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广西南宁市第二中学2025年中考三模数学测试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．的相反数是（　　）
A． B． C． D．
2．随着人工智能技术的普及，出现众多具有广泛影响力的人工智能应用，以下是一些常见人工智能应用的图案，其中属于中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．从教育部获悉，我国已基本建成世界第一大教育教学资源库．国家中小学智慧教育平台现有资源超过110000条，其中110000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如表：
每批粒数n 400 600 1000 2000 3000
发芽的频率 0.955 0.950 0.948 0.956 0.950
则绿豆发芽的概率（精确到0.01）约为（　　）
A．0.90 B．0.94 C．0.95 D．0.96
5．如图，把直径为1个单位长度的圆沿数轴从原点无滑动地顺时针滚动一周，到达点A，此时点A表示的数是（　　）
A． B． C． D．
6．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．在中，，平分且交于点E，点F在边上，．则的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．《九章算术》是我国古代数学专著，其中第七章“盈不足”问题第一题“今有人共买物，人出八，盈三钱；人出七，不足四，问人几何？物几何？”意思是：“一群人一起买一物品，若每人出8钱，则多出3钱；若每人出7钱，则还差4钱”若设共人，则可以列方程为（　　）
A． B．
C． D．
9．广西斗笠是当地传统手工编织的实用雨具，其形状常可抽象成圆锥．如图，已知一广西斗笠的底面半径为，母线长，则该斗笠的侧面面积为（　　）
A． B． C． D．
10．在平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（　　）
A． B． C． D．
11．将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪出图⑤中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是（　　）
A．等腰三角形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
12．阅读材料：方程（b，c为常数）的两实根为，，所以方程可表示为．将等号左边展开得，与原方程对比，得到，．根据材料解决问题：一元三次方程（b，c，d为常数）的三个实根分别为，，，则（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．）
13．二次根式 中，x的取值范围是　 　．
14．一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售量如表所示．从众数的角度给这家鞋店提供建议，多进　 　的鞋子．（选择一个尺码）
尺码/cm 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25
销售量/双 1 2 5 11 7 3 1
15．如图，区间测速是指机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上的平均速度．汽车在高速路的测速区间的平均行驶速度v（单位：）与行驶时间t（单位：）是反比例函数关系．已知某测速区间长，此测速区间限速，则行驶时间t的范围为　 　．
16．如图，正方形的边长为2，点E在边上运动，连接并绕点D逆时针旋转得到，点E运动过程中，的最小值为　 　．
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
18．南宁是中国著名的水果产地，盛产香蕉和芒果．某水果商准备收购一批香蕉和芒果，运往外地销售．已知吨香蕉和吨芒果的收购成本为万元；吨香蕉和吨芒果的收购成本为万元．
（1）每吨香蕉和每吨芒果的收购成本各是多少万元？
（2）该水果商计划租用货车运输水果，货车公司规定：若运输总重量不超过吨，每吨运费元；若超过吨，超过部分每吨运费元．水果商希望运费不超过元，那么他最多能收购并运输多少吨水果？
19．如图，是的直径，点C是上除点A，B外的一点．点D是的中点，连接直线．
（1）尺规作图：过点D作所在直线的垂线段，垂足为点E．（要求：不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证：是的切线；
（3）延长与交于点F，已知，，求的半径．
20．某城市推行“绿色出行”宣传活动，五位评审对甲、乙、丙三位宣传志愿者的表现进行打分，相关得分数据整理如下统计图表．
平均数 中位数 方差
甲 9 9 a
乙 b
丙 c 8
根据以上信息，完成下列问题：
（1）直接写出a，b，c的值， ______， ______， ______；
（2）从三位选手中选一位进行表彰，你认为选谁更合适？请选择一个统计量进行说明；
（3）如果去掉一个最高分和一个最低分之后乙的中位数记为d，判断d与b的大小关系，并说明理由．
21．综合与实践
图1是某高铁二等座小桌板，它的设计需兼顾空间利用、结构稳定与乘客安全．图2是小桌板展开后的侧面示意图，其中为支架，为桌面的宽，调节椅背不会改变与的位置，与地面保持平行且．当椅背垂直于地面时，与的夹角为．
（，，，，，）
（1）求的度数；
（2）为保证小桌板结构稳定，支架能承受的最大力F为，F与满足，其中m是物体的质量，．求小桌板能放置物体的最大质量；
（3）图3是一圆柱形水杯放置于小桌板上的俯视图，底面圆心为点Q，点Q到的距离为；图4是此时小桌板的侧面示意图，水杯半径，支架，当椅背向后调节至处时，在水杯不被碰倒的情况下，其最大高度是多少？
22．【定义】有一个内角是的等腰三角形是黄金三角形，图和图是黄金三角形的两种分类．
【判定】（）如图，在中，，点在边上，且，，请写出图中存在的黄金三角形并说明理由；
【性质】（）在（）的条件下，若，求的长度；
【应用】（）如图，在中，，，求．
23．数学小组利用刻度尺对二次函数图象的相关性质进行研究．如图1，点为两条开口向上的抛物线的公共顶点，将刻度尺绕点旋转，与两条抛物线分别交于点，点（异于点）．
【猜想】学生先对，进行探究，对进行多次测量，部分数据如表：
（单位：） … …
（单位：） … 1 …
（1）猜想：与的数量关系是______．
【验证】（2）如图2，直线与二次函数，分别交于点，点．与的数量关系是什么？请完成填空，并补全推导过程．
证明：过点分别作轴于轴于．
设点的横坐标为，由点是，的交点，得，解得；
设点的横坐标为，由点是，的交点，得______，解得______．
又∵，∴______．
易证．
∴……
请完成证明过程．
【应用】（3）①如图3，若直线与抛物线，分别交于点，直线与抛物线，分别交于点，其中异于点．若关于轴对称点分别是，则线段与线段的数量关系是什么？请说明理由．
②若直线与抛物线相交于点，直线与抛物线相交于点，且，直接写出的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数是，
故答案为：A．
【分析】利用只有符号不同的两个数互为相反数解题．
2．【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、选项A的图案不是中心对称图形，所以此选项不符合题意；
B、选项B的图案是中心对称图形，所以此选项符合题意；
C、选项C的图案不是中心对称图形，所以此选项不符合题意；
D、选项D的图案不是中心对称图形，所以此选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义对每个选项逐一判断求解即可.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：；
故选B．
【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法形式为（，为整数），确定，再根据原数位数确定，即可得出结果。
4．【答案】C
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由表格可知：绿豆发芽的概率（精确到0.01）约为0.95；
故选C．
【分析】本题考查利用频率估计概率，大量重复试验下事件发生频率会稳定在概率附近，观察表格中发芽频率的稳定值，按要求精确即可。
5．【答案】B
【知识点】实数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：∵直径为1个单位长度的圆，
∴周长为，
由题意，点A表示的数是；
故选B．
【分析】本题考查实数与数轴的对应关系，先根据圆的周长公式算出周长为，圆滚动一周的长度即为点A到原点的距离，从而确定点A表示的数。
6．【答案】B
【知识点】单项式乘单项式；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故该选项不符合题意；
B、，故该选项符合题意；
C、，故该选项不符合题意；
D、，故该选项不符合题意；
故选：B．
【分析】根据单项式乘以单项式，积的乘方，完全平方公式，合并同类项法则逐项进行判断即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴；
故选B．
【分析】本题考查平行四边形的性质与判定，先利用平行四边形对边平行且相等、角平分线定义求出相关角度，再由推出，证明四边形是平行四边形，结合角度关系计算。
8．【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题；列一元一次方程
【解析】【解答】解：设共人，根据题意得：
；
故答案为：A．
【分析】
根据题干共人，由条件“一起买一物品，若每人出8钱，则多出3钱即8x+3；若每人出7钱，则还差4钱即7x+4”，列方程即可解答．
9．【答案】C
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：由题意，该斗笠的侧面面积为；
故答案为：C．
【分析】本题考查圆锥侧面积计算，直接套用圆锥侧面积公式，代入半径与母线长计算即可。
10．【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图象可知：不等式的解集为；
故答案为诶：B．
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，不等式的解集是直线在直线上方时对应的取值范围，结合图象交点坐标直接判断。
11．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；菱形的判定；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，由题意可知，剪下的图形是四边形BACD，
由折叠可知CA＝AB，
∴△ABC是等腰三角形，
又∵△ABC和△BCD关于直线BC对称，
∴CA＝AB=CD=BD，
∴四边形BACD是菱形，
故选：C．
【分析】由题意可知，剪下的图形是四边形BACD，由折叠可知CA＝AB，根据等腰三角形判定定理可得△ABC是等腰三角形，根据对称性质可得CA＝AB=CD=BD，再根据菱形判定定理即可求出答案.
12．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵一元三次方程（b，c，d为常数）的三个实根分别为，，，
∴方程可表示为：，
∴，
∴，
∴，，；故选项C正确，选项B，D错误；
∵，
∴；故选项A错误；
故选C．
【分析】本题考查多项式展开与方程根的关系，将一元三次方程写成的形式，展开后对比系数，确定根与系数的对应关系。
13．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】根据题意，得
，
解得， ，
故答案为： ．
【分析】根据二次根式有意义的条件，得到关于x的不等式，计算得到x的值即可。
14．【答案】23.5
【知识点】众数
【解析】【解答】解：由表可以看出，在鞋的尺码组成的数据中，23.5是这组数据的众数，即的鞋销售量最大．因此可以建议鞋店多进的鞋．
故答案为23.5．
【分析】本题考查众数的实际意义，众数是一组数据中出现次数最多的数，找出销售量最大的鞋码，即为建议多进的尺码。
15．【答案】
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：由题意得，，
∴v随t增大而减小，
当时，，
当时，，
∴当时，，
故答案为：．
【分析】本题考查反比例函数的实际应用，由可知与成反比，分别代入限速最值计算对应时间，确定的取值范围。
16．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形全等及其性质；正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：延长到，使，连接，
∵绕点D逆时针旋转得到，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴
∴，
∴，
∴点在直线上运动，
当时，最小，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵
∴当时，是等腰直角三角形，
∴．
故答案为：
【分析】本题考查正方形、旋转、全等三角形与垂线段最短，构造全等三角形确定点的运动轨迹，再根据垂线段最短，计算点到轨迹直线的垂直距离即为最小值。
17．【答案】解：（1），
，
；
（2）
，
，
，
∵，
∴原式．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；分式的化简求值
【解析】【分析】(1)本题考查有理数混合运算，遵循先括号内、再乘除、后加减的顺序计算；
(2)本题考查分式化简求值，先通分合并分子，再因式分解分母，将除法转化为乘法约分，最后代入值计算。
18．【答案】（1）解：每吨香蕉的收购成本是万元，每吨芒果的收购成本是万元，
∴，
∴，
∴每吨香蕉的收购成本是万元，每吨芒果的收购成本是万元；
（2）解：运输总重量不超过吨，每吨运费元，此时的总费用为元，
∵水果商希望运费不超过元，即，
∴运输总重量超过吨，
设运输总重量为吨，
∴，
解得，，
∴他最多能收购并运输吨水果．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)本题考查二元一次方程组的应用，设两种水果单价为未知数，根据两组成本条件列方程组求解；
(2)本题考查一元一次不等式的应用，先判断运输重量超过6吨，再按分段运费规则列不等式求解最大值。
（1）解：每吨香蕉的收购成本是万元，每吨芒果的收购成本是万元，
∴，
∴，
∴每吨香蕉的收购成本是万元，每吨芒果的收购成本是万元；
（2）解：运输总重量不超过吨，每吨运费元，此时的总费用为元，
∵水果商希望运费不超过元，即，
∴运输总重量超过吨，
设运输总重量为吨，
∴，
解得，，
∴他最多能收购并运输吨水果．
19．【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：连接，，如图；
∵是的直径，
∴，
由（1）可知：，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
∴且是半径，
∴是的切线；
（3）解：连接，由上易知：，
设，
∵，，
∴，
∴，
解得：，
∴的半径为6．
【知识点】勾股定理；切线的判定；尺规作图-垂线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】(1)本题考查尺规作垂线，按过直线外一点作已知直线垂线的方法作图；
(2)本题考查切线判定，连接半径，利用弧中点性质、直径所对圆周角为直角，证明即可；
(3)本题考查勾股定理应用，设半径为，在中列方程求解。
（1）解：如图所示：
（2）解：连接，，如图；
∵是的直径，
∴，
由（1）可知：，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
∴且是半径，
∴是的切线；
（3）解：连接，
由上易知：，
设，
∵，，
∴，
∴，
解得：，
∴的半径为6．
20．【答案】（1）；9；
（2）解：选择甲更合适，理由如下：因为甲的平均数，中位数，都是三人中最大的，且方差是三人中最小的，
∴选择甲更合适；
（3）解；，理由如下：
去掉一个最高分和一个最低分之后乙3个得分为9分，9分，9分，此时中位数为9分，即，则．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；平均数及其计算；中位数；方差
【解析】【解答】（1）解；由题意得，；
把乙5个得分按照从低到高排列为7分，9分，9分，9分，10分，
∴乙得分的中位数为9分，即；
；
故答案为：0.4；9；8.8
【分析】（1）根据方差的定义求出a，进而将乙5个得分按照从低到高排列，从而根据中位数的定义即可求解，再结合平均数进行计算即可；
（2）根据平均数、中位数、方差的定义结合题意即可求解；
（3）根据中位数的定义即可求解。
（1）解；由题意得，；
把乙5个得分按照从低到高排列为7分，9分，9分，9分，10分，
∴乙得分的中位数为9分，即；
；
（2）解：选择甲更合适，理由如下：
因为甲的平均数，中位数，都是三人中最大的，且方差是三人中最小的，
∴选择甲更合适；
（3）解；，理由如下：
去掉一个最高分和一个最低分之后乙3个得分为9分，9分，9分，此时中位数为9分，即，则．
21．【答案】（1）解：过点A作交与点D，
则，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，∴支架能承受的最大力F为，
则，
解得：，
则小桌板能放置物体的最大质量为．
（3）解：过点O作，过点A作交于点T，过点E作与点S，
则，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴中，
，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴在中，
，
∴．
即在水杯不被碰倒的情况下，其最大高度是．
【知识点】一元一次不等式的应用；矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用；直角三角形的性质
【解析】【分析】本题考查解直角三角形的实际应用。
(1)作辅助线构造直角三角形，利用互余关系求角度；
(2)代入公式列不等式求物体最大质量；
(3)多次构造直角三角形，结合矩形性质与三角函数计算水杯最大高度。
（1）解：过点A作交与点D，
则，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴支架能承受的最大力F为，
则，
解得：，
则小桌板能放置物体的最大质量为．
（3）解：过点O作，过点A作交于点T，过点E作与点S，
则，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴中，
，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴在中，
，
∴．
即在水杯不被碰倒的情况下，其最大高度是．
22．【答案】和均为黄多三角形；
理由如下：
，
，
设，
，
，
是的外角，
，
，
，
在中，，
，
解得：，
且，，
和均为黄多三角形；
，
，
，
，
，，
，
，
解得：或(不符合题意，舍去)，
的长度是；
解：如下图所示，过点作交于点，使，
由可知，，
是的外角，
，
，，
，
，
，
【知识点】等腰三角形的判定与性质；解直角三角形—边角关系；求余弦值；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】本题考查黄金三角形、相似三角形、三角函数综合。
(1)设角并利用等腰三角形与外角性质求角度，判定黄金三角形；
(2)证明三角形相似，列比例式解方程求边长；
(3)构造辅助线，结合黄金三角形边长关系求。
23．【答案】（1）
（2）
（3）①直线与抛物线分别交于点，
设点的横坐标为，则，，
∴，即，
解得，，
∴，
直线与抛物线分别交于点，
设点的横坐标为，则，，
∴，即，
解得，，
∴，
同理，直线与抛物线交于点，
∴，
直线与抛物线交于点，
∴，
∴关于轴对称点分别是，
∴，
∴；
②
【知识点】相似三角形的判定；二次函数与一次函数的综合应用；坐标系中的两点距离公式；一次函数的实际应用-几何问题；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）根据表格信息得到，；
（2）证明：过点分别作轴于轴于．
设点的横坐标为，由点是，的交点，得，
解得；
设点的横坐标为，由点是，的交点，得，
解得．
又∵，
∴
∴，即，
∴，
∴，即．
（3）②直线与抛物线相交于点，
∴，
解得，，
∴，
∴，
直线与抛物线相交于点，
，整理得，
解得，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【分析】本题考查一次函数与二次函数图象性质、相似三角形、两点间距离。
(1)根据表格数据猜想线段比例；
(2)设交点横坐标，联立函数解析式求参数，结合相似三角形推导线段比例；
(3)求交点坐标，计算线段长度并根据比例关系求参数。
1 / 1广西南宁市第二中学2025年中考三模数学测试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．的相反数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数是，
故答案为：A．
【分析】利用只有符号不同的两个数互为相反数解题．
2．随着人工智能技术的普及，出现众多具有广泛影响力的人工智能应用，以下是一些常见人工智能应用的图案，其中属于中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、选项A的图案不是中心对称图形，所以此选项不符合题意；
B、选项B的图案是中心对称图形，所以此选项符合题意；
C、选项C的图案不是中心对称图形，所以此选项不符合题意；
D、选项D的图案不是中心对称图形，所以此选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义对每个选项逐一判断求解即可.
3．从教育部获悉，我国已基本建成世界第一大教育教学资源库．国家中小学智慧教育平台现有资源超过110000条，其中110000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：；
故选B．
【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法形式为（，为整数），确定，再根据原数位数确定，即可得出结果。
4．绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如表：
每批粒数n 400 600 1000 2000 3000
发芽的频率 0.955 0.950 0.948 0.956 0.950
则绿豆发芽的概率（精确到0.01）约为（　　）
A．0.90 B．0.94 C．0.95 D．0.96
【答案】C
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由表格可知：绿豆发芽的概率（精确到0.01）约为0.95；
故选C．
【分析】本题考查利用频率估计概率，大量重复试验下事件发生频率会稳定在概率附近，观察表格中发芽频率的稳定值，按要求精确即可。
5．如图，把直径为1个单位长度的圆沿数轴从原点无滑动地顺时针滚动一周，到达点A，此时点A表示的数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】实数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：∵直径为1个单位长度的圆，
∴周长为，
由题意，点A表示的数是；
故选B．
【分析】本题考查实数与数轴的对应关系，先根据圆的周长公式算出周长为，圆滚动一周的长度即为点A到原点的距离，从而确定点A表示的数。
6．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】单项式乘单项式；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故该选项不符合题意；
B、，故该选项符合题意；
C、，故该选项不符合题意；
D、，故该选项不符合题意；
故选：B．
【分析】根据单项式乘以单项式，积的乘方，完全平方公式，合并同类项法则逐项进行判断即可求出答案.
7．在中，，平分且交于点E，点F在边上，．则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴；
故选B．
【分析】本题考查平行四边形的性质与判定，先利用平行四边形对边平行且相等、角平分线定义求出相关角度，再由推出，证明四边形是平行四边形，结合角度关系计算。
8．《九章算术》是我国古代数学专著，其中第七章“盈不足”问题第一题“今有人共买物，人出八，盈三钱；人出七，不足四，问人几何？物几何？”意思是：“一群人一起买一物品，若每人出8钱，则多出3钱；若每人出7钱，则还差4钱”若设共人，则可以列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题；列一元一次方程
【解析】【解答】解：设共人，根据题意得：
；
故答案为：A．
【分析】
根据题干共人，由条件“一起买一物品，若每人出8钱，则多出3钱即8x+3；若每人出7钱，则还差4钱即7x+4”，列方程即可解答．
9．广西斗笠是当地传统手工编织的实用雨具，其形状常可抽象成圆锥．如图，已知一广西斗笠的底面半径为，母线长，则该斗笠的侧面面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：由题意，该斗笠的侧面面积为；
故答案为：C．
【分析】本题考查圆锥侧面积计算，直接套用圆锥侧面积公式，代入半径与母线长计算即可。
10．在平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图象可知：不等式的解集为；
故答案为诶：B．
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，不等式的解集是直线在直线上方时对应的取值范围，结合图象交点坐标直接判断。
11．将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪出图⑤中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是（　　）
A．等腰三角形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；菱形的判定；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，由题意可知，剪下的图形是四边形BACD，
由折叠可知CA＝AB，
∴△ABC是等腰三角形，
又∵△ABC和△BCD关于直线BC对称，
∴CA＝AB=CD=BD，
∴四边形BACD是菱形，
故选：C．
【分析】由题意可知，剪下的图形是四边形BACD，由折叠可知CA＝AB，根据等腰三角形判定定理可得△ABC是等腰三角形，根据对称性质可得CA＝AB=CD=BD，再根据菱形判定定理即可求出答案.
12．阅读材料：方程（b，c为常数）的两实根为，，所以方程可表示为．将等号左边展开得，与原方程对比，得到，．根据材料解决问题：一元三次方程（b，c，d为常数）的三个实根分别为，，，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵一元三次方程（b，c，d为常数）的三个实根分别为，，，
∴方程可表示为：，
∴，
∴，
∴，，；故选项C正确，选项B，D错误；
∵，
∴；故选项A错误；
故选C．
【分析】本题考查多项式展开与方程根的关系，将一元三次方程写成的形式，展开后对比系数，确定根与系数的对应关系。
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．）
13．二次根式 中，x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】根据题意，得
，
解得， ，
故答案为： ．
【分析】根据二次根式有意义的条件，得到关于x的不等式，计算得到x的值即可。
14．一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售量如表所示．从众数的角度给这家鞋店提供建议，多进　 　的鞋子．（选择一个尺码）
尺码/cm 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25
销售量/双 1 2 5 11 7 3 1
【答案】23.5
【知识点】众数
【解析】【解答】解：由表可以看出，在鞋的尺码组成的数据中，23.5是这组数据的众数，即的鞋销售量最大．因此可以建议鞋店多进的鞋．
故答案为23.5．
【分析】本题考查众数的实际意义，众数是一组数据中出现次数最多的数，找出销售量最大的鞋码，即为建议多进的尺码。
15．如图，区间测速是指机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上的平均速度．汽车在高速路的测速区间的平均行驶速度v（单位：）与行驶时间t（单位：）是反比例函数关系．已知某测速区间长，此测速区间限速，则行驶时间t的范围为　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：由题意得，，
∴v随t增大而减小，
当时，，
当时，，
∴当时，，
故答案为：．
【分析】本题考查反比例函数的实际应用，由可知与成反比，分别代入限速最值计算对应时间，确定的取值范围。
16．如图，正方形的边长为2，点E在边上运动，连接并绕点D逆时针旋转得到，点E运动过程中，的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形全等及其性质；正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：延长到，使，连接，
∵绕点D逆时针旋转得到，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴
∴，
∴，
∴点在直线上运动，
当时，最小，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵
∴当时，是等腰直角三角形，
∴．
故答案为：
【分析】本题考查正方形、旋转、全等三角形与垂线段最短，构造全等三角形确定点的运动轨迹，再根据垂线段最短，计算点到轨迹直线的垂直距离即为最小值。
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：（1），
，
；
（2）
，
，
，
∵，
∴原式．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；分式的化简求值
【解析】【分析】(1)本题考查有理数混合运算，遵循先括号内、再乘除、后加减的顺序计算；
(2)本题考查分式化简求值，先通分合并分子，再因式分解分母，将除法转化为乘法约分，最后代入值计算。
18．南宁是中国著名的水果产地，盛产香蕉和芒果．某水果商准备收购一批香蕉和芒果，运往外地销售．已知吨香蕉和吨芒果的收购成本为万元；吨香蕉和吨芒果的收购成本为万元．
（1）每吨香蕉和每吨芒果的收购成本各是多少万元？
（2）该水果商计划租用货车运输水果，货车公司规定：若运输总重量不超过吨，每吨运费元；若超过吨，超过部分每吨运费元．水果商希望运费不超过元，那么他最多能收购并运输多少吨水果？
【答案】（1）解：每吨香蕉的收购成本是万元，每吨芒果的收购成本是万元，
∴，
∴，
∴每吨香蕉的收购成本是万元，每吨芒果的收购成本是万元；
（2）解：运输总重量不超过吨，每吨运费元，此时的总费用为元，
∵水果商希望运费不超过元，即，
∴运输总重量超过吨，
设运输总重量为吨，
∴，
解得，，
∴他最多能收购并运输吨水果．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)本题考查二元一次方程组的应用，设两种水果单价为未知数，根据两组成本条件列方程组求解；
(2)本题考查一元一次不等式的应用，先判断运输重量超过6吨，再按分段运费规则列不等式求解最大值。
（1）解：每吨香蕉的收购成本是万元，每吨芒果的收购成本是万元，
∴，
∴，
∴每吨香蕉的收购成本是万元，每吨芒果的收购成本是万元；
（2）解：运输总重量不超过吨，每吨运费元，此时的总费用为元，
∵水果商希望运费不超过元，即，
∴运输总重量超过吨，
设运输总重量为吨，
∴，
解得，，
∴他最多能收购并运输吨水果．
19．如图，是的直径，点C是上除点A，B外的一点．点D是的中点，连接直线．
（1）尺规作图：过点D作所在直线的垂线段，垂足为点E．（要求：不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证：是的切线；
（3）延长与交于点F，已知，，求的半径．
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：连接，，如图；
∵是的直径，
∴，
由（1）可知：，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
∴且是半径，
∴是的切线；
（3）解：连接，由上易知：，
设，
∵，，
∴，
∴，
解得：，
∴的半径为6．
【知识点】勾股定理；切线的判定；尺规作图-垂线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】(1)本题考查尺规作垂线，按过直线外一点作已知直线垂线的方法作图；
(2)本题考查切线判定，连接半径，利用弧中点性质、直径所对圆周角为直角，证明即可；
(3)本题考查勾股定理应用，设半径为，在中列方程求解。
（1）解：如图所示：
（2）解：连接，，如图；
∵是的直径，
∴，
由（1）可知：，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
∴且是半径，
∴是的切线；
（3）解：连接，
由上易知：，
设，
∵，，
∴，
∴，
解得：，
∴的半径为6．
20．某城市推行“绿色出行”宣传活动，五位评审对甲、乙、丙三位宣传志愿者的表现进行打分，相关得分数据整理如下统计图表．
平均数 中位数 方差
甲 9 9 a
乙 b
丙 c 8
根据以上信息，完成下列问题：
（1）直接写出a，b，c的值， ______， ______， ______；
（2）从三位选手中选一位进行表彰，你认为选谁更合适？请选择一个统计量进行说明；
（3）如果去掉一个最高分和一个最低分之后乙的中位数记为d，判断d与b的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）；9；
（2）解：选择甲更合适，理由如下：因为甲的平均数，中位数，都是三人中最大的，且方差是三人中最小的，
∴选择甲更合适；
（3）解；，理由如下：
去掉一个最高分和一个最低分之后乙3个得分为9分，9分，9分，此时中位数为9分，即，则．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；平均数及其计算；中位数；方差
【解析】【解答】（1）解；由题意得，；
把乙5个得分按照从低到高排列为7分，9分，9分，9分，10分，
∴乙得分的中位数为9分，即；
；
故答案为：0.4；9；8.8
【分析】（1）根据方差的定义求出a，进而将乙5个得分按照从低到高排列，从而根据中位数的定义即可求解，再结合平均数进行计算即可；
（2）根据平均数、中位数、方差的定义结合题意即可求解；
（3）根据中位数的定义即可求解。
（1）解；由题意得，；
把乙5个得分按照从低到高排列为7分，9分，9分，9分，10分，
∴乙得分的中位数为9分，即；
；
（2）解：选择甲更合适，理由如下：
因为甲的平均数，中位数，都是三人中最大的，且方差是三人中最小的，
∴选择甲更合适；
（3）解；，理由如下：
去掉一个最高分和一个最低分之后乙3个得分为9分，9分，9分，此时中位数为9分，即，则．
21．综合与实践
图1是某高铁二等座小桌板，它的设计需兼顾空间利用、结构稳定与乘客安全．图2是小桌板展开后的侧面示意图，其中为支架，为桌面的宽，调节椅背不会改变与的位置，与地面保持平行且．当椅背垂直于地面时，与的夹角为．
（，，，，，）
（1）求的度数；
（2）为保证小桌板结构稳定，支架能承受的最大力F为，F与满足，其中m是物体的质量，．求小桌板能放置物体的最大质量；
（3）图3是一圆柱形水杯放置于小桌板上的俯视图，底面圆心为点Q，点Q到的距离为；图4是此时小桌板的侧面示意图，水杯半径，支架，当椅背向后调节至处时，在水杯不被碰倒的情况下，其最大高度是多少？
【答案】（1）解：过点A作交与点D，
则，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，∴支架能承受的最大力F为，
则，
解得：，
则小桌板能放置物体的最大质量为．
（3）解：过点O作，过点A作交于点T，过点E作与点S，
则，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴中，
，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴在中，
，
∴．
即在水杯不被碰倒的情况下，其最大高度是．
【知识点】一元一次不等式的应用；矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用；直角三角形的性质
【解析】【分析】本题考查解直角三角形的实际应用。
(1)作辅助线构造直角三角形，利用互余关系求角度；
(2)代入公式列不等式求物体最大质量；
(3)多次构造直角三角形，结合矩形性质与三角函数计算水杯最大高度。
（1）解：过点A作交与点D，
则，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴支架能承受的最大力F为，
则，
解得：，
则小桌板能放置物体的最大质量为．
（3）解：过点O作，过点A作交于点T，过点E作与点S，
则，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴中，
，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴在中，
，
∴．
即在水杯不被碰倒的情况下，其最大高度是．
22．【定义】有一个内角是的等腰三角形是黄金三角形，图和图是黄金三角形的两种分类．
【判定】（）如图，在中，，点在边上，且，，请写出图中存在的黄金三角形并说明理由；
【性质】（）在（）的条件下，若，求的长度；
【应用】（）如图，在中，，，求．
【答案】和均为黄多三角形；
理由如下：
，
，
设，
，
，
是的外角，
，
，
，
在中，，
，
解得：，
且，，
和均为黄多三角形；
，
，
，
，
，，
，
，
解得：或(不符合题意，舍去)，
的长度是；
解：如下图所示，过点作交于点，使，
由可知，，
是的外角，
，
，，
，
，
，
【知识点】等腰三角形的判定与性质；解直角三角形—边角关系；求余弦值；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】本题考查黄金三角形、相似三角形、三角函数综合。
(1)设角并利用等腰三角形与外角性质求角度，判定黄金三角形；
(2)证明三角形相似，列比例式解方程求边长；
(3)构造辅助线，结合黄金三角形边长关系求。
23．数学小组利用刻度尺对二次函数图象的相关性质进行研究．如图1，点为两条开口向上的抛物线的公共顶点，将刻度尺绕点旋转，与两条抛物线分别交于点，点（异于点）．
【猜想】学生先对，进行探究，对进行多次测量，部分数据如表：
（单位：） … …
（单位：） … 1 …
（1）猜想：与的数量关系是______．
【验证】（2）如图2，直线与二次函数，分别交于点，点．与的数量关系是什么？请完成填空，并补全推导过程．
证明：过点分别作轴于轴于．
设点的横坐标为，由点是，的交点，得，解得；
设点的横坐标为，由点是，的交点，得______，解得______．
又∵，∴______．
易证．
∴……
请完成证明过程．
【应用】（3）①如图3，若直线与抛物线，分别交于点，直线与抛物线，分别交于点，其中异于点．若关于轴对称点分别是，则线段与线段的数量关系是什么？请说明理由．
②若直线与抛物线相交于点，直线与抛物线相交于点，且，直接写出的值．
【答案】（1）
（2）
（3）①直线与抛物线分别交于点，
设点的横坐标为，则，，
∴，即，
解得，，
∴，
直线与抛物线分别交于点，
设点的横坐标为，则，，
∴，即，
解得，，
∴，
同理，直线与抛物线交于点，
∴，
直线与抛物线交于点，
∴，
∴关于轴对称点分别是，
∴，
∴；
②
【知识点】相似三角形的判定；二次函数与一次函数的综合应用；坐标系中的两点距离公式；一次函数的实际应用-几何问题；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）根据表格信息得到，；
（2）证明：过点分别作轴于轴于．
设点的横坐标为，由点是，的交点，得，
解得；
设点的横坐标为，由点是，的交点，得，
解得．
又∵，
∴
∴，即，
∴，
∴，即．
（3）②直线与抛物线相交于点，
∴，
解得，，
∴，
∴，
直线与抛物线相交于点，
，整理得，
解得，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【分析】本题考查一次函数与二次函数图象性质、相似三角形、两点间距离。
(1)根据表格数据猜想线段比例；
(2)设交点横坐标，联立函数解析式求参数，结合相似三角形推导线段比例；
(3)求交点坐标，计算线段长度并根据比例关系求参数。
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