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广西壮族自治区玉林市部分学校2025年九年级下学期数学中考三模试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．若零下3摄氏度记为，则零上3摄氏度记为（　　）
A． B． C． D．
2．中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于．将用科学记数法可以表示为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，，，是上的三点，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
5．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：
　 甲 乙 丙 丁
平均数（） 180 185 185 180
方差 8.1 7.4 3.6 3.6
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放（厚度忽略不计），若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．下列运算中，计算结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，正比函数的图象与一次函数的图象相交于点，则方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
10．高速公路的隧道和桥梁较多．如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以为圆心的圆的一部分，路面米，净高米，则此圆的半径（　　）
A．5米 B．6米 C．米 D．米
11．如图，某幢建筑物的高为米，一架航拍无人机从处测得该建筑物顶部的仰角为，测得底部的俯角为，则此时航拍无人机与该建筑物的水平距离为（　　）（结果精确到米，参考数据：，）
A．米 B．米 C．米 D．米
12．如图，菱形的四个顶点均在坐标轴上，对角线、交于原点，于点，交于点，反比例函数的图象经过线段的中点，若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分，把答案填在答题卡的横线上．）
13．分解因式：　 　.
14．从拼音“shuxue”的六个字母中随机抽取一个字母，抽中字母e的概率为　 　．
15．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为　 　．
16．如图，为正方形内一点，，垂足为，连接，，分别是，的中点，若，则的最小值是　 　．
三、解答题（本大题共7小题，满分共72分，解答过程写在答题卡上，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．（1）计算：．
（2）解方程：．
18．在中，，．
（1）尺规作图：在上求作一点，使得（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）在（1）的条件下，若，求的度数．
19．为进一步宣传防溺水知识，提高学生防溺水的能力，某校组织七、八年级各800名学生进行防溺水知识竞赛（满分100分）．现分别在七、八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩（单位：分）进行统计、整理如下：
七年级：86，90，79，84，74，93，76，81，90，87．
八年级：85，76，90，81，84，92，81，84，83，84．
七、八年级测试成绩频数统计表
　
七年级 3 4 3
八年级 1 2
七、八年级测试成绩分析统计表
　 平均数 中位数 众数 方差
七年级 84 85 36.4
八年级 84 84 18.4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）_____，_____，_____；
（2）按学生的实际成绩，从中位数和方差中选一个进行分析，你认为哪个年级的学生掌握防溺水知识的总体水平较好？请说明理由．
（3）如果把的记为“优秀”，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为“优秀”的学生共有多少人？
20．如图，在中，，是中的角平分线．的垂直平分线交于点，以点为圆心，为半径作，交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
21． “绿色出行，驾享未来”，近几年，新能源汽车得到了大力推广，该类汽车突出的环保特性，体现了作为未来主要交通方式的前瞻性和科技感．某校为了便于教职工进行新能源汽车充电，计划在长、宽的长方形空地修建一个新能源汽车停车场，并向学校的广大师生征集设计方案．
【资料收集】某班同学通过网络查阅资料和实地考察，确定采用“垂直式”或“倾斜式”两种车位类型进行设计，收集的相关材料及数据如下表：
类型 示意图 形状 边长（单位：）
垂直式车位 矩形
5.3 2.5
倾斜式车位 平行四边形
6 2.8
行车通道宽度不低于
【设计方案】依据收集的材料，同学们设计了如下两种方案：
【方案一分析】∵，
∴垂直式车位只能设计1行．
∵，
∴垂直式车位每行可以设计12个，
∴方案一共可以设计垂直式车位12个．
【方案二分析】（1）通过计算，判断方案二的设想是否合理，并计算方案二可以设计多少个停车位；（，）
【设计优化】（2）请结合以上数据及分析，设计一个停车位数量更多的方案，画出设计示意图，并说明理由．
22．我们约定：若两条抛物线与轴有两个相同的交点，且开口方向相反，我们就把两条抛物线构成的封闭曲线叫做“山水线”，如图所示．根据约定，解答下列问题：
（1）判断下列每组的两条抛物线是否构成“山水线”．若是，请在横线上画“√”；若不是，请在横线上画“×”．
①和；________
②和；________
③和．________
（2）若抛物线和抛物线恰好构成“山水线”，求的值．
（3）若抛物线和构成的“山水线”关于轴对称，该“山水线”与轴交于点，，点在点左侧．设点，是线段上的动点，过点作轴的垂线交该“山水线”于点，，过点作轴的垂线交该“山水线”于点，，点，在轴下方．试探究：是否存在以线段长为斜边、线段，长为直角边的等腰直角三角形？若存在，请求出该三角形的面积；若不存在，请说明理由．
23．在数学综合实践课上，李老师以三角形折叠为主题开展数学活动．
（1）特例感知
如图1，折叠等边三角形纸片，使点与边中点重合，折痕为，分别交边、边于点、点．
①求的度数．
②求证：为等边三角形．
（2）性质梳理
如图2，等腰三角形纸片，，折叠该纸片，使点落在边上的点处，折痕为，分别交边、边于点、点．若，，求的面积．
（3）深度探究
如图3，折叠（，为锐角）纸片，使点落在的下方点处，折痕分别交边、边于点、点，线段、与分别交于点、点，若，点、点到的距离相等，求证：．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：若零下3摄氏度记为，则零上3摄氏度记为．
故选：A．
【分析】本题考查相反意义的量与正负数的表示，正负数用于区分意义相反的量，零下温度用负数表示，零上温度就用正数表示，因此零上3摄氏度记为。
2．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A不是中心对称图形；
B、不是中心对称图形；
C、不是中心对称图形；
D、是中心对称图形．
故选：D．
【分析】
根据中心对称图形的概念即可求解．
3．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：用科学记数法表示为，故A正确．
故选：A．
【分析】本题考查绝对值小于1的数的科学记数法表示，形式为（，为原数左边第一个非零数字前0的个数），中，，故表示为。
4．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：是所对的圆周角，是所对的圆心角，
，
，
．
故选：C．
【分析】本题考查圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，是弧所对圆周角，是弧所对圆心角，因此，代入计算即可。
5．【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
6．【答案】C
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：甲，丁的平均数相同，方差小的成绩稳定，
所以丁的成绩稳定；
乙，丙的平均数相同，方差小的成绩稳定，
所以丙的成绩稳定，
丙，丁的方差相同，丙的平均数大，
所以丙的成绩好且发挥稳定．
故选：C．
【分析】本题考查平均数与方差的实际应用，平均数反映成绩好坏，方差反映数据稳定性，方差越小越稳定，先比较平均数筛选成绩好的选手，再比较方差确定发挥稳定的选手。
7．【答案】D
【知识点】等腰直角三角形；平行线的应用-求角度；平行线的应用-三角尺问题
8．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A选项错误；
B、，故B选项错误；
C、，故C选项正确；
D、与不是同类项，无法合并，故D选项错误.
故答案为：C.
【分析】根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断A；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可判断B；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断C；整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，据此可判断D.
9．【答案】B
【知识点】一次函数的概念；一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：由正比函数的图象与一次函数的图象相交于点，且点横坐标为，得，
于是得到点，
∴方程组的解为，
故选：B．
【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系，两个一次函数图象的交点坐标就是对应方程组的解，先根据正比例函数解析式与点横坐标求出交点坐标，即为方程组的解。
10．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵且经过点O，
∴米，
∵米，
∴米，
在中根据勾股定理可得：
，
即 ，
解得：米，
故选：C．
【分析】本题考查垂径定理与勾股定理的综合应用，由垂径定理得，设半径，则，在中用勾股定理列方程求解。
11．【答案】D
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形—含30°角直角三角形；正切的概念
【解析】【解答】解：由题：，，
∴在中：，
∴在中：，
，
，
解得：（米）；
故答案为：．
【分析】
将已知条件建筑物BC的高度为40米，从A处测得顶部B的仰角为 30 ，从A处测得底部C的俯角为 60 转化为，，BC=40，根据特殊角的三角函数（正切）用表示、长，后根据即可求解．
12．【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质；反比例函数-动态几何问题；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解∶四边形为菱形，
， ．
．
点C在x轴上，
点C的纵坐标为0．
点N为的中点，
点N的纵坐标为1，
设点，
点N在反比例函数反比例函数的图象上，
，解得．
．
．
．
在中，．
．
．
在菱形中，，．
，．
，
．
在中，．
故选：A．
【分析】本题考查菱形性质、反比例函数与解直角三角形，先由菱形性质得，结合中点在反比例函数上求出坐标，进而得到点坐标，再利用三角函数求出菱形内角，最后在直角三角形中计算长度。
13．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：ab+4a=a(b+4).
故答案为：a(b+4).
【分析】由于多项式的两项含有公因式a，故直接利用提取公因式法分解因式即可.
14．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：拼音“shuxue”的六个字母中，字母e有1个，
∴从拼音“shuxue”的六个字母中随机抽取一个字母，抽中字母e的概率为，
故答案为：．
【分析】本题考查简单概率计算，概率等于所求情况数与总情况数之比，总共有6个字母，字母只有1个，因此抽中的概率为。
15．【答案】且
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，
∴且，
解得：且，
故答案为：且．
【分析】本题考查一元二次方程的定义与根的判别式，一元二次方程二次项系数不为0，且有实数根时判别式，据此列不等式组求解的范围。
16．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形的中位线定理；圆-动点问题；定角定弦辅助圆模型
17．【答案】（1）解：
；
（2），
方程两边乘以，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：，
经检验，是原分式方程的增根，故原分式方程无解．
【知识点】负整数指数幂；解分式方程；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】(1)本题考查有理数混合运算与负整数指数幂，先算乘方、负整数指数幂和括号内运算，再算乘法最后算减法；
(2)本题考查分式方程解法，先去分母化为整式方程，求解后检验根是否为增根。
18．【答案】（1）解：如图，点即为所求；
（2）解：，且，，
，
，
由（1）知，，
，
，
，
即，
，
答：的度数为．
【知识点】三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；直角三角形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】(1)本题考查尺规作图与线段垂直平分线性质，作的垂直平分线交于，即可满足；
(2)本题考查三角形外角性质与直角三角形角度计算，利用外角性质推出角的等量关系，结合直角三角形两锐角互余计算角度。
（1）解：如图，点即为所求；
（2）解：，且，，
，
，
由（1）知，，
，
，
，
即，
，
答：的度数为．
19．【答案】（1）7，90，84
（2）解：八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差，
八年级的学生掌握防溺水知识的总体水平较好（答案不唯一）；
（3）解：（名），答：估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为“优秀”的学生共有640名．
【知识点】频数（率）分布表；中位数；方差；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：分别在七、八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩，
；
七年级10名学生成绩中出现次数最多的是90，因此众数；
把八年级10名学生的测试成绩排好顺序为：76，81，81，83，84，84，84，85，90，92，
根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为，
故答案为：7，90，84；
【分析】本题考查统计量的计算与样本估计总体。
（1）根据数据总数求出，按众数、中位数定义求出、；
（2）方差越小数据越稳定，据此判断年级水平；
（3）用样本优秀率乘以总人数估计优秀人数。
（1）解：分别在七、八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩，
；
七年级10名学生成绩中出现次数最多的是90，因此众数；
把八年级10名学生的测试成绩排好顺序为：76，81，81，83，84，84，84，85，90，92，
根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为，
故答案为：7，90，84；
（2）解：八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差，
八年级的学生掌握防溺水知识的总体水平较好（答案不唯一）；
（3）解：（名），
答：估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为“优秀”的学生共有640名．
20．【答案】（1）证明：连接，
的垂直平分线交于点，
，
点在上，且，
是的角平分线，
，且点在上，
，
，
，
，
于点.
是的半径，
是的切线；
（2）解：设的半径为，
在中，，，，
，
，
，
解得：，
，，，
，
，
，
，
．
【知识点】线段垂直平分线的性质；切线的判定；解直角三角形—边角关系；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
21．【答案】解：（1）方案二的设计合理，理由如下：
如答图1，过点作，交的延长线于点，则．
在平行四边形中，，
∴．
在中，，，
∴，，
∴．
∵行车通道宽度不低于，
∴，
∴倾斜式车位可以设计2行，方案二的设计合理．
∵，
∴倾斜式车位每行可以设计10个，
∴方案二可以设计倾斜式车位共20个．
（2）设计优化：垂直式车位设计1行，倾斜式车位设计1行，理由如下：
如答图2所示．
∵，
∴可以设计一行垂直式车位，一行倾斜式车位．
垂直式车位每行可以设计12个，
倾斜式车位每行可以设计10个，
该方案可以设计停车位22个．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点作，交的延长线于点，则，根据平行四边形性质可得，解直角三角形可得HM，再根据题意，结合有理数的混合运算进行判断即可求出答案.
（2）根据，则可以设计一行垂直式车位，一行倾斜式车位，那么该方案可以设计停车位22.
22．【答案】（1）①×，②√；③√；
（2）解：依题意，，∴当时，则，
∴，
∴抛物线与轴的交点的坐标为；
抛物线和抛物线恰好构成“山水线”
∴抛物线和抛物线的交点为，且开口方向相反，
，
，
.
（3）解：存在，理由如下：若存在以线段长为斜边、线段长为直角边的等腰直角三角形，
则，
点，关于对称轴对称，
对称轴为直线，对称轴为直线，
，
∴
抛物线和构成“山水线”关于轴对称，
，
，
，
当时，
，
，
，
，
，
∴
令，
则，
，
解得（负值舍去），
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；二次函数-动态几何问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】（1）解：依题意，①的图象开口向上，
当时，则，
解得；
即抛物线与轴的交点的坐标为；
的图象开口向下，
当时，则，
∴，
解得；
即抛物线与轴的交点的坐标为；
∴和这两条抛物线不构成“山水线”；
故答案为：×；
②的图象开口向下，
则则
解得
的图象开口向上，
则则
解得
∴和这两条抛物线构成“山水线”；
故答案为：√
③的图象开口向上，
则，
当时，则，
∴，
即抛物线与轴的交点的坐标为；
则的开口方向向下，
∴当时，则，
∴
∴，
即抛物线与轴的交点的坐标为；
∴抛物线与这两条抛物线构成“山水线”；
故答案为：√；
【分析】本题考查二次函数的图象性质与新定义应用。
（1）根据题意判断抛物线与x轴交点和开口方向是否符合“山水线”定义；
（2）根据定义确定抛物线解析式形式，代入计算代数式的值；
（3）结合轴对称、等腰直角三角形性质探究存在性并计算面积。
（1）解：依题意，①的图象开口向上，
当时，则，
解得；
即抛物线与轴的交点的坐标为；
的图象开口向下，
当时，则，
∴，
解得；
即抛物线与轴的交点的坐标为；
∴和这两条抛物线不构成“山水线”；
故答案为：×；
②的图象开口向下，
则则
解得
的图象开口向上，
则则
解得
∴和这两条抛物线构成“山水线”；
故答案为：√
③的图象开口向上，
则，
当时，则，
∴，
即抛物线与轴的交点的坐标为；
则的开口方向向下，
∴当时，则，
∴
∴，
即抛物线与轴的交点的坐标为；
∴抛物线与这两条抛物线构成“山水线”；
故答案为：√；
（2）解：依题意，，
∴当时，则，
∴，
∴抛物线与轴的交点的坐标为；
抛物线和抛物线恰好构成“山水线”
∴抛物线和抛物线的交点为，且开口方向相反，
，
，
.
（3）解：存在，理由如下：
若存在以线段长为斜边、线段长为直角边的等腰直角三角形，
则，
点，关于对称轴对称，
对称轴为直线，对称轴为直线，
，
∴
抛物线和构成“山水线”关于轴对称，
，
，
，
当时，
，
，
，
，
，
∴
令，
则，
，
解得（负值舍去），
23．【答案】（1）解：①等边三角形，点为的中点，
，
，
；
，
②证明：，
同理①得，
为等边三角形；
（2），
，
折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的点处，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
，解得，
，，
．
（3）如图，作，，，分别交于，，．
，
，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，同理可得：，
．
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】本题考查等边三角形、等腰三角形性质与折叠的综合应用。
(1)利用等边三角形性质与折叠对称性求角度、证等边三角形；
(2)由折叠得边相等，在直角三角形中用勾股定理求边长再算面积；
(3)作垂线证三角形全等，推出线段倍数关系，证明。
（1）解：①等边三角形，点为的中点，
，
，
；
，
②证明：，
同理①得，
为等边三角形；
（2），
，
折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的点处，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
，解得，
，，
．
（3）如图，作，，，分别交于，，．
，
，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，同理可得：，
．
1 / 1广西壮族自治区玉林市部分学校2025年九年级下学期数学中考三模试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．若零下3摄氏度记为，则零上3摄氏度记为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：若零下3摄氏度记为，则零上3摄氏度记为．
故选：A．
【分析】本题考查相反意义的量与正负数的表示，正负数用于区分意义相反的量，零下温度用负数表示，零上温度就用正数表示，因此零上3摄氏度记为。
2．中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A不是中心对称图形；
B、不是中心对称图形；
C、不是中心对称图形；
D、是中心对称图形．
故选：D．
【分析】
根据中心对称图形的概念即可求解．
3．我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于．将用科学记数法可以表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：用科学记数法表示为，故A正确．
故选：A．
【分析】本题考查绝对值小于1的数的科学记数法表示，形式为（，为原数左边第一个非零数字前0的个数），中，，故表示为。
4．如图，，，是上的三点，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：是所对的圆周角，是所对的圆心角，
，
，
．
故选：C．
【分析】本题考查圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，是弧所对圆周角，是弧所对圆心角，因此，代入计算即可。
5．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
6．如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：
　 甲 乙 丙 丁
平均数（） 180 185 185 180
方差 8.1 7.4 3.6 3.6
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：甲，丁的平均数相同，方差小的成绩稳定，
所以丁的成绩稳定；
乙，丙的平均数相同，方差小的成绩稳定，
所以丙的成绩稳定，
丙，丁的方差相同，丙的平均数大，
所以丙的成绩好且发挥稳定．
故选：C．
【分析】本题考查平均数与方差的实际应用，平均数反映成绩好坏，方差反映数据稳定性，方差越小越稳定，先比较平均数筛选成绩好的选手，再比较方差确定发挥稳定的选手。
7．一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放（厚度忽略不计），若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等腰直角三角形；平行线的应用-求角度；平行线的应用-三角尺问题
8．下列运算中，计算结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A选项错误；
B、，故B选项错误；
C、，故C选项正确；
D、与不是同类项，无法合并，故D选项错误.
故答案为：C.
【分析】根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断A；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可判断B；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断C；整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，据此可判断D.
9．如图，正比函数的图象与一次函数的图象相交于点，则方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数的概念；一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：由正比函数的图象与一次函数的图象相交于点，且点横坐标为，得，
于是得到点，
∴方程组的解为，
故选：B．
【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系，两个一次函数图象的交点坐标就是对应方程组的解，先根据正比例函数解析式与点横坐标求出交点坐标，即为方程组的解。
10．高速公路的隧道和桥梁较多．如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以为圆心的圆的一部分，路面米，净高米，则此圆的半径（　　）
A．5米 B．6米 C．米 D．米
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵且经过点O，
∴米，
∵米，
∴米，
在中根据勾股定理可得：
，
即 ，
解得：米，
故选：C．
【分析】本题考查垂径定理与勾股定理的综合应用，由垂径定理得，设半径，则，在中用勾股定理列方程求解。
11．如图，某幢建筑物的高为米，一架航拍无人机从处测得该建筑物顶部的仰角为，测得底部的俯角为，则此时航拍无人机与该建筑物的水平距离为（　　）（结果精确到米，参考数据：，）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】D
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形—含30°角直角三角形；正切的概念
【解析】【解答】解：由题：，，
∴在中：，
∴在中：，
，
，
解得：（米）；
故答案为：．
【分析】
将已知条件建筑物BC的高度为40米，从A处测得顶部B的仰角为 30 ，从A处测得底部C的俯角为 60 转化为，，BC=40，根据特殊角的三角函数（正切）用表示、长，后根据即可求解．
12．如图，菱形的四个顶点均在坐标轴上，对角线、交于原点，于点，交于点，反比例函数的图象经过线段的中点，若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质；反比例函数-动态几何问题；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解∶四边形为菱形，
， ．
．
点C在x轴上，
点C的纵坐标为0．
点N为的中点，
点N的纵坐标为1，
设点，
点N在反比例函数反比例函数的图象上，
，解得．
．
．
．
在中，．
．
．
在菱形中，，．
，．
，
．
在中，．
故选：A．
【分析】本题考查菱形性质、反比例函数与解直角三角形，先由菱形性质得，结合中点在反比例函数上求出坐标，进而得到点坐标，再利用三角函数求出菱形内角，最后在直角三角形中计算长度。
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分，把答案填在答题卡的横线上．）
13．分解因式：　 　.
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：ab+4a=a(b+4).
故答案为：a(b+4).
【分析】由于多项式的两项含有公因式a，故直接利用提取公因式法分解因式即可.
14．从拼音“shuxue”的六个字母中随机抽取一个字母，抽中字母e的概率为　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：拼音“shuxue”的六个字母中，字母e有1个，
∴从拼音“shuxue”的六个字母中随机抽取一个字母，抽中字母e的概率为，
故答案为：．
【分析】本题考查简单概率计算，概率等于所求情况数与总情况数之比，总共有6个字母，字母只有1个，因此抽中的概率为。
15．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为　 　．
【答案】且
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，
∴且，
解得：且，
故答案为：且．
【分析】本题考查一元二次方程的定义与根的判别式，一元二次方程二次项系数不为0，且有实数根时判别式，据此列不等式组求解的范围。
16．如图，为正方形内一点，，垂足为，连接，，分别是，的中点，若，则的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形的中位线定理；圆-动点问题；定角定弦辅助圆模型
三、解答题（本大题共7小题，满分共72分，解答过程写在答题卡上，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．（1）计算：．
（2）解方程：．
【答案】（1）解：
；
（2），
方程两边乘以，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：，
经检验，是原分式方程的增根，故原分式方程无解．
【知识点】负整数指数幂；解分式方程；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】(1)本题考查有理数混合运算与负整数指数幂，先算乘方、负整数指数幂和括号内运算，再算乘法最后算减法；
(2)本题考查分式方程解法，先去分母化为整式方程，求解后检验根是否为增根。
18．在中，，．
（1）尺规作图：在上求作一点，使得（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）在（1）的条件下，若，求的度数．
【答案】（1）解：如图，点即为所求；
（2）解：，且，，
，
，
由（1）知，，
，
，
，
即，
，
答：的度数为．
【知识点】三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；直角三角形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】(1)本题考查尺规作图与线段垂直平分线性质，作的垂直平分线交于，即可满足；
(2)本题考查三角形外角性质与直角三角形角度计算，利用外角性质推出角的等量关系，结合直角三角形两锐角互余计算角度。
（1）解：如图，点即为所求；
（2）解：，且，，
，
，
由（1）知，，
，
，
，
即，
，
答：的度数为．
19．为进一步宣传防溺水知识，提高学生防溺水的能力，某校组织七、八年级各800名学生进行防溺水知识竞赛（满分100分）．现分别在七、八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩（单位：分）进行统计、整理如下：
七年级：86，90，79，84，74，93，76，81，90，87．
八年级：85，76，90，81，84，92，81，84，83，84．
七、八年级测试成绩频数统计表
　
七年级 3 4 3
八年级 1 2
七、八年级测试成绩分析统计表
　 平均数 中位数 众数 方差
七年级 84 85 36.4
八年级 84 84 18.4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）_____，_____，_____；
（2）按学生的实际成绩，从中位数和方差中选一个进行分析，你认为哪个年级的学生掌握防溺水知识的总体水平较好？请说明理由．
（3）如果把的记为“优秀”，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为“优秀”的学生共有多少人？
【答案】（1）7，90，84
（2）解：八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差，
八年级的学生掌握防溺水知识的总体水平较好（答案不唯一）；
（3）解：（名），答：估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为“优秀”的学生共有640名．
【知识点】频数（率）分布表；中位数；方差；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：分别在七、八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩，
；
七年级10名学生成绩中出现次数最多的是90，因此众数；
把八年级10名学生的测试成绩排好顺序为：76，81，81，83，84，84，84，85，90，92，
根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为，
故答案为：7，90，84；
【分析】本题考查统计量的计算与样本估计总体。
（1）根据数据总数求出，按众数、中位数定义求出、；
（2）方差越小数据越稳定，据此判断年级水平；
（3）用样本优秀率乘以总人数估计优秀人数。
（1）解：分别在七、八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩，
；
七年级10名学生成绩中出现次数最多的是90，因此众数；
把八年级10名学生的测试成绩排好顺序为：76，81，81，83，84，84，84，85，90，92，
根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为，
故答案为：7，90，84；
（2）解：八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差，
八年级的学生掌握防溺水知识的总体水平较好（答案不唯一）；
（3）解：（名），
答：估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为“优秀”的学生共有640名．
20．如图，在中，，是中的角平分线．的垂直平分线交于点，以点为圆心，为半径作，交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：连接，
的垂直平分线交于点，
，
点在上，且，
是的角平分线，
，且点在上，
，
，
，
，
于点.
是的半径，
是的切线；
（2）解：设的半径为，
在中，，，，
，
，
，
解得：，
，，，
，
，
，
，
．
【知识点】线段垂直平分线的性质；切线的判定；解直角三角形—边角关系；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
21． “绿色出行，驾享未来”，近几年，新能源汽车得到了大力推广，该类汽车突出的环保特性，体现了作为未来主要交通方式的前瞻性和科技感．某校为了便于教职工进行新能源汽车充电，计划在长、宽的长方形空地修建一个新能源汽车停车场，并向学校的广大师生征集设计方案．
【资料收集】某班同学通过网络查阅资料和实地考察，确定采用“垂直式”或“倾斜式”两种车位类型进行设计，收集的相关材料及数据如下表：
类型 示意图 形状 边长（单位：）
垂直式车位 矩形
5.3 2.5
倾斜式车位 平行四边形
6 2.8
行车通道宽度不低于
【设计方案】依据收集的材料，同学们设计了如下两种方案：
【方案一分析】∵，
∴垂直式车位只能设计1行．
∵，
∴垂直式车位每行可以设计12个，
∴方案一共可以设计垂直式车位12个．
【方案二分析】（1）通过计算，判断方案二的设想是否合理，并计算方案二可以设计多少个停车位；（，）
【设计优化】（2）请结合以上数据及分析，设计一个停车位数量更多的方案，画出设计示意图，并说明理由．
【答案】解：（1）方案二的设计合理，理由如下：
如答图1，过点作，交的延长线于点，则．
在平行四边形中，，
∴．
在中，，，
∴，，
∴．
∵行车通道宽度不低于，
∴，
∴倾斜式车位可以设计2行，方案二的设计合理．
∵，
∴倾斜式车位每行可以设计10个，
∴方案二可以设计倾斜式车位共20个．
（2）设计优化：垂直式车位设计1行，倾斜式车位设计1行，理由如下：
如答图2所示．
∵，
∴可以设计一行垂直式车位，一行倾斜式车位．
垂直式车位每行可以设计12个，
倾斜式车位每行可以设计10个，
该方案可以设计停车位22个．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点作，交的延长线于点，则，根据平行四边形性质可得，解直角三角形可得HM，再根据题意，结合有理数的混合运算进行判断即可求出答案.
（2）根据，则可以设计一行垂直式车位，一行倾斜式车位，那么该方案可以设计停车位22.
22．我们约定：若两条抛物线与轴有两个相同的交点，且开口方向相反，我们就把两条抛物线构成的封闭曲线叫做“山水线”，如图所示．根据约定，解答下列问题：
（1）判断下列每组的两条抛物线是否构成“山水线”．若是，请在横线上画“√”；若不是，请在横线上画“×”．
①和；________
②和；________
③和．________
（2）若抛物线和抛物线恰好构成“山水线”，求的值．
（3）若抛物线和构成的“山水线”关于轴对称，该“山水线”与轴交于点，，点在点左侧．设点，是线段上的动点，过点作轴的垂线交该“山水线”于点，，过点作轴的垂线交该“山水线”于点，，点，在轴下方．试探究：是否存在以线段长为斜边、线段，长为直角边的等腰直角三角形？若存在，请求出该三角形的面积；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）①×，②√；③√；
（2）解：依题意，，∴当时，则，
∴，
∴抛物线与轴的交点的坐标为；
抛物线和抛物线恰好构成“山水线”
∴抛物线和抛物线的交点为，且开口方向相反，
，
，
.
（3）解：存在，理由如下：若存在以线段长为斜边、线段长为直角边的等腰直角三角形，
则，
点，关于对称轴对称，
对称轴为直线，对称轴为直线，
，
∴
抛物线和构成“山水线”关于轴对称，
，
，
，
当时，
，
，
，
，
，
∴
令，
则，
，
解得（负值舍去），
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；二次函数-动态几何问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】（1）解：依题意，①的图象开口向上，
当时，则，
解得；
即抛物线与轴的交点的坐标为；
的图象开口向下，
当时，则，
∴，
解得；
即抛物线与轴的交点的坐标为；
∴和这两条抛物线不构成“山水线”；
故答案为：×；
②的图象开口向下，
则则
解得
的图象开口向上，
则则
解得
∴和这两条抛物线构成“山水线”；
故答案为：√
③的图象开口向上，
则，
当时，则，
∴，
即抛物线与轴的交点的坐标为；
则的开口方向向下，
∴当时，则，
∴
∴，
即抛物线与轴的交点的坐标为；
∴抛物线与这两条抛物线构成“山水线”；
故答案为：√；
【分析】本题考查二次函数的图象性质与新定义应用。
（1）根据题意判断抛物线与x轴交点和开口方向是否符合“山水线”定义；
（2）根据定义确定抛物线解析式形式，代入计算代数式的值；
（3）结合轴对称、等腰直角三角形性质探究存在性并计算面积。
（1）解：依题意，①的图象开口向上，
当时，则，
解得；
即抛物线与轴的交点的坐标为；
的图象开口向下，
当时，则，
∴，
解得；
即抛物线与轴的交点的坐标为；
∴和这两条抛物线不构成“山水线”；
故答案为：×；
②的图象开口向下，
则则
解得
的图象开口向上，
则则
解得
∴和这两条抛物线构成“山水线”；
故答案为：√
③的图象开口向上，
则，
当时，则，
∴，
即抛物线与轴的交点的坐标为；
则的开口方向向下，
∴当时，则，
∴
∴，
即抛物线与轴的交点的坐标为；
∴抛物线与这两条抛物线构成“山水线”；
故答案为：√；
（2）解：依题意，，
∴当时，则，
∴，
∴抛物线与轴的交点的坐标为；
抛物线和抛物线恰好构成“山水线”
∴抛物线和抛物线的交点为，且开口方向相反，
，
，
.
（3）解：存在，理由如下：
若存在以线段长为斜边、线段长为直角边的等腰直角三角形，
则，
点，关于对称轴对称，
对称轴为直线，对称轴为直线，
，
∴
抛物线和构成“山水线”关于轴对称，
，
，
，
当时，
，
，
，
，
，
∴
令，
则，
，
解得（负值舍去），
23．在数学综合实践课上，李老师以三角形折叠为主题开展数学活动．
（1）特例感知
如图1，折叠等边三角形纸片，使点与边中点重合，折痕为，分别交边、边于点、点．
①求的度数．
②求证：为等边三角形．
（2）性质梳理
如图2，等腰三角形纸片，，折叠该纸片，使点落在边上的点处，折痕为，分别交边、边于点、点．若，，求的面积．
（3）深度探究
如图3，折叠（，为锐角）纸片，使点落在的下方点处，折痕分别交边、边于点、点，线段、与分别交于点、点，若，点、点到的距离相等，求证：．
【答案】（1）解：①等边三角形，点为的中点，
，
，
；
，
②证明：，
同理①得，
为等边三角形；
（2），
，
折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的点处，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
，解得，
，，
．
（3）如图，作，，，分别交于，，．
，
，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，同理可得：，
．
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】本题考查等边三角形、等腰三角形性质与折叠的综合应用。
(1)利用等边三角形性质与折叠对称性求角度、证等边三角形；
(2)由折叠得边相等，在直角三角形中用勾股定理求边长再算面积；
(3)作垂线证三角形全等，推出线段倍数关系，证明。
（1）解：①等边三角形，点为的中点，
，
，
；
，
②证明：，
同理①得，
为等边三角形；
（2），
，
折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的点处，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
，解得，
，，
．
（3）如图，作，，，分别交于，，．
，
，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，同理可得：，
．
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