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广西壮族自治区河池市环江县2024-2025学年八年级下学期期末数学试题
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．请用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．计算：的结果是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
2．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列式子一定是二次根式是(　　)
A． B． C．37 D．
4．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
5．下列是正比例函数的是（　　）
A． B． C． D．
6．某中学开展“情浓端午”经典诵读活动，9位评委给小红打分后，成绩统计如下：
平均数 众数 中位数 方差
90 92 89 0.3
如果去掉一个最高分，再去掉一个最低分，表中的数据不受影响的是（　　）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
7．某校为推荐一项作品参加“科技创新”比赛，对甲、乙、丙、丁四项候选作品进行量化评分，具体成绩（百分制）如表：
项目 作品 甲 乙 丙 丁
创新性 90 95 90 90
实用性 90 90 95 85
如果按照创新性占60%，实用性占40%计算总成绩，并根据总成绩择优推荐，那么应推荐的作品是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
8．一次函数的图象经过的象限是（　　）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第二、三象限 D．第一、二象限
9．下列说法中不正确的是（　　）
A．直线经过原点
B．直线位于第二、三、四象限
C．直线不经过第二象限
D．函数的值随值增大而增大
10．如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　）
A．当时，它是菱形 B．当时，它是菱形
C．当时，它是矩形 D．当时，它是正方形
11．如图，某轮船先从甲地航行到乙地，在乙地停留一段时间后，又从乙地航行返回到甲地，则下列说法错误的是（　　）
A．轮船从甲地到乙地的平均速度为
B．轮船在乙地停留了
C．轮船从乙地返回甲地的平均速度大于去时的速度
D．甲乙两地相距
12．如图，直线与轴、轴交于，两点，的平分线交轴于点，则直线的解析式是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（共4小题，4×3=12分．请把答案写在答题卡上对应的答题区城内．）
13．若代数式有意义，则实数的取值范围是　 　．
14．柳州市2024年5月底天气开始炎热，5月最后一周的最高温度(单位：℃)情况为：29、31、29、24、23、29、32，则这组数据的众数是：　 　.
15．将一次函数的图象向上平移2个单位长度后所对应的函数解析式为　 　.
16．一艘小船上午7点从某港口出发，它以海里/时的速度向北航行，1小时后另一艘小船也从该港口出发，以海里/时的速度向西航行，9点时两艘小船相距　 　海里．
三、解答题（共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或运算步骤，请将解答写在答题卡上对应的答题区域内．）
17．计算：
（1）．
（2）．
18．如图，在矩形中，，是对角线．
（1）尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点，（在图中标明相应的字母，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，连接，，求证：四边形是菱形．
19．如图，在一条笔直的火车轨道同侧有两城镇A，B，城镇A到轨道的垂直距离为5千米，城镇B到轨道的垂直距离为10千米，的长度为12千米．
（1）求城镇A，B之间的距离；
（2）现要在线段上修建一个货运中转站P，使得中转站P到城镇A，B的距离相等，此时中转站应修建在离点M多远处？
20．某景区有甲、乙两条上山的小路，均由连续的台阶构成，如图所示是甲、乙两路段部分台阶示意图（图中数据表示每一级台阶的高度，单位：
（1）分别求出两段台阶高度的中位数；
（2）小华同学计算了甲路段台阶高度的方差，即．求乙路段台阶高度的方差，并分析哪段台阶路走起来更舒服？为什么？
21．某班的部分同学计划去参观一个受欢迎的历史文化景点，该景点融合了传统文化和现代元素，吸引了大批的游客．近期，这个景点推出新的门票销售方案．提供两类门票：一类是普通门票，价格为80元/张；另一类是团体门票（一次性购买门票10张及以上）每张门票价格为普通门票的8折．设该班参加旅游的人数为人，购买门票共需要元．请解决以下问题．
（1）如果每个学生都购买普通门票，则与之间的函数解析式为________；
（2）如果购买团体票，求与之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（3）请根据人数的变化，直接设计一种最省钱的购票方案．
22．如图，正方形的边长为2，点是边的中点，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得到，延长交于点．
（1）判断和的数量关系，并说明理由；
（2）求四边形的面积．
23．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点是直线上方第一象限内的动点．
（1）求直线的表达式；
（2）当为等腰直角三角形时，求点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：∵==4，
故选B.
【分析】根据二次根式的乘法法则，然后化简计算即可得答案.
2．【答案】D
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，错误；
B、，错误；
C、，错误；
D、，正确.
故答案为：D.
【分析】
本题主要考查二次根式化简、乘法、除法及加减，在进行二次根式运算时注意先将二次根式化成最简二次根式.
3．【答案】B
【知识点】二次根式的概念
【解析】【解答】二次根式的被开方数为非负数，故A、D不符合，而C为整数，不符合题意；x2≥0，故一定是二次根式.
答案：B.
【分析】直接由二次根式的特点进行判断即可.
4．【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A.符合最简二次的定义．A符合题意；
B.= 中含有能开得尽方的因数，所以它不是最简二次根式．B不符合题意；
C. 该项二次根式中含有分母，所以它不是最简二次根式．B不符合题意；
D. 该二次根式中含有能开得尽方的因式，所以它不是最简二次根式．D不符合题意；
故选A.
【分析】最简二次根式的两个条件同时满足（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，同时满足的就是最简二次根式，题中只有选项A满足题意．
5．【答案】A
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】解：、是正比例函数，故选项符合题意；
、不是正比例函数，故选项不符合题意；
、表达式是分式，不是正比例函数，故选项不符合题意；
、是二次式，不是正比例函数，故选项不符合题意；
故选：．
【分析】根据正比例函数的定义逐项进行判断即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：去掉一个最高分，再去掉一个最低分，
一组数据中间的数不会改变，
即表中的数据不受影响的是中位数．
故选：C．
【分析】根据各统计量的意义即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】根据题意，得：
甲：90×60%+90×40%=90；
乙：95×60%+90×40%=93；
丙：90×60%+95×40%=92；
丁：90×60%+85×40%=88；
故答案为：B
【分析】分别求出甲、乙、丙、丁四个作品加权平均数，然后比较即得.
8．【答案】A
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：一次函数为正比例函数，
∵，
∴图象经过坐标原点和一、三象限，
故选：A．
【分析】根据一次函数的性质，一次函数为正比例函数过原点，，根据函数的性质即可求函数图象.
9．【答案】D
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】解：A、将代入得，即函数的图象经过原点，原说法正确，A不符合题意；
B、∵，
∴函数的图象位于第二、三、四象限，原说法正确，B不符合题意；
C、∵，
∴函数的图象经过一、三、四象限，不经过第二象限，原说法正确，C不符合题意；
D、∵，
∴函数的值随x值增大而减小，原说法错误，D符合题意；
故选：D．
【分析】本题主要考查了正比例函数的性质，一次函数图象与系数之间的关系，在中，当时，，据此可判断A；根据一次函数图象与系数之间的关系：①K>0，y随x的增大而增大，②K<0，y随x的增大而减小。当b<0时，图像与y轴相交于负半轴，当b>0时，图像与y轴相交于正轴，即可判断B、C正确，D错误．
10．【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形是平行四边形，当时，它是菱形，故A选项正确，不符合题意；
B、四边形是平行四边形，，四边形是菱形，故B选项正确，不符合题意；
C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项正确，不符合题意；
D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误，符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用菱形的判定方法（①四条边相等的四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③有一组邻边相等的平行四边形是菱形）、矩形的判定方法（①有三个角是直角的四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有一个角是直角的平行四边形是矩形）和正方形的判定方法（①对角线相等且垂直的平行四边形是正方形；②对角线相等的菱形是正方形；③对角线垂直的矩形是正方形）分析求解即可.
11．【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：、轮船从甲地到乙地的平均速度为，A不符合题意；
、轮船在乙地停留了，B不符合题意；
、轮船从乙地到甲地的平均速度为，则轮船从乙地到甲地的平均速度小于去时的速度，C符合题意；
、根据图象可知：甲、乙两地相距，D不符合题意；
故选：．
【分析】本题考查了函数的图象.根据函数图象逐项分析即可．
12．【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等的判定-SAS；一次函数的实际应用-几何问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：对于直线，
令，则；令，则，则，
，，即，，
根据勾股定理得：，
在轴上取一点，使，连接，
为的平分线，
，
在和中，
，
，
，
设，则，
在中，，
根据勾股定理得：，
解得：，
，即，
设直线解析式为，
将与坐标代入得：，
解得：，
则直线解析式为．
故答案为：C．
【分析】在轴上取一点，使，连接，先证出，可得， 设，则， 利用勾股定理可得， 求出x的值，可得点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式即可.
13．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意，得
解得
故答案为：
【分析】根据被开方数是非负数，可得答案.
14．【答案】29
【知识点】众数
【解析】【解答】观察数据知29度有3次，故众数为29
答案：29.
【分析】直接观察数据即可得众数.
15．【答案】
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】由平移的规则知向上平移2个单位得到函数y=3x+1+2，即y=3x+3
答案：y=3x+3
【分析】直接由函数平移的规则求解即可.
16．【答案】25
【知识点】方位角；勾股定理的实际应用-（行驶、航行）方向问题
【解析】【解答】解：如图，为9点时两艘小船的距离，
由题意知，，
由勾股定理得，，
故答案为：．
【分析】根据勾股定理即可求出答案.
17．【答案】（1）解：原式，
；

（2）解：原式，
，
．

【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先把二次根式化为最简的二次根式，然后加减合并即可；
（2）先把所有二次根式化为最简的二次根式，再把括号内合并，然后进行二次根式的除法运算即可得到答案；
（1）解：原式，
；
（2）解：原式，
，
．
18．【答案】（1）解：如图，即为所求，
（2）解：设与交于点，
为线段的垂直平分线，
，，
四边形为矩形，
，，
，，
，
，
四边形为平行四边形，
，
四边形为菱形.
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据线段的垂直平分线的作图步骤画图，分别以线段的两端点为圆心，大于线段一半长度为半径画弧，两弧交点的连线即为所求；
（2）设与交于点，证明，，再证明，可得，可得四边形为平行四边形，进一步可得结论.
（1）解：如图，即为所求，
（2）解：设与交于点，
为线段的垂直平分线，
，，
四边形为矩形，
，，
，，
，
，
四边形为平行四边形，
，
四边形为菱形.
19．【答案】（1）解：如图所示，过点作于点，连接．
．
，，
，，
四边形为矩形，
千米，千米，
（千米），
在中，（千米），
答：城镇，之间的距离为13千米；
（2）解：如图，连接，，设千米，则千米．，
，
∴，
解得，
中转站应修建在离点的距离为千米处．
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）过点作于点，连接，可证明四边形为矩形，得到千米，千米，求出（千米），由勾股定理可得（千米）；
（2）连接，，设千米，则千米．由勾股定理可得，解方程即可得到答案．
（1）解：如图所示，过点作于点，连接．
．
，，
，，
四边形为矩形，
千米，千米，
（千米），
在中，（千米），
答：城镇，之间的距离为13千米；
（2）解：如图，连接，，设千米，则千米．
，
，
∴，
解得，
中转站应修建在离点的距离为千米处．
20．【答案】（1）解：将甲路段台阶的高度从小到大进行排序后，排在中间的两个数为15，15，
甲路段台阶高度的中位数为，
将乙路段台阶的高度从小到大进行排序后，排在中间的两个数为15，17，
乙路段台阶高度的中位数为；
（2）解：
，
，
，
甲路段台阶高度的数据分布比较集中，偏离平均数较小即波动较小，比较稳定，
甲路段的台阶走起来更舒服一些．
【知识点】中位数；方差
【解析】【分析】（1）根据中位数的定义从小到大进行排序后找到排在中间数或者两个数的平均数，求解即可；
（2）先求出乙路段高度的平均数，进而求出乙路段高度的方差，再与甲路程高度的方差比较即可得到结论．
（1）解：将甲路段台阶的高度从小到大进行排序后，排在中间的两个数为15，15，
甲路段台阶高度的中位数为，
将乙路段台阶的高度从小到大进行排序后，排在中间的两个数为15，17，
乙路段台阶高度的中位数为；
（2）解：
，
，
，
甲路段台阶高度的数据分布比较集中，偏离平均数较小即波动较小，比较稳定，
甲路段的台阶走起来更舒服一些．
21．【答案】（1），
（2）解：∵团体门票（一次性购买门票10张及以上）每张门票价格为普通门票的8折．该班参加旅游的人数为x人，购买门票共需要y元，
∴；
（3）解：∵，
当人数时，按普通门票购票省钱；
当人数时，按普通门票购票和按团体门票购票一样省钱；
当人数时，按团体门票购票省钱．
【知识点】分段函数；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【解答】解：（1）∵普通门票，价格为80元/张，该班参加旅游的人数为x人，购买门票共需要y元，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据：买票总费用＝门票单价×门票张数建立函数关系式即可求出答案.
（2）买团体票，需要一次购买门票10张及以上，即，利用打折后的票价乘人数即可求出答案.
（3）根据8张普通门票的费用张团体门票费用，分类讨论：、、三种情况讨论；
22．【答案】（1）解：，理由如下：连接，
四边形是正方形，
，，
点是边的中点，
，
将沿直线翻折得，
，，，
，
，
∴，
；
（2）解：设，则，，
根据勾股定理得，
即，
解得，
，，
∴
．

【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；几何图形的面积计算-割补法；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）连接GE，先利用折叠的性质可得，，，再利用“HL”证出，最后利用全等三角形的性质可得；
（2）设，则，，利用勾股定理可得，求出t的值，再利用三角形的面积公式及割补法求出四边形BEFG的面积即可.
（1）解：，理由如下：
连接，
四边形是正方形，
，，
点是边的中点，
，
将沿直线翻折得，
，，，
，
，
∴，
；
（2）解：设，则，，
根据勾股定理得，
即，
解得，
，，
∴
．
23．【答案】（1）解：直线交轴于点，
，
直线的解析式是；

（2）解：当时，，
点
如图，当为直角顶点时，
过作轴于，过作于，
为等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，①，
②，
由①②解得：，，
，
，
如图，当为直角顶点时，过作轴于，
同理可证，
，即，
又，
，
如图，当为直角顶点时，过作轴于，
同理可证，
，即，
又，
，
综上所述，点坐标为或或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-几何问题；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】（1）把点代入，即可求解；
（2）分类讨论，为等腰直角三角形可以任意一个角为直角再利用全等三角形的判定和性质解答.
（1）解：直线交轴于点，
，
直线的解析式是；
（2）解：当时，，
点
如图，当为直角顶点时，
过作轴于，过作于，
为等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，①，
②，
由①②解得：，，
，
，
如图，当为直角顶点时，过作轴于，
同理可证，
，即，
又，
，
如图，当为直角顶点时，过作轴于，
同理可证，
，即，
又，
，
综上所述，点坐标为或或．
1 / 1广西壮族自治区河池市环江县2024-2025学年八年级下学期期末数学试题
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．请用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．计算：的结果是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】B
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：∵==4，
故选B.
【分析】根据二次根式的乘法法则，然后化简计算即可得答案.
2．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，错误；
B、，错误；
C、，错误；
D、，正确.
故答案为：D.
【分析】
本题主要考查二次根式化简、乘法、除法及加减，在进行二次根式运算时注意先将二次根式化成最简二次根式.
3．下列式子一定是二次根式是(　　)
A． B． C．37 D．
【答案】B
【知识点】二次根式的概念
【解析】【解答】二次根式的被开方数为非负数，故A、D不符合，而C为整数，不符合题意；x2≥0，故一定是二次根式.
答案：B.
【分析】直接由二次根式的特点进行判断即可.
4．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A.符合最简二次的定义．A符合题意；
B.= 中含有能开得尽方的因数，所以它不是最简二次根式．B不符合题意；
C. 该项二次根式中含有分母，所以它不是最简二次根式．B不符合题意；
D. 该二次根式中含有能开得尽方的因式，所以它不是最简二次根式．D不符合题意；
故选A.
【分析】最简二次根式的两个条件同时满足（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，同时满足的就是最简二次根式，题中只有选项A满足题意．
5．下列是正比例函数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】解：、是正比例函数，故选项符合题意；
、不是正比例函数，故选项不符合题意；
、表达式是分式，不是正比例函数，故选项不符合题意；
、是二次式，不是正比例函数，故选项不符合题意；
故选：．
【分析】根据正比例函数的定义逐项进行判断即可求出答案.
6．某中学开展“情浓端午”经典诵读活动，9位评委给小红打分后，成绩统计如下：
平均数 众数 中位数 方差
90 92 89 0.3
如果去掉一个最高分，再去掉一个最低分，表中的数据不受影响的是（　　）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
【答案】C
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：去掉一个最高分，再去掉一个最低分，
一组数据中间的数不会改变，
即表中的数据不受影响的是中位数．
故选：C．
【分析】根据各统计量的意义即可求出答案.
7．某校为推荐一项作品参加“科技创新”比赛，对甲、乙、丙、丁四项候选作品进行量化评分，具体成绩（百分制）如表：
项目 作品 甲 乙 丙 丁
创新性 90 95 90 90
实用性 90 90 95 85
如果按照创新性占60%，实用性占40%计算总成绩，并根据总成绩择优推荐，那么应推荐的作品是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】根据题意，得：
甲：90×60%+90×40%=90；
乙：95×60%+90×40%=93；
丙：90×60%+95×40%=92；
丁：90×60%+85×40%=88；
故答案为：B
【分析】分别求出甲、乙、丙、丁四个作品加权平均数，然后比较即得.
8．一次函数的图象经过的象限是（　　）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第二、三象限 D．第一、二象限
【答案】A
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：一次函数为正比例函数，
∵，
∴图象经过坐标原点和一、三象限，
故选：A．
【分析】根据一次函数的性质，一次函数为正比例函数过原点，，根据函数的性质即可求函数图象.
9．下列说法中不正确的是（　　）
A．直线经过原点
B．直线位于第二、三、四象限
C．直线不经过第二象限
D．函数的值随值增大而增大
【答案】D
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】解：A、将代入得，即函数的图象经过原点，原说法正确，A不符合题意；
B、∵，
∴函数的图象位于第二、三、四象限，原说法正确，B不符合题意；
C、∵，
∴函数的图象经过一、三、四象限，不经过第二象限，原说法正确，C不符合题意；
D、∵，
∴函数的值随x值增大而减小，原说法错误，D符合题意；
故选：D．
【分析】本题主要考查了正比例函数的性质，一次函数图象与系数之间的关系，在中，当时，，据此可判断A；根据一次函数图象与系数之间的关系：①K>0，y随x的增大而增大，②K<0，y随x的增大而减小。当b<0时，图像与y轴相交于负半轴，当b>0时，图像与y轴相交于正轴，即可判断B、C正确，D错误．
10．如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　）
A．当时，它是菱形 B．当时，它是菱形
C．当时，它是矩形 D．当时，它是正方形
【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形是平行四边形，当时，它是菱形，故A选项正确，不符合题意；
B、四边形是平行四边形，，四边形是菱形，故B选项正确，不符合题意；
C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项正确，不符合题意；
D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误，符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用菱形的判定方法（①四条边相等的四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③有一组邻边相等的平行四边形是菱形）、矩形的判定方法（①有三个角是直角的四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有一个角是直角的平行四边形是矩形）和正方形的判定方法（①对角线相等且垂直的平行四边形是正方形；②对角线相等的菱形是正方形；③对角线垂直的矩形是正方形）分析求解即可.
11．如图，某轮船先从甲地航行到乙地，在乙地停留一段时间后，又从乙地航行返回到甲地，则下列说法错误的是（　　）
A．轮船从甲地到乙地的平均速度为
B．轮船在乙地停留了
C．轮船从乙地返回甲地的平均速度大于去时的速度
D．甲乙两地相距
【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：、轮船从甲地到乙地的平均速度为，A不符合题意；
、轮船在乙地停留了，B不符合题意；
、轮船从乙地到甲地的平均速度为，则轮船从乙地到甲地的平均速度小于去时的速度，C符合题意；
、根据图象可知：甲、乙两地相距，D不符合题意；
故选：．
【分析】本题考查了函数的图象.根据函数图象逐项分析即可．
12．如图，直线与轴、轴交于，两点，的平分线交轴于点，则直线的解析式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等的判定-SAS；一次函数的实际应用-几何问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：对于直线，
令，则；令，则，则，
，，即，，
根据勾股定理得：，
在轴上取一点，使，连接，
为的平分线，
，
在和中，
，
，
，
设，则，
在中，，
根据勾股定理得：，
解得：，
，即，
设直线解析式为，
将与坐标代入得：，
解得：，
则直线解析式为．
故答案为：C．
【分析】在轴上取一点，使，连接，先证出，可得， 设，则， 利用勾股定理可得， 求出x的值，可得点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式即可.
二、填空题（共4小题，4×3=12分．请把答案写在答题卡上对应的答题区城内．）
13．若代数式有意义，则实数的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意，得
解得
故答案为：
【分析】根据被开方数是非负数，可得答案.
14．柳州市2024年5月底天气开始炎热，5月最后一周的最高温度(单位：℃)情况为：29、31、29、24、23、29、32，则这组数据的众数是：　 　.
【答案】29
【知识点】众数
【解析】【解答】观察数据知29度有3次，故众数为29
答案：29.
【分析】直接观察数据即可得众数.
15．将一次函数的图象向上平移2个单位长度后所对应的函数解析式为　 　.
【答案】
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】由平移的规则知向上平移2个单位得到函数y=3x+1+2，即y=3x+3
答案：y=3x+3
【分析】直接由函数平移的规则求解即可.
16．一艘小船上午7点从某港口出发，它以海里/时的速度向北航行，1小时后另一艘小船也从该港口出发，以海里/时的速度向西航行，9点时两艘小船相距　 　海里．
【答案】25
【知识点】方位角；勾股定理的实际应用-（行驶、航行）方向问题
【解析】【解答】解：如图，为9点时两艘小船的距离，
由题意知，，
由勾股定理得，，
故答案为：．
【分析】根据勾股定理即可求出答案.
三、解答题（共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或运算步骤，请将解答写在答题卡上对应的答题区域内．）
17．计算：
（1）．
（2）．
【答案】（1）解：原式，
；

（2）解：原式，
，
．

【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先把二次根式化为最简的二次根式，然后加减合并即可；
（2）先把所有二次根式化为最简的二次根式，再把括号内合并，然后进行二次根式的除法运算即可得到答案；
（1）解：原式，
；
（2）解：原式，
，
．
18．如图，在矩形中，，是对角线．
（1）尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点，（在图中标明相应的字母，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，连接，，求证：四边形是菱形．
【答案】（1）解：如图，即为所求，
（2）解：设与交于点，
为线段的垂直平分线，
，，
四边形为矩形，
，，
，，
，
，
四边形为平行四边形，
，
四边形为菱形.
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据线段的垂直平分线的作图步骤画图，分别以线段的两端点为圆心，大于线段一半长度为半径画弧，两弧交点的连线即为所求；
（2）设与交于点，证明，，再证明，可得，可得四边形为平行四边形，进一步可得结论.
（1）解：如图，即为所求，
（2）解：设与交于点，
为线段的垂直平分线，
，，
四边形为矩形，
，，
，，
，
，
四边形为平行四边形，
，
四边形为菱形.
19．如图，在一条笔直的火车轨道同侧有两城镇A，B，城镇A到轨道的垂直距离为5千米，城镇B到轨道的垂直距离为10千米，的长度为12千米．
（1）求城镇A，B之间的距离；
（2）现要在线段上修建一个货运中转站P，使得中转站P到城镇A，B的距离相等，此时中转站应修建在离点M多远处？
【答案】（1）解：如图所示，过点作于点，连接．
．
，，
，，
四边形为矩形，
千米，千米，
（千米），
在中，（千米），
答：城镇，之间的距离为13千米；
（2）解：如图，连接，，设千米，则千米．，
，
∴，
解得，
中转站应修建在离点的距离为千米处．
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）过点作于点，连接，可证明四边形为矩形，得到千米，千米，求出（千米），由勾股定理可得（千米）；
（2）连接，，设千米，则千米．由勾股定理可得，解方程即可得到答案．
（1）解：如图所示，过点作于点，连接．
．
，，
，，
四边形为矩形，
千米，千米，
（千米），
在中，（千米），
答：城镇，之间的距离为13千米；
（2）解：如图，连接，，设千米，则千米．
，
，
∴，
解得，
中转站应修建在离点的距离为千米处．
20．某景区有甲、乙两条上山的小路，均由连续的台阶构成，如图所示是甲、乙两路段部分台阶示意图（图中数据表示每一级台阶的高度，单位：
（1）分别求出两段台阶高度的中位数；
（2）小华同学计算了甲路段台阶高度的方差，即．求乙路段台阶高度的方差，并分析哪段台阶路走起来更舒服？为什么？
【答案】（1）解：将甲路段台阶的高度从小到大进行排序后，排在中间的两个数为15，15，
甲路段台阶高度的中位数为，
将乙路段台阶的高度从小到大进行排序后，排在中间的两个数为15，17，
乙路段台阶高度的中位数为；
（2）解：
，
，
，
甲路段台阶高度的数据分布比较集中，偏离平均数较小即波动较小，比较稳定，
甲路段的台阶走起来更舒服一些．
【知识点】中位数；方差
【解析】【分析】（1）根据中位数的定义从小到大进行排序后找到排在中间数或者两个数的平均数，求解即可；
（2）先求出乙路段高度的平均数，进而求出乙路段高度的方差，再与甲路程高度的方差比较即可得到结论．
（1）解：将甲路段台阶的高度从小到大进行排序后，排在中间的两个数为15，15，
甲路段台阶高度的中位数为，
将乙路段台阶的高度从小到大进行排序后，排在中间的两个数为15，17，
乙路段台阶高度的中位数为；
（2）解：
，
，
，
甲路段台阶高度的数据分布比较集中，偏离平均数较小即波动较小，比较稳定，
甲路段的台阶走起来更舒服一些．
21．某班的部分同学计划去参观一个受欢迎的历史文化景点，该景点融合了传统文化和现代元素，吸引了大批的游客．近期，这个景点推出新的门票销售方案．提供两类门票：一类是普通门票，价格为80元/张；另一类是团体门票（一次性购买门票10张及以上）每张门票价格为普通门票的8折．设该班参加旅游的人数为人，购买门票共需要元．请解决以下问题．
（1）如果每个学生都购买普通门票，则与之间的函数解析式为________；
（2）如果购买团体票，求与之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（3）请根据人数的变化，直接设计一种最省钱的购票方案．
【答案】（1），
（2）解：∵团体门票（一次性购买门票10张及以上）每张门票价格为普通门票的8折．该班参加旅游的人数为x人，购买门票共需要y元，
∴；
（3）解：∵，
当人数时，按普通门票购票省钱；
当人数时，按普通门票购票和按团体门票购票一样省钱；
当人数时，按团体门票购票省钱．
【知识点】分段函数；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【解答】解：（1）∵普通门票，价格为80元/张，该班参加旅游的人数为x人，购买门票共需要y元，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据：买票总费用＝门票单价×门票张数建立函数关系式即可求出答案.
（2）买团体票，需要一次购买门票10张及以上，即，利用打折后的票价乘人数即可求出答案.
（3）根据8张普通门票的费用张团体门票费用，分类讨论：、、三种情况讨论；
22．如图，正方形的边长为2，点是边的中点，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得到，延长交于点．
（1）判断和的数量关系，并说明理由；
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）解：，理由如下：连接，
四边形是正方形，
，，
点是边的中点，
，
将沿直线翻折得，
，，，
，
，
∴，
；
（2）解：设，则，，
根据勾股定理得，
即，
解得，
，，
∴
．

【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；几何图形的面积计算-割补法；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）连接GE，先利用折叠的性质可得，，，再利用“HL”证出，最后利用全等三角形的性质可得；
（2）设，则，，利用勾股定理可得，求出t的值，再利用三角形的面积公式及割补法求出四边形BEFG的面积即可.
（1）解：，理由如下：
连接，
四边形是正方形，
，，
点是边的中点，
，
将沿直线翻折得，
，，，
，
，
∴，
；
（2）解：设，则，，
根据勾股定理得，
即，
解得，
，，
∴
．
23．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点是直线上方第一象限内的动点．
（1）求直线的表达式；
（2）当为等腰直角三角形时，求点的坐标．
【答案】（1）解：直线交轴于点，
，
直线的解析式是；

（2）解：当时，，
点
如图，当为直角顶点时，
过作轴于，过作于，
为等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，①，
②，
由①②解得：，，
，
，
如图，当为直角顶点时，过作轴于，
同理可证，
，即，
又，
，
如图，当为直角顶点时，过作轴于，
同理可证，
，即，
又，
，
综上所述，点坐标为或或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-几何问题；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】（1）把点代入，即可求解；
（2）分类讨论，为等腰直角三角形可以任意一个角为直角再利用全等三角形的判定和性质解答.
（1）解：直线交轴于点，
，
直线的解析式是；
（2）解：当时，，
点
如图，当为直角顶点时，
过作轴于，过作于，
为等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，①，
②，
由①②解得：，，
，
，
如图，当为直角顶点时，过作轴于，
同理可证，
，即，
又，
，
如图，当为直角顶点时，过作轴于，
同理可证，
，即，
又，
，
综上所述，点坐标为或或．
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