2025 青岛三模）为美化校园，某校需补栽甲、乙两种花苗，经咨询，每株甲种花苗比每株乙种花苗的零售价多5元．已知用零售价购买相同数量的甲、乙两种花苗，需分别花费100元、50元．
（1）求甲、乙两种花苗的零售价．
（2）该校预计购买这两种花苗共1000株，且甲种花苗的数量不少于乙种花苗数量的，商家提供了甲、乙两种花苗的批发价分别为8元/株、2元/株．与零售价相比较，通过批发价购买这两种花苗可节约资金W元．设通过批发价购买a株甲种花苗，求W与a之间的函数关系式，并求节约资金总额的最大值．
【解答】解：（1）设甲种花苗的零售价为m元，则乙种花苗的零售价为（m﹣5）元，
根据题意得：，
解得m＝10，
经检验，m＝10是原方程的解，符合题意；
∴m﹣5＝10﹣5＝5，
∴甲种花苗的零售价为10元，乙种花苗的零售价为5元；
（2）∵甲种花苗的数量不少于乙种花苗数量的，
∴a（1000﹣a），
解得a≥250；
根据题意得W＝（10﹣8）a+（5﹣2）（1000﹣a）＝﹣a+3000，
∵﹣1＜0，
∴W随a的增大而减小，
∴当a＝250时，W取最大值，最大值为﹣250+3000＝2750（元），
∴W与a之间的函数关系式为W＝﹣a+3000，节约资金总额的最大值是2750元．
22．（2023 巨野县三模）如图，反比例函数y（m≠0）与一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象交于点A（1，3），点B（n，1），一次函数y＝kx+b（k≠0）图象与y轴相交于点 C．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）连接OA、OB，求△OAB的面积．
【解答】解：（1）将点A（1，3）代入，得：m＝3，
∴反比例函数的表达式为：，
将B（n，1）代入，得：n＝3，
∴点B的坐标为（3，1），
将A（1，3），B（3，1）代入y＝kx+b，
得：，解得：，
∴一次函数的表达式为：y＝﹣x+4．
（2）设一次函数y＝﹣x+4与x轴交于点D，
过点A作AE⊥y轴于E，过点B作BF⊥x轴于F，
对于y＝﹣x+4，当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝4，
∴点C（0，4），点D（4，0），
∴OC＝4，OD＝4，
又点A（1，3），B（3，1），
∴AE＝1，BF＝1，
∴，，
又∵，
∴S△OAB＝S△OCD﹣S△AOC﹣S△BOD＝8﹣2﹣2＝4．
23．（2025 青岛三模）在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC＝16cm，BD＝12cm．点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为2cm/s；点Q从点C出发，沿CO方向匀速运动，速度为1cm/s．若P、Q两点同时出发，过点Q作QM∥BC，交BD于点M，设运动时间为t（s）（0＜t≤4）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，PQ∥CD？
（2）设四边形AMQP的面积为S1，四边形PQCD的面积为S2，S＝S1﹣S2，求S关于t的函数关系式；并求出当t为何值时，S的值最大，最大值是多少？
（3）求是否存在某一时刻t，使点P在MQ的垂直平分线上？如果存在，求出此时t的值；如果不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）如图1，延长PQ交BC于点E，过点E作EF⊥AC，
∵AC＝16cm，BD＝12cm，菱形ABCD，
∴AC⊥BD，OB＝ODBD，OA＝OCAC，
∴AD＝10cm，CO＝8cm，
∴PD＝10﹣2t，
∵PQ∥DC，PD∥EC，
∴四边形PDCE是平行四边形，
∴PD＝EC＝10﹣2t，FCQC，
∵EF⊥AC，AC⊥BD，
∴EF∥BD，
∴Rt△CEF∽Rt△CBO，
∴，即，
∴t.
（2）如图2，过点P作PG⊥AC于点G，
∵S1＝S△AMQ+S△APQ，
S2＝S△ACD﹣S△APQ，
∴S＝S1﹣S2＝S△AMQ+2S△APQ﹣S△ACD，
∵OC＝8，CQ＝t，
∴OQ＝8﹣t，AQ＝16﹣t，
∵MQ∥BC，
∴，即，
∴MO＝6t，
∵PG⊥AC，AC⊥BD，AP＝2t，
∴PG∥BD，
∴Rt△APG∽Rt△ADO，
∴，
∴PGt，
∴S＝S△AMQ+2S△APQ﹣S△ACD
AQ OM+2AQ PGAC OD
（16﹣t）（6t）+2（16﹣t）t16×6
t（0＜t≤4），
∵4，且0＜t≤4，
∴S随t的增大而增大，
∴当t＝4时，S值最大，此时S．
（3）存在，t时，点P在MQ的垂直平分线上．
如图3，由（2）得：CQ＝t cm，OQ＝8﹣t，AP＝2t cm，
∴DP＝（10﹣2t）cm，MQ（8﹣t）cm，
∵PN垂直平分MQ，
∴MNMQ（8﹣t）cm，∠MNK＝90°，
∵MQ∥BC，
∴∠KMN＝∠OBC，BMt，
∴△KMN∽△CBO，
∴，即，
∴MK（8﹣t），
∴DK＝BD﹣BM﹣MK＝12t（8﹣t）t，
∵MQ∥AD，
∴△KDP∽△KMN，
∴△KDP∽△CBO，
∴，
∴DPDK（t）cm，
∴（t）＝10﹣2t，
解得：t．
24．（2025 东港区校级模拟）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（﹣1，0），B两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图1，点P为第一象限抛物线上一点，且满足△PBC的面积与△ABC的面积相等，求直线AP的解析式；
（3）在（2）的条件下，设E是直线BC上一点，点P关于AE的对称点为点P，试探究，是否存在满足条件的点E，使得点P′恰好落在直线BC上，如果存在，求出点P'的坐标；如果不存在，请说明理由．
（4）如图2，点D是抛物线的顶点，过点D作直线DH∥y轴，交x轴于点H，当点M在第二象限抛物线上时，作直线MA，MB分别与直线DH交于点G和点I，请直接写出的值．
【解答】解：（1）由点C的坐标知，c＝﹣3，
则抛物线的表达式为：y＝x2+bx+3，
将点A的坐标代入上式得：0＝1﹣b﹣3，
解得：b＝﹣2；
∴抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵抛物线的解析式为 y＝x2﹣2x﹣3．
∴令y＝0，则 x2﹣2x﹣3＝0，得 x1＝﹣1，x2＝3．
∴B点的坐标为（3，0）．
∵S△PBC＝S△ABC，
∴AP∥BC．
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴直线BC的解析式为 y＝x﹣3，
∵AP∥BC，
∴可设直线AP的解析式为 y＝x+m．
∵A（﹣1，0）在直线AP上，
∴0＝﹣1+m．
∴m＝1．
∴直线AP的解析式为y＝x+1；
（3）存在，理由如下：
设P点坐标为（m，n）．
∵点P在直线y＝x+1和抛物线 y＝x2﹣2x﹣3 上，
∴n＝m+1，n＝m2﹣2m﹣3．
∴m+1＝m2﹣2m﹣3．
解得 m1＝4，m2＝﹣1 （舍去）．
∴点P的坐标为（4，5）．
由点P关于AE的对称点为点P′，得∠AEP＝∠AEP′，P′E＝PE．
∵AP∥BC，
∴∠PAE＝∠AEP'；
∴∠PAE＝∠PEA．
∴PE＝PA5，
设点E的坐标为（t，t﹣3），
即（t﹣4）2+（t﹣3﹣5）2＝（5）2，
∴t＝6±．
当t＝6时，
点E的坐标为：（6，3）．
设点P′（s，s﹣3），
由P′E＝PE＝5得：（s﹣6）2+（s﹣3﹣3）2＝（5）2，
解得：s＝1，
则点P′的坐标为：（1，﹣2）．
当t＝6时，同理可得，点P′的坐标为：（1，﹣2）．
综上所述，点P′的坐标为：（1，﹣2）或：（1，﹣2）．
（4）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点D的坐标为（1，﹣4），对称轴为直线x＝1．
设P（m，m2﹣2m﹣3），直线PB的解析式为y＝cx+d，
∴，
∴，
∴直线PB的解析式为y＝（m+1）x﹣3m﹣3，
当x＝1时，
y＝﹣2m﹣2，
∴I（1，﹣2m﹣2），
∴ID＝﹣2m﹣2﹣（﹣4）＝﹣2m+2．
设直线PA的解析式为y＝ex+f，
∴，
∴，
∴直线PA的解析式为y＝（m﹣3）x+m﹣3，
当x＝1时，
y＝2m﹣6，
∴G（1，2m﹣6），
∴DG＝﹣4﹣（2m﹣6）＝﹣2m+2，
∴ID＝DG，
∴．
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