资源简介

广西壮族自治区贺州市昭平县2025年中考三模数学试题
一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，）
1．在0，3，，四个数中，最小的数是（　　）
A． B．3 C． D．0
2．下列食品标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．“翻开人教版《数学》九年级下册课本恰好翻到相似部分”这个事件是（　　）
A．随机事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．无法确定
4．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，已知平分，，，则为（　　）
A． B． C． D．
6．2023年合肥经开区GDP达到亿元，连续四年每年跨越一个百亿台阶，其中亿用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
7．不等式组的解集表示在数轴上，其中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）．通过计算两个图形阴影部分的面积，从左至右验证成立的公式为（　　）
A． B．
C． D．
9．人字梯为现代家庭常用的工具．如图，若的长都为4米，当时，人字梯顶端离地面的高度约为(　　)(结果保留小数点后1位，参考数据：)
A．3.8米 B．3.5米 C．3.4米 D．2.82米
10．如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象都经过，结合图象，则不等式的解集是（　　）
A． B．
C．或 D．或
11．在今年的中考体育考试中，某班6名男生和6名女生长跑项目的得分情况如下表：
男子得分 30 28 27 29 30 30
女子得分 27 29 29 30 29 30
下列结论中，不正确的是（　　）
A．男生得分的众数高于女生 B．男生得分的中位数高于女生
C．男生得分的平均数高于女生 D．男生得分的方差高于女生
12．如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于，为的中点，则的最小值为（　　）
A．2.5 B．2.4 C．1.2 D．1.3
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．）
13．分解因式：　 　．
14．若x，y为实数，且|x+2y|+＝0，则x的值是 　 　．
15．关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是　 　.
16．据《九章算术·方田》记载：“今有叠方累砖，内方一尺，每层外扩，各边广增二尺，砖皆方正，层间新砖数循律而增．”如图所示，第1层（中心层）为边长1尺的正方形，用砖1块；第2层为边长3尺的正方形，新增外围砖8块；第3层为边长5尺的正方形，新增外围砖16块；第4层为边长7尺的正方形，新增外围砖24块；……，依此规律，则第16层新增外围砖为　 　块．
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（1）计算：；
（2）解分式方程：．
18．如图，在平行四边形中，连接对角线，过点B作于点E．
（1）用尺规完成以下基本作图：过点D作的垂线，垂足为F．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）问所作的图形中，连接，求证：四边形是平行四边形．
19．香醋中有一种物质，其含量不同，风味就不同，各风味香醋中该种物质的含量如下表．
风味 偏甜 适中 偏酸
含量/ 71.2 89.8 110.9
已知月份共售出150瓶香醋，其中“偏酸”的香醋占．
（1）求表格中的值；
（2）求出售出的玻璃瓶装香醋中该种物质的含量的众数和中位数；
（3）从适中风味香醋中随机抽取一瓶，求抽到玻璃瓶装香醋的概率．
20．根据以下素材，探索完成任务．
如何购买保洁物品
素材1 某学校需要增加保洁物品的库存量，因经费问题，计划用不超过720元的总费用购买扫把簸箕套装与毛巾两种物品．考虑两种物品的易损情况，要求毛巾的数量是扫把簸箕套装数量的2倍，扫把簸箕套装不少于50套．
素材2 商店物品价格情况：买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需33元，买4条毛巾和3套扫把簸箕套装共需48元．
素材3 商店提供以下两种优惠方案： 方案1：两种商品按原价的8折出售； 方案2：两种商品总额不超过300元的按原价付费，超过300元的部分打7折．
问题解决
任务1 确定物品单价 请运用所学知识，求出毛巾和扫把簸箕套装的单价．
任务2 探究购买方案 如果学校只按商店提供的其中一种优惠方案来购买，学校该购进毛巾和扫把簸箕套装数量分别是多少？
21．如图，是⊙O的直径，点C、D均在⊙O上，且平分，过点C作⊙O的切线交的延长线于点P，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
22．如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带的距离为米．
（1）求上边缘抛物线喷出水的最大射程；
（2）求下边缘抛物线与轴交点的坐标；
（3）若米，灌溉车行驶时喷出的水 ▲ （填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带，并说明理由．
23．如图，在直角三角形纸片中，，，．
【数学活动】
将三角形纸片进行以下操作：折叠三角形纸片，使点C与点A重合，得到折痕，然后展开铺平；将绕点D顺时针方向旋转得到，点E，C的对应点分别是点F，G，直线与边交于点M（点M不与点A重合），与边交于点．
【数学思考】
（1）折痕的长为______；
（2）在绕点D旋转的过程中，试判断与的数量关系，并证明你的结论；
【数学探究】；
（3）如图，在绕点D旋转的过程中，当直线经过点B时，求的长；
【问题延伸】；
（4）在绕点D旋转的过程中，连接，则的取值范围是______．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：，
在0，3，，四个数中，最小的数是．
故选：A．
【分析】直接比较大小即可求出答案.
2．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A不符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故C不符合题意；
D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故D符合题意．
故选：D．
【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
3．【答案】A
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：“翻开人教版《数学》九年级下册课本恰好翻到相似部分”这个事件是随机事件．
故选：A．
【分析】根据事件的分类即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A．与不是同类项，不能进行合并，故选项A错误；
B．，故B选项正确；
C．．故C选项错误；
D．，故D选项错误，
故选：B．
【分析】本题考查整式的基本运算，依次对合并同类项、同底数幂乘法、积的乘方、完全平方公式进行计算，同类项才能合并，同底数幂相乘底数不变指数相加，积的乘方需将因式分别乘方，完全平方公式展开为三项式，据此判断正误。
5．【答案】C
【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
故选C．
【分析】根据角平分线定义可得，再根据直线平行性质即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：∵亿元（元），
故选：C．
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
7．【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
解集表示在数轴上为 ，
故选：B．
【分析】分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集，再将解集在数轴上表示出来即可.
8．【答案】C
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：由图知，甲图形阴影部分的面积为，
乙图形阴影部分的长为，宽为，则其面积为，
即，
故选：C．
【分析】分别表示出两图中阴影部分的面积解答即可．
9．【答案】B
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】在中，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】本题考查锐角三角函数的应用，在中，利用正弦函数，代入长度和的值计算。
10．【答案】C
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：由函数图象可知，当一次函数的图象在反比例函数（为常数且）的图象上方时，的取值范围是：或，
∴不等式的解集是或.
故选C．
【分析】借助图象得到一次函数图象在反比例函数图象上方的的取值范围解答即可．
11．【答案】C
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：在男生得分中，30出现的次数最多，
则男生得分的众数是30，
在女生得分中，29出现的次数最多，
则女生得分的众数是29，
所以男生得分的众数高于女生，选项A正确；
将男生得分按小到大排序为，
则男生得分的中位数是，
将女生得分按小到大排序为，
则女生得分的中位数是，
所以男生得分的中位数高于女生，选项B正确；
男生得分的平均数是，
女生得分的平均数是，
所以男生得分的平均数与女生得分的平均数相同，选项C不正确；
男生得分的方差是，
女生得分的方差是，
所以男生得分的方差高于女生，选项D正确；
故选：C．
【分析】本题考查众数、中位数、平均数、方差的计算，分别计算男女生得分的四项统计量，对比数值判断选项正误。
12．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；矩形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；等积变换
【解析】【解答】解：如图，连接，
，，，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
是的中点，
，
根据垂线段最短可知，当时，最短，则也最短，
此时，，
，
即最短时，，
的最小值，
故选：C．
【分析】本题考查矩形性质、直角三角形斜边中线与垂线段最短，先证四边形是矩形得，由中点得，再根据垂线段最短，用面积法求出最小值即得最小值。
13．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】所给二项式的每一项都能写成一个整式的完全平方，且符号相反，故利用平方差公式直接分解即可.
14．【答案】2
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：根据题意，得，x+2y＝0且y+1＝0，
解得：x＝2，y＝﹣1．
故答案为：2．
【分析】本题考查非负数的性质，绝对值与算术平方根均为非负数，和为0时各自为0，列方程求出再代入求。
15．【答案】 且
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴△= b2-4ac= =4m+4＞0，且m≠0，
解得， 且 .
故答案为 且 .
【分析】根据一元二次方程的定义及方程有两个不相等的实数根，可得△= b2-4ac且m≠0，据此解答即可.
16．【答案】120
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解：第1层，用砖1块，新增外围用砖（块），
第2层，新增外围用砖（块），
第3层，新增外围用砖（块），
第4 层，新增外围用砖（块），
所以第层新增外围用砖为块，
所以第16层，新增外围用砖为（块）．
故答案为：．
【分析】本题考查图形规律探究，先分析前几层新增砖块数，归纳出第层新增砖块数的通项公式，代入计算。
17．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：方程两边都乘以，得：
解之，得：
经检验：当时，，
该分式方程的解为
【知识点】解分式方程；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】(1)本题考查有理数混合运算，按照先乘方、再括号、接着乘除、最后加减的顺序逐步计算。
(2)本题考查分式方程解法，先去分母化为整式方程，求解后检验分母不为0，确定方程的解。
18．【答案】（1）解：如图，为所作；
（2）证明： ∵四边形是平行四边形，
∴，．
∴．
．
．
∴．
在和中：
．
∴．
，．
∴四边形是平行四边形．
【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；尺规作图-垂线；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据垂线的定义作图即可.
（2）根据平行四边形性质可得，，则，再根据直线平行判定定理可得，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
19．【答案】（1）解：月共售出香醋150瓶，其中“偏酸”的占比为，偏酸的总瓶数为(瓶)，
由题意，得：，即
由总瓶数，得：，且，
解之，得：
；
（2）在玻璃瓶装数量中：含量71.2偏甜的出现20瓶(次)，含量89.8适中的出现38瓶(次)，含量110.9偏酸的出现42瓶(次)．
出现了42次，次数最多，
该众数为110.9；
由题意可知，总瓶数为：，
由中位数的定义可知，按大小顺序排列，其第50、51瓶的平均值，即为该中位数
又前20瓶为71.2，瓶为89.8，
其中位数为89.8
（3）适中风味总瓶数为，
又玻璃瓶装38瓶，
由概率的定义，得：适中风味中抽到玻璃瓶装的概率为
【知识点】条形统计图；概率公式；中位数；众数
【解析】【分析】本题考查条形统计图、众数、中位数与概率计算。
(1)先算偏酸总瓶数求，再用总销量求；
(2)众数是出现次数最多的数值，中位数是排序后中间两数的平均值；
(3)用玻璃瓶装适中数量除以适中总数量得概率。
（1）解：月共售出香醋150瓶，其中“偏酸”的占比为，
偏酸的总瓶数为(瓶)，
由题意，得：，即
由总瓶数，得：，且，
解之，得：
；
（2）在玻璃瓶装数量中：含量71.2偏甜的出现20瓶(次)，含量89.8适中的出现38瓶(次)，含量110.9偏酸的出现42瓶(次)．
出现了42次，次数最多，
该众数为110.9；
由题意可知，总瓶数为：，
由中位数的定义可知，按大小顺序排列，其第50、51瓶的平均值，即为该中位数
又前20瓶为71.2，瓶为89.8，
其中位数为89.8
（3）适中风味总瓶数为，
又玻璃瓶装38瓶，
由概率的定义，得：适中风味中抽到玻璃瓶装的概率为
20．【答案】解：
任务1：设扫把簸箕套装的单价为x元，毛巾的单价为y元，
根据题意可列方程组为：，
解得：，
答：扫把簸箕套装的单价为12元，毛巾的单价为3元.
任务2：设学校购进扫把簸箕套装n套，则购买毛巾2n条，
∴学校购买扫把簸箕套装和毛巾的总费用为12n+3×2n=18n（元），
方案1：根据题意可知，18n×0.8≤720，
解得：n≤50，
由题意可知，n≥50，
∴n=50，则2n=100，
方案2：根据题意可知，300+0.7（18n-300）≤720，
解得：n≤50，
由题意可知，n≥50，
∴n=50，则2n=100，
综上所述，两种方案学校都可以购买50套扫把簸箕套装和100条毛巾，
答：学校只按商店提供的其中一种优惠方案来购买，可以购买50套扫把簸箕套装和100条毛巾.
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务1：根据题意设扫把簸箕套装的单价为x元，毛巾的单价为y元，列出二元一次方程组求解即可得出答案；
任务2：设学校购进扫把簸箕套装n套，则购买毛巾2n条，根据题意列出一元一次不等式求解即可得出答案．
21．【答案】（1）证明：如图连接，
是⊙O的切线，
，
是⊙O的直径，
平分，
，
，
，
，
，
．
（2）解：由（1）得，
设⊙O的半径为r，即，
，，
，
，
解得：，
，
由（1）得，
，
，
，
．
【知识点】勾股定理；切线的性质；角平分线的概念；已知正弦值求边长；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)本题考查圆的切线性质与直径性质，连接，由切线得，直径得，结合角平分线与等腰三角形性质证角相等得平行；
(2)本题考查三角函数与勾股定理，设半径为，在中用求半径，再在中用三角函数与勾股定理求。
（1）证明：如图连接，
是⊙O的切线，
，
是⊙O的直径，
平分，
，
，
，
，
，
．
（2）解：由（1）得，
设⊙O的半径为r，即，
，，
，
，
解得：，
，
由（1）得，
，
，
，
．
22．【答案】（1）解：由题意可得：，
且上边缘抛物线的顶点为，故设抛物线解析式为：
将代入可得：
即上边缘的抛物线为：
将代入可得：
解得：（舍去）或
即
上边缘抛物线喷出水的最大射程为；
（2）解：由（1）可得，
上边缘抛物线为：，可得对称轴为：
点关于对称轴对称的点为：
下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，可得上边缘抛物线向左平移个单位，得到下边缘抛物线，即下边缘的抛物线解析式为：
将代入可得：
解得：（舍去）或
即点；
（3）解：灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带，理由如下；
∵，
∴绿化带的左边部分可以灌溉到，
由题意可得：
将代入到可得：
因此灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-喷水问题；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）设抛物线解析式为：，根据待定系数法将点H坐标代入解析式可得，再将y=0代入解析式即可求出答案.
（2）根据二次函数的顶点式可得对称轴为：，则点关于对称轴对称的点为：，根据函数图象的平移规律可得下边缘的抛物线解析式为：，再将y=0代入解析式即可求出答案.
（3）由题意可得：，将代入解析式求出y值，再比较大小即可求出答案.
（1）解：由题意可得：，
且上边缘抛物线的顶点为，故设抛物线解析式为：
将代入可得：
即上边缘的抛物线为：
将代入可得：
解得：（舍去）或
即
上边缘抛物线喷出水的最大射程为；
（2）解：由（1）可得，
上边缘抛物线为：，可得对称轴为：
点关于对称轴对称的点为：
下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，可得上边缘抛物线向左平移个单位，得到下边缘抛物线，即下边缘的抛物线解析式为：
将代入可得：
解得：（舍去）或
即点；
（3）解：灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带，理由如下；
∵，
∴绿化带的左边部分可以灌溉到，
由题意可得：
将代入到可得：
因此灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带．
23．【答案】（1）3；
（2），证明如下：连接，
由旋转的性质，得，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴
∴；
（3）由旋转的性质可得：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，，即，
解得，
∴；
（4）．
【知识点】三角形全等及其性质；旋转的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：（1）∵是中点，点C和点A重合，
∴是中点，
∴是的中位线，
∴，
故答案为：3；
（4）如图，连接，
在中，
∵，，
∴，
由题意得
当点F在上时，最小，此时；
当点F在的延长线上时，最大，此时
∴，
故答案为：．
【分析】（1）根据三角形中位线定理即可求出答案.
（2）连接，由旋转的性质，得，，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（3）由旋转的性质可得：，，根据等边对等角可得，设，则，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（4）连接，根据勾股定理可得BC，再根据直角三角形斜边上的中线可得AD，由题意得，当点F在上时，最小，此时，当点F在的延长线上时，最大，此时，即可求出答案.
1 / 1广西壮族自治区贺州市昭平县2025年中考三模数学试题
一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，）
1．在0，3，，四个数中，最小的数是（　　）
A． B．3 C． D．0
【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：，
在0，3，，四个数中，最小的数是．
故选：A．
【分析】直接比较大小即可求出答案.
2．下列食品标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A不符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故C不符合题意；
D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故D符合题意．
故选：D．
【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
3．“翻开人教版《数学》九年级下册课本恰好翻到相似部分”这个事件是（　　）
A．随机事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．无法确定
【答案】A
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：“翻开人教版《数学》九年级下册课本恰好翻到相似部分”这个事件是随机事件．
故选：A．
【分析】根据事件的分类即可求出答案.
4．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A．与不是同类项，不能进行合并，故选项A错误；
B．，故B选项正确；
C．．故C选项错误；
D．，故D选项错误，
故选：B．
【分析】本题考查整式的基本运算，依次对合并同类项、同底数幂乘法、积的乘方、完全平方公式进行计算，同类项才能合并，同底数幂相乘底数不变指数相加，积的乘方需将因式分别乘方，完全平方公式展开为三项式，据此判断正误。
5．如图，已知平分，，，则为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
故选C．
【分析】根据角平分线定义可得，再根据直线平行性质即可求出答案.
6．2023年合肥经开区GDP达到亿元，连续四年每年跨越一个百亿台阶，其中亿用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：∵亿元（元），
故选：C．
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
7．不等式组的解集表示在数轴上，其中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
解集表示在数轴上为 ，
故选：B．
【分析】分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集，再将解集在数轴上表示出来即可.
8．从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）．通过计算两个图形阴影部分的面积，从左至右验证成立的公式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：由图知，甲图形阴影部分的面积为，
乙图形阴影部分的长为，宽为，则其面积为，
即，
故选：C．
【分析】分别表示出两图中阴影部分的面积解答即可．
9．人字梯为现代家庭常用的工具．如图，若的长都为4米，当时，人字梯顶端离地面的高度约为(　　)(结果保留小数点后1位，参考数据：)
A．3.8米 B．3.5米 C．3.4米 D．2.82米
【答案】B
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】在中，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】本题考查锐角三角函数的应用，在中，利用正弦函数，代入长度和的值计算。
10．如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象都经过，结合图象，则不等式的解集是（　　）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：由函数图象可知，当一次函数的图象在反比例函数（为常数且）的图象上方时，的取值范围是：或，
∴不等式的解集是或.
故选C．
【分析】借助图象得到一次函数图象在反比例函数图象上方的的取值范围解答即可．
11．在今年的中考体育考试中，某班6名男生和6名女生长跑项目的得分情况如下表：
男子得分 30 28 27 29 30 30
女子得分 27 29 29 30 29 30
下列结论中，不正确的是（　　）
A．男生得分的众数高于女生 B．男生得分的中位数高于女生
C．男生得分的平均数高于女生 D．男生得分的方差高于女生
【答案】C
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：在男生得分中，30出现的次数最多，
则男生得分的众数是30，
在女生得分中，29出现的次数最多，
则女生得分的众数是29，
所以男生得分的众数高于女生，选项A正确；
将男生得分按小到大排序为，
则男生得分的中位数是，
将女生得分按小到大排序为，
则女生得分的中位数是，
所以男生得分的中位数高于女生，选项B正确；
男生得分的平均数是，
女生得分的平均数是，
所以男生得分的平均数与女生得分的平均数相同，选项C不正确；
男生得分的方差是，
女生得分的方差是，
所以男生得分的方差高于女生，选项D正确；
故选：C．
【分析】本题考查众数、中位数、平均数、方差的计算，分别计算男女生得分的四项统计量，对比数值判断选项正误。
12．如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于，为的中点，则的最小值为（　　）
A．2.5 B．2.4 C．1.2 D．1.3
【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；矩形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；等积变换
【解析】【解答】解：如图，连接，
，，，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
是的中点，
，
根据垂线段最短可知，当时，最短，则也最短，
此时，，
，
即最短时，，
的最小值，
故选：C．
【分析】本题考查矩形性质、直角三角形斜边中线与垂线段最短，先证四边形是矩形得，由中点得，再根据垂线段最短，用面积法求出最小值即得最小值。
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．）
13．分解因式：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】所给二项式的每一项都能写成一个整式的完全平方，且符号相反，故利用平方差公式直接分解即可.
14．若x，y为实数，且|x+2y|+＝0，则x的值是 　 　．
【答案】2
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：根据题意，得，x+2y＝0且y+1＝0，
解得：x＝2，y＝﹣1．
故答案为：2．
【分析】本题考查非负数的性质，绝对值与算术平方根均为非负数，和为0时各自为0，列方程求出再代入求。
15．关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是　 　.
【答案】 且
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴△= b2-4ac= =4m+4＞0，且m≠0，
解得， 且 .
故答案为 且 .
【分析】根据一元二次方程的定义及方程有两个不相等的实数根，可得△= b2-4ac且m≠0，据此解答即可.
16．据《九章算术·方田》记载：“今有叠方累砖，内方一尺，每层外扩，各边广增二尺，砖皆方正，层间新砖数循律而增．”如图所示，第1层（中心层）为边长1尺的正方形，用砖1块；第2层为边长3尺的正方形，新增外围砖8块；第3层为边长5尺的正方形，新增外围砖16块；第4层为边长7尺的正方形，新增外围砖24块；……，依此规律，则第16层新增外围砖为　 　块．
【答案】120
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解：第1层，用砖1块，新增外围用砖（块），
第2层，新增外围用砖（块），
第3层，新增外围用砖（块），
第4 层，新增外围用砖（块），
所以第层新增外围用砖为块，
所以第16层，新增外围用砖为（块）．
故答案为：．
【分析】本题考查图形规律探究，先分析前几层新增砖块数，归纳出第层新增砖块数的通项公式，代入计算。
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（1）计算：；
（2）解分式方程：．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：方程两边都乘以，得：
解之，得：
经检验：当时，，
该分式方程的解为
【知识点】解分式方程；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】(1)本题考查有理数混合运算，按照先乘方、再括号、接着乘除、最后加减的顺序逐步计算。
(2)本题考查分式方程解法，先去分母化为整式方程，求解后检验分母不为0，确定方程的解。
18．如图，在平行四边形中，连接对角线，过点B作于点E．
（1）用尺规完成以下基本作图：过点D作的垂线，垂足为F．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）问所作的图形中，连接，求证：四边形是平行四边形．
【答案】（1）解：如图，为所作；
（2）证明： ∵四边形是平行四边形，
∴，．
∴．
．
．
∴．
在和中：
．
∴．
，．
∴四边形是平行四边形．
【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；尺规作图-垂线；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据垂线的定义作图即可.
（2）根据平行四边形性质可得，，则，再根据直线平行判定定理可得，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
19．香醋中有一种物质，其含量不同，风味就不同，各风味香醋中该种物质的含量如下表．
风味 偏甜 适中 偏酸
含量/ 71.2 89.8 110.9
已知月份共售出150瓶香醋，其中“偏酸”的香醋占．
（1）求表格中的值；
（2）求出售出的玻璃瓶装香醋中该种物质的含量的众数和中位数；
（3）从适中风味香醋中随机抽取一瓶，求抽到玻璃瓶装香醋的概率．
【答案】（1）解：月共售出香醋150瓶，其中“偏酸”的占比为，偏酸的总瓶数为(瓶)，
由题意，得：，即
由总瓶数，得：，且，
解之，得：
；
（2）在玻璃瓶装数量中：含量71.2偏甜的出现20瓶(次)，含量89.8适中的出现38瓶(次)，含量110.9偏酸的出现42瓶(次)．
出现了42次，次数最多，
该众数为110.9；
由题意可知，总瓶数为：，
由中位数的定义可知，按大小顺序排列，其第50、51瓶的平均值，即为该中位数
又前20瓶为71.2，瓶为89.8，
其中位数为89.8
（3）适中风味总瓶数为，
又玻璃瓶装38瓶，
由概率的定义，得：适中风味中抽到玻璃瓶装的概率为
【知识点】条形统计图；概率公式；中位数；众数
【解析】【分析】本题考查条形统计图、众数、中位数与概率计算。
(1)先算偏酸总瓶数求，再用总销量求；
(2)众数是出现次数最多的数值，中位数是排序后中间两数的平均值；
(3)用玻璃瓶装适中数量除以适中总数量得概率。
（1）解：月共售出香醋150瓶，其中“偏酸”的占比为，
偏酸的总瓶数为(瓶)，
由题意，得：，即
由总瓶数，得：，且，
解之，得：
；
（2）在玻璃瓶装数量中：含量71.2偏甜的出现20瓶(次)，含量89.8适中的出现38瓶(次)，含量110.9偏酸的出现42瓶(次)．
出现了42次，次数最多，
该众数为110.9；
由题意可知，总瓶数为：，
由中位数的定义可知，按大小顺序排列，其第50、51瓶的平均值，即为该中位数
又前20瓶为71.2，瓶为89.8，
其中位数为89.8
（3）适中风味总瓶数为，
又玻璃瓶装38瓶，
由概率的定义，得：适中风味中抽到玻璃瓶装的概率为
20．根据以下素材，探索完成任务．
如何购买保洁物品
素材1 某学校需要增加保洁物品的库存量，因经费问题，计划用不超过720元的总费用购买扫把簸箕套装与毛巾两种物品．考虑两种物品的易损情况，要求毛巾的数量是扫把簸箕套装数量的2倍，扫把簸箕套装不少于50套．
素材2 商店物品价格情况：买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需33元，买4条毛巾和3套扫把簸箕套装共需48元．
素材3 商店提供以下两种优惠方案： 方案1：两种商品按原价的8折出售； 方案2：两种商品总额不超过300元的按原价付费，超过300元的部分打7折．
问题解决
任务1 确定物品单价 请运用所学知识，求出毛巾和扫把簸箕套装的单价．
任务2 探究购买方案 如果学校只按商店提供的其中一种优惠方案来购买，学校该购进毛巾和扫把簸箕套装数量分别是多少？
【答案】解：
任务1：设扫把簸箕套装的单价为x元，毛巾的单价为y元，
根据题意可列方程组为：，
解得：，
答：扫把簸箕套装的单价为12元，毛巾的单价为3元.
任务2：设学校购进扫把簸箕套装n套，则购买毛巾2n条，
∴学校购买扫把簸箕套装和毛巾的总费用为12n+3×2n=18n（元），
方案1：根据题意可知，18n×0.8≤720，
解得：n≤50，
由题意可知，n≥50，
∴n=50，则2n=100，
方案2：根据题意可知，300+0.7（18n-300）≤720，
解得：n≤50，
由题意可知，n≥50，
∴n=50，则2n=100，
综上所述，两种方案学校都可以购买50套扫把簸箕套装和100条毛巾，
答：学校只按商店提供的其中一种优惠方案来购买，可以购买50套扫把簸箕套装和100条毛巾.
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务1：根据题意设扫把簸箕套装的单价为x元，毛巾的单价为y元，列出二元一次方程组求解即可得出答案；
任务2：设学校购进扫把簸箕套装n套，则购买毛巾2n条，根据题意列出一元一次不等式求解即可得出答案．
21．如图，是⊙O的直径，点C、D均在⊙O上，且平分，过点C作⊙O的切线交的延长线于点P，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：如图连接，
是⊙O的切线，
，
是⊙O的直径，
平分，
，
，
，
，
，
．
（2）解：由（1）得，
设⊙O的半径为r，即，
，，
，
，
解得：，
，
由（1）得，
，
，
，
．
【知识点】勾股定理；切线的性质；角平分线的概念；已知正弦值求边长；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)本题考查圆的切线性质与直径性质，连接，由切线得，直径得，结合角平分线与等腰三角形性质证角相等得平行；
(2)本题考查三角函数与勾股定理，设半径为，在中用求半径，再在中用三角函数与勾股定理求。
（1）证明：如图连接，
是⊙O的切线，
，
是⊙O的直径，
平分，
，
，
，
，
，
．
（2）解：由（1）得，
设⊙O的半径为r，即，
，，
，
，
解得：，
，
由（1）得，
，
，
，
．
22．如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带的距离为米．
（1）求上边缘抛物线喷出水的最大射程；
（2）求下边缘抛物线与轴交点的坐标；
（3）若米，灌溉车行驶时喷出的水 ▲ （填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带，并说明理由．
【答案】（1）解：由题意可得：，
且上边缘抛物线的顶点为，故设抛物线解析式为：
将代入可得：
即上边缘的抛物线为：
将代入可得：
解得：（舍去）或
即
上边缘抛物线喷出水的最大射程为；
（2）解：由（1）可得，
上边缘抛物线为：，可得对称轴为：
点关于对称轴对称的点为：
下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，可得上边缘抛物线向左平移个单位，得到下边缘抛物线，即下边缘的抛物线解析式为：
将代入可得：
解得：（舍去）或
即点；
（3）解：灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带，理由如下；
∵，
∴绿化带的左边部分可以灌溉到，
由题意可得：
将代入到可得：
因此灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-喷水问题；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）设抛物线解析式为：，根据待定系数法将点H坐标代入解析式可得，再将y=0代入解析式即可求出答案.
（2）根据二次函数的顶点式可得对称轴为：，则点关于对称轴对称的点为：，根据函数图象的平移规律可得下边缘的抛物线解析式为：，再将y=0代入解析式即可求出答案.
（3）由题意可得：，将代入解析式求出y值，再比较大小即可求出答案.
（1）解：由题意可得：，
且上边缘抛物线的顶点为，故设抛物线解析式为：
将代入可得：
即上边缘的抛物线为：
将代入可得：
解得：（舍去）或
即
上边缘抛物线喷出水的最大射程为；
（2）解：由（1）可得，
上边缘抛物线为：，可得对称轴为：
点关于对称轴对称的点为：
下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，可得上边缘抛物线向左平移个单位，得到下边缘抛物线，即下边缘的抛物线解析式为：
将代入可得：
解得：（舍去）或
即点；
（3）解：灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带，理由如下；
∵，
∴绿化带的左边部分可以灌溉到，
由题意可得：
将代入到可得：
因此灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带．
23．如图，在直角三角形纸片中，，，．
【数学活动】
将三角形纸片进行以下操作：折叠三角形纸片，使点C与点A重合，得到折痕，然后展开铺平；将绕点D顺时针方向旋转得到，点E，C的对应点分别是点F，G，直线与边交于点M（点M不与点A重合），与边交于点．
【数学思考】
（1）折痕的长为______；
（2）在绕点D旋转的过程中，试判断与的数量关系，并证明你的结论；
【数学探究】；
（3）如图，在绕点D旋转的过程中，当直线经过点B时，求的长；
【问题延伸】；
（4）在绕点D旋转的过程中，连接，则的取值范围是______．
【答案】（1）3；
（2），证明如下：连接，
由旋转的性质，得，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴
∴；
（3）由旋转的性质可得：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，，即，
解得，
∴；
（4）．
【知识点】三角形全等及其性质；旋转的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：（1）∵是中点，点C和点A重合，
∴是中点，
∴是的中位线，
∴，
故答案为：3；
（4）如图，连接，
在中，
∵，，
∴，
由题意得
当点F在上时，最小，此时；
当点F在的延长线上时，最大，此时
∴，
故答案为：．
【分析】（1）根据三角形中位线定理即可求出答案.
（2）连接，由旋转的性质，得，，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（3）由旋转的性质可得：，，根据等边对等角可得，设，则，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（4）连接，根据勾股定理可得BC，再根据直角三角形斜边上的中线可得AD，由题意得，当点F在上时，最小，此时，当点F在的延长线上时，最大，此时，即可求出答案.
1 / 1

展开更多......

收起↑