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广西壮族自治区桂林市第十八中学2025年中考三模数学试题
一、单项选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的）
1．2025的倒数是（　　）
A． B．2025 C． D．
2．积木有助于开发智力，有利于数学概念的早期培养．某积木配件如图所示，则它的左视图为（　　）
A． B．
C． D．
3．若三角形的三边长分别为3，4，x，则x的值可能是（　　）
A．1 B．6 C．7 D．10
4．如图，比点表示的数大1的数是（　　）
A． B．0 C．1 D．2
5．某次体育测试中，名男生完成俯卧撑的个数为，，，，，，，则这组数据的众数是（　　）
A． B． C． D．
6．把因式分解得，则m的值为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
7．为了丰富校园生活，培养学生特长，学校开展了特色课程．小明从感兴趣的“花样跳绳”“天文地理”“艺术插花”“象棋博交”4门课程中随机选择一门学习．小明选中“天文地理”这一门课程的概率为（　　）
A． B． C． D．
8．是单纯由碳原子结合形成的稳定分子，它的发现最初始于天文学领域的研究，由英国、美国科学家探明和勾画其碳分子结构，于1985年正式制得，它的发现使人类了解到一个全新的碳世界．如图是的分子结构图，它具有60个顶点和32个面，其中12个为正五边形，20个为正六边形，其中正六边形的每一个内角的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．我国明代数学读本《算法统宗》有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．若客人为x人，银子为y两，可列方程组（　　）
A． B．
C． D．
10．如图为商场某品牌椅子的实物图和侧面图．若，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
11．已知函数与在同一平面直角坐标系内的图象如图所示，由图象可知，x取什么值时，（　　）
A．或 B．或
C．或 D．或
12．已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（　　）
A．或4 B．或 C．或4 D．或4
二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分）
13．若与是同类项，则　 　．
14．戴头盔对保护骑电动车人的安全尤为重要．要调查西安市公民“骑电动车”头盔佩戴情况，应选择　 　调查的方式．（填“抽样”或“全面”）
15．某校举办的科技节活动中，“纸牌承重”项目受到同学们的广泛关注．小德所在小组用若干图①中的纸牌搭建成可承重的两条桌腿，制成如图②所示的“纸牌承重桌”（桌面与地面平行，桌面厚度和纸牌厚度忽略不计）．“纸牌承重桌”的高度为　 　．
16．如图，已知正方形的边长为6，，将正方形绕着点C顺时针旋转，使点D落在坡度为的坡面上，则在旋转过程中，点A的路径长为　 　．
三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．先化简，再求值：，其中．
18．如图，在正方形中， 点E 在边上（与C、D均不重合）．
（1）尺规作图：过点C作的垂线，垂足为点H，交于点F（要求：保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图形中，已知， 求的长度．
19．为了解落实“光盘行动”的情况，某校调研了七、八年级部分班级某一天的厨余垃圾质量．从七、八年级各随机抽取10个班厨余垃圾质量的数据（单位：），进行整理和分析（厨余垃圾质量用表示，共分为四个等级：；），下面给出了部分信息．
七年级10个班厨余垃圾质量：，，，，，，，，2，．
八年级10个班厨余垃圾质量中B等级包含的所有数据为，，，．
七、八年级抽取的班级厨余垃圾质量统计表如下：
年级 平均数 中位数 众数 方差 A等级所占百分比
七年级
八年级
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表中的值；
（2）该校八年级共有30个班，估计八年级这一天厨余垃圾质量符合等级的班级数；
（3）根据以上信息，你认为该校七、八年级的“光盘行动”，哪个年级落实得更好？请说明理由（写出一条理由即可）．
20．“满筐圆实骊珠滑，入口甘香冰玉寒”，提子是一种甘甜爽口的水果，富含维生素C，深受大家喜爱．某水果超市为了解两种提子市场销售情况，购进了一批数量相等的“青提”和“红提”供客户对比品尝，其中购买“青提”用了480元，购买“红提”用了360元，已知每千克“青提”的进价比每千克“红提”的进价多3元．
（1）求每千克“红提”和“青提”进价各是多少元．
（2）若该水果超市决定再次购买同种“红提”和“青提”共50千克，再次购买的费用不超过540元，且每种提子进价保持不变，若“红提”的销售单价为13元，“青提”的销售单价为18元，则该水果超市应如何进货，使得第二批的“红提”和“青提”售完后获得利润最大？最大利润是多少？
21．如图①，中国古代的马车已经涉及很复杂的机械设计，包含大量零部件和工艺，所彰显的智慧让人拜服．如图②是马车的侧面示意图，为车轮的直径，过圆心的车架一端点着地时，地面与车轮相切于点，连接，．
（1）求证：；
（2）若，米，求车轮的直径的长．
22．综合与实践课上，数学王老师分发给每位同学若干张相同的长方形纸片．王老师取出三张纸片演示操作，依次将纸片沿事先画出的竖直和水平方向的实线裁剪成若干个完全相同的小长方形（如图1）．
纸片序号n 1 2 3 4 5
裁剪得到的小长方形个数m 2 6 12
【分析问题】
（1）请补全上面表格，并在图2所示的平面直角坐标系中描出表中各对数值所对应的点，再用平滑曲线连接．根据绘制的图象猜想，裁剪得到的小长方形个数m与纸片序号n序号可能存在_______函数关系（填类型）．
【猜想验证】为了验证这一猜想，爱研究的同学从“形”的角度出发，发现裁剪得到的小长方形个数可以用“行数×列数”的方法得到．
（2）请直接写出裁剪得到的小长方形个数m与纸片序号n之间的函数关系式为________．
【解决问题】某农科研究所有一块矩形的耕地（如图3），，，现需要将其分成若干小长方形耕地，进行不同种子的育种实验．按照【问题背景】中的分割方式，爱思考的同学提出以下2个问题．
（3）若将此耕地分成72个完全相同的小长方形耕地，求竖直方向分割用的实线数量；
（4）为了方便科研人员观察并收集实验数据，将竖直和水平方向的实线换成1米宽的小路，若小路的面积之和占此耕地面积的，求小长方形耕地的总数量．
23．【探究与证明】如图，在四边形中，对角线与相交于点，记的面积为，的面积为．
（1）【问题解决】如图①，若，求证：．
小红同学展示出如下正确的证明过程，请在横线上将内容补充完整．
证明：过点作于点，过点作于点，如图①所示，则，
___________（填写位置关系），
___________，
___________．
．
．
（2）【探索推广】如图②，若与不平行．（1）中的结论是否成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由．
（3）【拓展应用】如图③，在上取一点，使，过点作交于点，为的中点，交于点，且．若，求的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：根据倒数的定义得2025的倒数为，
故答案为：C．
【分析】根据倒数的定义可直接得出答案。
2．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：观察图形，从左面看到的图形是
，
故选：．
【分析】根据结合体的三视图即可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】∵4－3＝1，4＋3＝7，
∴1＜x＜7，
∴x的值可能是6．
故选：B．
【分析】根据三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，分别求出x的最小值.最大值，进而判断出x的值可能是哪个即可．
4．【答案】B
【知识点】有理数在数轴上的表示；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：由图可知，点表示的数为，
∴比点表示的数大1的数是；
故选B．
【分析】本题考查数轴与有理数的运算，先从数轴上确定点A表示的数，再用该数加1，计算出结果后对应选项即可。
5．【答案】D
【知识点】众数
【解析】【解答】解：这组数据出现了三次，出现次数最多，
∴这组数据的众数为，
故选：．
【分析】根据众数的定义即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的概念
【解析】【解答】解：∵
，
∵把因式分解得，
∴，
故答案为：B．
【分析】先利用多项式乘多项式的计算方法展开，再利用待定系数法求出m的值即可.
7．【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵一共有4门课程，每门课程被选择的概率相同，
∴小明选中“天文地理”这一门课程的概率为，
故答案为：B．
【分析】根据概率公式即可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：正六边形的内角和为，
又正六边形的6个内角都相等，
∴正六边形的每一个内角的度数是．
故选：D．
【分析】本题考查正多边形内角计算，先利用多边形内角和公式算出正六边形内角和，再除以6得到单个内角的度数。
9．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设客人为x人，银子为y两，根据题意得，
故答案为：A．
【分析】设客人为x人，银子为y两，根据“每人7两，还剩4两；每人9两，则差8两 ”可列出二元一次方程组，解方程组即可求解．
10．【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：，
，
，
，
故选B．
【分析】根据直线平行性质可得，再根据三角形外角性质即可求出答案.
11．【答案】C
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：由图像可得，
当或时，．
故选：C．
【分析】当一次函数图象在反比例函数图象上方时，有，结合函数图象即可求出答案.
12．【答案】D
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：二次函数的对称轴为：直线，
（1）当时，当时，随的增大而减小，当，随的增大而增大，
当时，取得最小值，
，
；
（2）当时，当时，随的增大而增大，当，随的增大而减小，
当时，取得最小值，
，
．
故答案为：D．
【分析】所给抛物线的解析式是顶点式，由顶点式可得抛物线的对称轴直线为x=1，顶点坐标为(1，-a)，然后分类讨论：①当a＞0时，函数图象开口向上，顶点的纵坐标值是函数的最小值，在-1≤x≤4内，函数的最小值为-a，据此可得答案；②当a＜0时，函数图象开口向下，顶点的纵坐标值是函数的最大值，在-1≤x≤4内，函数的最小值在端点处取得，据此可得答案.
13．【答案】2
【知识点】同类项的概念
【解析】【解答】解：与是同类项，
．
故答案为：．
【分析】本题考查同类项的定义，同类项要求所含字母相同且相同字母的指数也相等，对比两个式子中y的指数，即可得出m的值。
14．【答案】抽样
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：要调查西安市公民“骑电动车”头盔佩戴率，应选择抽样调查的方式．
故答案为：抽样．
【分析】根据调查的方式的特征即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接，
根据题意，是等边三角形，边长都为，
四边形是菱形，
，
，
，即“纸牌承重桌”的高度为的长度，
，
故答案为：．
【分析】本题考查等边三角形、菱形性质与勾股定理的应用，先判断图形中的等边三角形与菱形特征，确定桌子高度为特定线段长度，再用勾股定理计算该线段长度。
16．【答案】
【知识点】正方形的性质；弧长的计算；解直角三角形；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：根据题意画出如图：
使点D落在坡度为的坡面上处，
设，则，
由勾股定理可得：，即，
解得：，则，
∴，即，
由正方形的性质可得：，，
∴，
∴点A的路径长为．
故答案为：．
【分析】设，则，利用勾股定理可得，即，求出，则，再利用解直角三角形的方法求出，再求出，最后利用弧长公式求出点A的路径长为即可．
17．【答案】解：
．
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】本题考查分式的化简求值，先对括号内的式子通分合并，再将除法转化为乘法约分，得到最简分式后，把代入计算结果。
18．【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：由（1）得，
∵，
在中，由勾股定理得：
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形的面积；尺规作图-垂线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等积变换
【解析】【分析】（1）根据垂线定义作图即可.
（2）根据勾股定理可得BE，再根据三角形面积即可求出答案.
19．【答案】（1）
（2）解：．
答：估计八年级这一天厨余垃圾质量符合等级的班级数为9．
（3）解：八年级落实得更好．
理由：①八年级各班厨余垃圾质量的中位数低于七年级各班厨余垃圾质量的中位数．②八年级各班厨余垃圾质量的方差低于七年级各班厨余垃圾质量的方差，更稳定．
【知识点】扇形统计图；中位数；方差；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解；∵七年级10个班厨余垃圾质量为的班级数最多，
∴七年级10个班厨余垃圾质量的众数为，即；
，
∴八年级A等级有3个班，则，即；
把八年级10个班厨余垃圾质量按照从低到高排列，中位数为第5名和第6名质量的平均数，
∵八年级A等级有3个班，B等级包含的所有数据为，，，，
∴八年级10个班厨余垃圾质量的中位数为，即；
【分析】本题考查统计量计算、扇形统计图与样本估计总体。
（1）根据众数、中位数定义求出a、b，结合扇形统计图算出m；
（2）用八年级总班级数乘A等级百分比估计数量；
（3）通过中位数、方差判断年级落实情况。
（1）解；∵七年级10个班厨余垃圾质量为的班级数最多，
∴七年级10个班厨余垃圾质量的众数为，即；
，
∴八年级A等级有3个班，则，即；
把八年级10个班厨余垃圾质量按照从低到高排列，中位数为第5名和第6名质量的平均数，
∵八年级A等级有3个班，B等级包含的所有数据为，，，，
∴八年级10个班厨余垃圾质量的中位数为，即；
（2）解：．
答：估计八年级这一天厨余垃圾质量符合等级的班级数为9．
（3）解：八年级落实得更好．
理由：①八年级各班厨余垃圾质量的中位数低于七年级各班厨余垃圾质量的中位数．②八年级各班厨余垃圾质量的方差低于七年级各班厨余垃圾质量的方差，更稳定．
20．【答案】（1）解：设每千克“红提”的进价是元，则每千克 “青提”的进价是元，由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
，
答：每千克“红提”的进价是9元，则每千克 “青提”的进价是12元；
（2）解：设购买“红提”千克，则购买“青提”千克，由题意得：，
解得：，
令利润为，
则，
，
∴w随a的增大而减小，
当时，有最大值，最大值为，此时，
即购买“红提”20千克，则购买“青提”30千克，售完后获得利润最大，最大利润是元．
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)本题考查分式方程的应用，根据两种提子数量相等列分式方程，求解并检验得到进价；
(2)先根据费用限制列不等式求自变量范围，再建立利润的一次函数模型，结合函数增减性求最大利润。
（1）解：设每千克“红提”的进价是元，则每千克 “青提”的进价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
，
答：每千克“红提”的进价是9元，则每千克 “青提”的进价是12元；
（2）解：设购买“红提”千克，则购买“青提”千克，
由题意得：，
解得：，
令利润为，
则，
，
∴w随a的增大而减小，
当时，有最大值，最大值为，此时，
即购买“红提”20千克，则购买“青提”30千克，售完后获得利润最大，最大利润是元．
21．【答案】（1）证明：如图，连接，
是切线，
，
是直径，
，
，
，
，
，
；
（2）解：过点作于点．
，
可以假设米，米，
（米），
，
（米），
（米），
，
，
解得，，
直径．

【知识点】三角形的面积；圆周角定理；切线的性质；解直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）连接，根据切线性质可得，根据圆周角定理可得，则，再根据等边对等角及角之间的关系即可求出答案.
（2）过点作于点，设米，米，根据勾股定理可得AB，再根据三角形面积可得DH，根据勾股定理可得OH，再根据余弦定义建立方程，解方程即可求出答案.
（1）证明：如图，连接，
是切线，
，
是直径，
，
，
，
，
，
；
（2）解：过点作于点．
，
可以假设米，米，
（米），
，
（米），
（米），
，
，
解得，，
直径．
22．【答案】解：（1）由图可知，当时
共有20个小长方形；
当时，如图：
共有30个小长方形；
纸片序号n 8 2 3 6 5
裁剪得到的小长方形个数m 2 7 12 20 30
描点，连线，
二次函数；
（2）；
（3）设竖直方向有x条道路，由题意得，
，
x为正整数，
（负值已舍去），
竖直方向分割用的实线数量为8；
（4）设水平方向有y条道路，竖直方向有条道路，
由题意得：，
整理得：，
解得：或（舍去），
y是水平方向小路数量，水平方向耕地数量为8，竖直方向耕地数量为9，
耕地块数为（块），
小长方形耕地的总数量72块．
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数的实际应用-几何问题；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】（1）猜想：裁剪得到的小长方形个数m与纸片序号n序号可能存在函数关系为二次函数．
从“形”的角度出发，裁剪得到的小长方形个数可以用“行数列数”的方法得到；
故答案为：二次；
（2）小长方形个数m与纸片序号n之间的函数关系式为，
验证：
由图例知，当时，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
．．．，
，
故答案为：；
【分析】（1）补全表格，根据描点法作出函数图象，结合函数图象即可求出答案.
（2）利用行数列数，结合（1）中结论即可求出答案.
（3）设竖直方向有x条道路，利用（2）中结论，建立方程，解方程即可求出答案.
（4）设水平方向小路有y条，根据小路的面积之和占此耕地面积的，列出方程求出的值，再利用（2）的结论求出小长方形耕地的总数量即可．
23．【答案】（1）；；
（2）（1）中的结论成立．
证明：如答图①，过点作于点，过点作于点，
，
，
，
，
．
（3）解：如答图②，过点A作交于点，取的中点，连接．
，
．
，
．
，
，
．
设（为正整数）
则．
是的中点，是的中点，
是的中位线，
，
．
．
，
，
，
．
，
由（2）得．
【知识点】三角形的面积；三角形的中位线定理；解直角三角形—边角关系；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】（1）证明：过点作交于点，过点作交于点，如图①所示：则
∴，
∴，
∴，
∵，，
，
故答案为：；；
【分析】(1)本题考查相似三角形与三角形面积公式，由垂直得到平行线，证明三角形相似得出高的比例，再代入面积公式推导面积比；
(2)不平行时结论仍成立，用相同的作高、证相似、代面积公式的方法证明；
(3)结合全等、相似三角形与中位线性质，求出线段比例，代入(2)的结论计算面积比。
（1）证明：过点作交于点，过点作交于点，如图①所示：则
∴，
∴，
∴，
∵，，
，
故答案为：；；
（2）（1）中的结论成立．
证明：如答图①，过点作于点，过点作于点，
，
，
，
，
．
（3）解：如答图②，过点A作交于点，取的中点，连接．
，
．
，
．
，
，
．
设（为正整数）
则．
是的中点，是的中点，
是的中位线，
，
．
．
，
，
，
．
，
由（2）得．
1 / 1广西壮族自治区桂林市第十八中学2025年中考三模数学试题
一、单项选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的）
1．2025的倒数是（　　）
A． B．2025 C． D．
【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：根据倒数的定义得2025的倒数为，
故答案为：C．
【分析】根据倒数的定义可直接得出答案。
2．积木有助于开发智力，有利于数学概念的早期培养．某积木配件如图所示，则它的左视图为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：观察图形，从左面看到的图形是
，
故选：．
【分析】根据结合体的三视图即可求出答案.
3．若三角形的三边长分别为3，4，x，则x的值可能是（　　）
A．1 B．6 C．7 D．10
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】∵4－3＝1，4＋3＝7，
∴1＜x＜7，
∴x的值可能是6．
故选：B．
【分析】根据三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，分别求出x的最小值.最大值，进而判断出x的值可能是哪个即可．
4．如图，比点表示的数大1的数是（　　）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【知识点】有理数在数轴上的表示；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：由图可知，点表示的数为，
∴比点表示的数大1的数是；
故选B．
【分析】本题考查数轴与有理数的运算，先从数轴上确定点A表示的数，再用该数加1，计算出结果后对应选项即可。
5．某次体育测试中，名男生完成俯卧撑的个数为，，，，，，，则这组数据的众数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】众数
【解析】【解答】解：这组数据出现了三次，出现次数最多，
∴这组数据的众数为，
故选：．
【分析】根据众数的定义即可求出答案.
6．把因式分解得，则m的值为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的概念
【解析】【解答】解：∵
，
∵把因式分解得，
∴，
故答案为：B．
【分析】先利用多项式乘多项式的计算方法展开，再利用待定系数法求出m的值即可.
7．为了丰富校园生活，培养学生特长，学校开展了特色课程．小明从感兴趣的“花样跳绳”“天文地理”“艺术插花”“象棋博交”4门课程中随机选择一门学习．小明选中“天文地理”这一门课程的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵一共有4门课程，每门课程被选择的概率相同，
∴小明选中“天文地理”这一门课程的概率为，
故答案为：B．
【分析】根据概率公式即可求出答案.
8．是单纯由碳原子结合形成的稳定分子，它的发现最初始于天文学领域的研究，由英国、美国科学家探明和勾画其碳分子结构，于1985年正式制得，它的发现使人类了解到一个全新的碳世界．如图是的分子结构图，它具有60个顶点和32个面，其中12个为正五边形，20个为正六边形，其中正六边形的每一个内角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：正六边形的内角和为，
又正六边形的6个内角都相等，
∴正六边形的每一个内角的度数是．
故选：D．
【分析】本题考查正多边形内角计算，先利用多边形内角和公式算出正六边形内角和，再除以6得到单个内角的度数。
9．我国明代数学读本《算法统宗》有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．若客人为x人，银子为y两，可列方程组（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设客人为x人，银子为y两，根据题意得，
故答案为：A．
【分析】设客人为x人，银子为y两，根据“每人7两，还剩4两；每人9两，则差8两 ”可列出二元一次方程组，解方程组即可求解．
10．如图为商场某品牌椅子的实物图和侧面图．若，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：，
，
，
，
故选B．
【分析】根据直线平行性质可得，再根据三角形外角性质即可求出答案.
11．已知函数与在同一平面直角坐标系内的图象如图所示，由图象可知，x取什么值时，（　　）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】C
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：由图像可得，
当或时，．
故选：C．
【分析】当一次函数图象在反比例函数图象上方时，有，结合函数图象即可求出答案.
12．已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（　　）
A．或4 B．或 C．或4 D．或4
【答案】D
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：二次函数的对称轴为：直线，
（1）当时，当时，随的增大而减小，当，随的增大而增大，
当时，取得最小值，
，
；
（2）当时，当时，随的增大而增大，当，随的增大而减小，
当时，取得最小值，
，
．
故答案为：D．
【分析】所给抛物线的解析式是顶点式，由顶点式可得抛物线的对称轴直线为x=1，顶点坐标为(1，-a)，然后分类讨论：①当a＞0时，函数图象开口向上，顶点的纵坐标值是函数的最小值，在-1≤x≤4内，函数的最小值为-a，据此可得答案；②当a＜0时，函数图象开口向下，顶点的纵坐标值是函数的最大值，在-1≤x≤4内，函数的最小值在端点处取得，据此可得答案.
二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分）
13．若与是同类项，则　 　．
【答案】2
【知识点】同类项的概念
【解析】【解答】解：与是同类项，
．
故答案为：．
【分析】本题考查同类项的定义，同类项要求所含字母相同且相同字母的指数也相等，对比两个式子中y的指数，即可得出m的值。
14．戴头盔对保护骑电动车人的安全尤为重要．要调查西安市公民“骑电动车”头盔佩戴情况，应选择　 　调查的方式．（填“抽样”或“全面”）
【答案】抽样
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：要调查西安市公民“骑电动车”头盔佩戴率，应选择抽样调查的方式．
故答案为：抽样．
【分析】根据调查的方式的特征即可求出答案.
15．某校举办的科技节活动中，“纸牌承重”项目受到同学们的广泛关注．小德所在小组用若干图①中的纸牌搭建成可承重的两条桌腿，制成如图②所示的“纸牌承重桌”（桌面与地面平行，桌面厚度和纸牌厚度忽略不计）．“纸牌承重桌”的高度为　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接，
根据题意，是等边三角形，边长都为，
四边形是菱形，
，
，
，即“纸牌承重桌”的高度为的长度，
，
故答案为：．
【分析】本题考查等边三角形、菱形性质与勾股定理的应用，先判断图形中的等边三角形与菱形特征，确定桌子高度为特定线段长度，再用勾股定理计算该线段长度。
16．如图，已知正方形的边长为6，，将正方形绕着点C顺时针旋转，使点D落在坡度为的坡面上，则在旋转过程中，点A的路径长为　 　．
【答案】
【知识点】正方形的性质；弧长的计算；解直角三角形；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：根据题意画出如图：
使点D落在坡度为的坡面上处，
设，则，
由勾股定理可得：，即，
解得：，则，
∴，即，
由正方形的性质可得：，，
∴，
∴点A的路径长为．
故答案为：．
【分析】设，则，利用勾股定理可得，即，求出，则，再利用解直角三角形的方法求出，再求出，最后利用弧长公式求出点A的路径长为即可．
三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
．
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】本题考查分式的化简求值，先对括号内的式子通分合并，再将除法转化为乘法约分，得到最简分式后，把代入计算结果。
18．如图，在正方形中， 点E 在边上（与C、D均不重合）．
（1）尺规作图：过点C作的垂线，垂足为点H，交于点F（要求：保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图形中，已知， 求的长度．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：由（1）得，
∵，
在中，由勾股定理得：
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形的面积；尺规作图-垂线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等积变换
【解析】【分析】（1）根据垂线定义作图即可.
（2）根据勾股定理可得BE，再根据三角形面积即可求出答案.
19．为了解落实“光盘行动”的情况，某校调研了七、八年级部分班级某一天的厨余垃圾质量．从七、八年级各随机抽取10个班厨余垃圾质量的数据（单位：），进行整理和分析（厨余垃圾质量用表示，共分为四个等级：；），下面给出了部分信息．
七年级10个班厨余垃圾质量：，，，，，，，，2，．
八年级10个班厨余垃圾质量中B等级包含的所有数据为，，，．
七、八年级抽取的班级厨余垃圾质量统计表如下：
年级 平均数 中位数 众数 方差 A等级所占百分比
七年级
八年级
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表中的值；
（2）该校八年级共有30个班，估计八年级这一天厨余垃圾质量符合等级的班级数；
（3）根据以上信息，你认为该校七、八年级的“光盘行动”，哪个年级落实得更好？请说明理由（写出一条理由即可）．
【答案】（1）
（2）解：．
答：估计八年级这一天厨余垃圾质量符合等级的班级数为9．
（3）解：八年级落实得更好．
理由：①八年级各班厨余垃圾质量的中位数低于七年级各班厨余垃圾质量的中位数．②八年级各班厨余垃圾质量的方差低于七年级各班厨余垃圾质量的方差，更稳定．
【知识点】扇形统计图；中位数；方差；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解；∵七年级10个班厨余垃圾质量为的班级数最多，
∴七年级10个班厨余垃圾质量的众数为，即；
，
∴八年级A等级有3个班，则，即；
把八年级10个班厨余垃圾质量按照从低到高排列，中位数为第5名和第6名质量的平均数，
∵八年级A等级有3个班，B等级包含的所有数据为，，，，
∴八年级10个班厨余垃圾质量的中位数为，即；
【分析】本题考查统计量计算、扇形统计图与样本估计总体。
（1）根据众数、中位数定义求出a、b，结合扇形统计图算出m；
（2）用八年级总班级数乘A等级百分比估计数量；
（3）通过中位数、方差判断年级落实情况。
（1）解；∵七年级10个班厨余垃圾质量为的班级数最多，
∴七年级10个班厨余垃圾质量的众数为，即；
，
∴八年级A等级有3个班，则，即；
把八年级10个班厨余垃圾质量按照从低到高排列，中位数为第5名和第6名质量的平均数，
∵八年级A等级有3个班，B等级包含的所有数据为，，，，
∴八年级10个班厨余垃圾质量的中位数为，即；
（2）解：．
答：估计八年级这一天厨余垃圾质量符合等级的班级数为9．
（3）解：八年级落实得更好．
理由：①八年级各班厨余垃圾质量的中位数低于七年级各班厨余垃圾质量的中位数．②八年级各班厨余垃圾质量的方差低于七年级各班厨余垃圾质量的方差，更稳定．
20．“满筐圆实骊珠滑，入口甘香冰玉寒”，提子是一种甘甜爽口的水果，富含维生素C，深受大家喜爱．某水果超市为了解两种提子市场销售情况，购进了一批数量相等的“青提”和“红提”供客户对比品尝，其中购买“青提”用了480元，购买“红提”用了360元，已知每千克“青提”的进价比每千克“红提”的进价多3元．
（1）求每千克“红提”和“青提”进价各是多少元．
（2）若该水果超市决定再次购买同种“红提”和“青提”共50千克，再次购买的费用不超过540元，且每种提子进价保持不变，若“红提”的销售单价为13元，“青提”的销售单价为18元，则该水果超市应如何进货，使得第二批的“红提”和“青提”售完后获得利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：设每千克“红提”的进价是元，则每千克 “青提”的进价是元，由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
，
答：每千克“红提”的进价是9元，则每千克 “青提”的进价是12元；
（2）解：设购买“红提”千克，则购买“青提”千克，由题意得：，
解得：，
令利润为，
则，
，
∴w随a的增大而减小，
当时，有最大值，最大值为，此时，
即购买“红提”20千克，则购买“青提”30千克，售完后获得利润最大，最大利润是元．
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)本题考查分式方程的应用，根据两种提子数量相等列分式方程，求解并检验得到进价；
(2)先根据费用限制列不等式求自变量范围，再建立利润的一次函数模型，结合函数增减性求最大利润。
（1）解：设每千克“红提”的进价是元，则每千克 “青提”的进价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
，
答：每千克“红提”的进价是9元，则每千克 “青提”的进价是12元；
（2）解：设购买“红提”千克，则购买“青提”千克，
由题意得：，
解得：，
令利润为，
则，
，
∴w随a的增大而减小，
当时，有最大值，最大值为，此时，
即购买“红提”20千克，则购买“青提”30千克，售完后获得利润最大，最大利润是元．
21．如图①，中国古代的马车已经涉及很复杂的机械设计，包含大量零部件和工艺，所彰显的智慧让人拜服．如图②是马车的侧面示意图，为车轮的直径，过圆心的车架一端点着地时，地面与车轮相切于点，连接，．
（1）求证：；
（2）若，米，求车轮的直径的长．
【答案】（1）证明：如图，连接，
是切线，
，
是直径，
，
，
，
，
，
；
（2）解：过点作于点．
，
可以假设米，米，
（米），
，
（米），
（米），
，
，
解得，，
直径．

【知识点】三角形的面积；圆周角定理；切线的性质；解直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）连接，根据切线性质可得，根据圆周角定理可得，则，再根据等边对等角及角之间的关系即可求出答案.
（2）过点作于点，设米，米，根据勾股定理可得AB，再根据三角形面积可得DH，根据勾股定理可得OH，再根据余弦定义建立方程，解方程即可求出答案.
（1）证明：如图，连接，
是切线，
，
是直径，
，
，
，
，
，
；
（2）解：过点作于点．
，
可以假设米，米，
（米），
，
（米），
（米），
，
，
解得，，
直径．
22．综合与实践课上，数学王老师分发给每位同学若干张相同的长方形纸片．王老师取出三张纸片演示操作，依次将纸片沿事先画出的竖直和水平方向的实线裁剪成若干个完全相同的小长方形（如图1）．
纸片序号n 1 2 3 4 5
裁剪得到的小长方形个数m 2 6 12
【分析问题】
（1）请补全上面表格，并在图2所示的平面直角坐标系中描出表中各对数值所对应的点，再用平滑曲线连接．根据绘制的图象猜想，裁剪得到的小长方形个数m与纸片序号n序号可能存在_______函数关系（填类型）．
【猜想验证】为了验证这一猜想，爱研究的同学从“形”的角度出发，发现裁剪得到的小长方形个数可以用“行数×列数”的方法得到．
（2）请直接写出裁剪得到的小长方形个数m与纸片序号n之间的函数关系式为________．
【解决问题】某农科研究所有一块矩形的耕地（如图3），，，现需要将其分成若干小长方形耕地，进行不同种子的育种实验．按照【问题背景】中的分割方式，爱思考的同学提出以下2个问题．
（3）若将此耕地分成72个完全相同的小长方形耕地，求竖直方向分割用的实线数量；
（4）为了方便科研人员观察并收集实验数据，将竖直和水平方向的实线换成1米宽的小路，若小路的面积之和占此耕地面积的，求小长方形耕地的总数量．
【答案】解：（1）由图可知，当时
共有20个小长方形；
当时，如图：
共有30个小长方形；
纸片序号n 8 2 3 6 5
裁剪得到的小长方形个数m 2 7 12 20 30
描点，连线，
二次函数；
（2）；
（3）设竖直方向有x条道路，由题意得，
，
x为正整数，
（负值已舍去），
竖直方向分割用的实线数量为8；
（4）设水平方向有y条道路，竖直方向有条道路，
由题意得：，
整理得：，
解得：或（舍去），
y是水平方向小路数量，水平方向耕地数量为8，竖直方向耕地数量为9，
耕地块数为（块），
小长方形耕地的总数量72块．
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数的实际应用-几何问题；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】（1）猜想：裁剪得到的小长方形个数m与纸片序号n序号可能存在函数关系为二次函数．
从“形”的角度出发，裁剪得到的小长方形个数可以用“行数列数”的方法得到；
故答案为：二次；
（2）小长方形个数m与纸片序号n之间的函数关系式为，
验证：
由图例知，当时，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
．．．，
，
故答案为：；
【分析】（1）补全表格，根据描点法作出函数图象，结合函数图象即可求出答案.
（2）利用行数列数，结合（1）中结论即可求出答案.
（3）设竖直方向有x条道路，利用（2）中结论，建立方程，解方程即可求出答案.
（4）设水平方向小路有y条，根据小路的面积之和占此耕地面积的，列出方程求出的值，再利用（2）的结论求出小长方形耕地的总数量即可．
23．【探究与证明】如图，在四边形中，对角线与相交于点，记的面积为，的面积为．
（1）【问题解决】如图①，若，求证：．
小红同学展示出如下正确的证明过程，请在横线上将内容补充完整．
证明：过点作于点，过点作于点，如图①所示，则，
___________（填写位置关系），
___________，
___________．
．
．
（2）【探索推广】如图②，若与不平行．（1）中的结论是否成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由．
（3）【拓展应用】如图③，在上取一点，使，过点作交于点，为的中点，交于点，且．若，求的值．
【答案】（1）；；
（2）（1）中的结论成立．
证明：如答图①，过点作于点，过点作于点，
，
，
，
，
．
（3）解：如答图②，过点A作交于点，取的中点，连接．
，
．
，
．
，
，
．
设（为正整数）
则．
是的中点，是的中点，
是的中位线，
，
．
．
，
，
，
．
，
由（2）得．
【知识点】三角形的面积；三角形的中位线定理；解直角三角形—边角关系；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】（1）证明：过点作交于点，过点作交于点，如图①所示：则
∴，
∴，
∴，
∵，，
，
故答案为：；；
【分析】(1)本题考查相似三角形与三角形面积公式，由垂直得到平行线，证明三角形相似得出高的比例，再代入面积公式推导面积比；
(2)不平行时结论仍成立，用相同的作高、证相似、代面积公式的方法证明；
(3)结合全等、相似三角形与中位线性质，求出线段比例，代入(2)的结论计算面积比。
（1）证明：过点作交于点，过点作交于点，如图①所示：则
∴，
∴，
∴，
∵，，
，
故答案为：；；
（2）（1）中的结论成立．
证明：如答图①，过点作于点，过点作于点，
，
，
，
，
．
（3）解：如答图②，过点A作交于点，取的中点，连接．
，
．
，
．
，
，
．
设（为正整数）
则．
是的中点，是的中点，
是的中位线，
，
．
．
，
，
，
．
，
由（2）得．
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