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广东省广州市花都区2024—2025学年下学期八年级期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列式子一定是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的概念
【解析】【解答】A、，被开方数为，在实数范围内无意义，故Ａ错误.
B、，被开方数为，恒为正数，是二次根式，故Ｂ正确.
C、，被开方数为，当时有意义，但可能为负数（如），此时无意义，故Ｃ错误.
D、，被开方数为，需满足即，但可能为正数（如），故Ｄ错误.
故答案为：B．
【分析】根据二次根式的定义，被开方数必须非负，分别对Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ各选项进行判断即可得答案.
2．某班9名学生的身高（单位：）分别为：162，179，161，162，167，162，166，161，179，这组数据的众数是（　　）
A．161 B．162 C．167 D．179
【答案】B
【知识点】众数
【解析】【解答】解：将数据按出现次数统计：
161出现2次，
162出现3次，
166出现1次，
167出现1次，
179出现2次，
其中162出现次数最多（3次），因此众数为162.
故答案为：B．
【分析】根据出现次数最多的数据为众数即可得答案.
3．下列运算结果等于的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，故Ａ错误.
B、，故Ｂ错误.
C、，故Ｃ错误.
D、，故Ｄ正确.
故答案为：D．
【分析】根据合并同类二次根式，二次根式性质，二次根式的除法，分别计算各选项为，，，即可得答案.
4．将直线沿y轴向上平移3个单位长度，则平移后的直线解析式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：原直线为，向上平移3个单位长度后，所有点的纵坐标增加3，
∴平移后的解析式为.
故答案为：A．
【分析】根据平移法则，结合题目情境即可得平移后的解析式为.
5．已知的三边长分别为a、b、c，则下列不能判断为直角三角形的是（　　）
A．，， B．
C．，， D．，，
【答案】D
【知识点】二次根式的混合运算；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、因为，所以能判断为直角三角形，故Ａ错误.
B、根据，可设三边为，最大边为，再根据，即可能判断为直角三角形，故Ｂ错误.
C、因为，所以能判断为直角三角形，故Ｃ错误.
D、因为，所以不能判断为直角三角形，故Ｄ正确.
故答案为：D．
【分析】根据，，能判断为直角三角形，根据不能判断为直角三角形，即可得答案.
6．正比例函数的函数值随的增大而增大，则一次函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】正比例函数的图象
【解析】【解答】解：∵正比例函数的函数值y随x的增大而增大，∴，
∴一次函数的图象经过一、二、三象限．
故答案为：C．
【分析】根据正比例函数的函数值y随x的增大而增大，得，即可得一次函数的图象经过一、二、三象限．
7．小花同学将手里的正方形纸片沿着下图方式进行两次对折后，在第二次折痕处剪掉一个等腰直角三角形如图所示，则展开正方形纸片得到的图形是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：展开正方形纸片得到：
故答案为：A．
【分析】根据正方形的性质和轴对称的性质即可得答案.
8．如图，已知矩形的边在数轴的正半轴上，O为原点，，，连接，以O为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点D，则点D对应的数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】实数在数轴上的表示；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，
四边形是矩形，，
，
，
，
.
∴D对应的数为.
故答案为：B．
【分析】根据矩形的性质得等于，等于3，再根据勾股定理得的长，即可得D对应的数为.
9．如图，直线与交点的横坐标为2，则以下结论正确的是（　　）
A．， B．
C．当时， D．当时，
【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：如图，
直线经过第一、二、三象限，直线经过第一、三、四象限，
，即可得A、B错误.
直线与交点的横坐标为2，
时，，故C正确.
当时，，故D错误.
故答案为：C．
【分析】根据直线经过第一、二、三象限，直线经过第一、三、四象限，得
，即可判断A、B错误，根据直线与交点的横坐标为2，得时，判断C正确，当时，，故D错误，即可得答案.
10．如图，在某城市的科技园区规划中，存在一个平行四边形区域点O为科技展览中心，A、C分别为位于主干道和上的两座科研楼（可沿各自主干道调整位置），点B为园区管理中心．现需从O到B铺设一条光纤线路，为了节省成本，则该光纤线路的最小长度是（　　）
A．3 B． C．5 D．
【答案】C
【知识点】两点之间线段最短；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
连接交于H，
四边形是平行四边形，
，
，
、C分别为位于主干道和上，
点H的横坐标为，
点H在直线移动，
的最小值为，
的最小值为5.
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形的性质得相等，相等，可得等于的2倍，根据、C分别为位于主干道和上，得点H的横坐标为，即可得点H在直线移动，即可得的最小值为5.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11．计算结果是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：原式
，
故答案为：
【分析】根据二次根式的乘法法则进行计算即可得答案.
12．甲乙两地9月上旬的日平均气温如图所示，则甲乙两地这10天日平均气温的方差大小关系为　 　（填或）．
【答案】
【知识点】方差
【解析】【解答】解：观察平均气温统计图得：乙地的平均气温比较稳定，波动较小；
∴乙地的日平均气温的方差小，
∴
故答案为：
【分析】
本题主要考查方差的意义（方差反映数据的波动程度，方差越大，波动越大），通过观察气温统计图中数据的波动情况，直接判断方差大小关系.
13．如图，网格均是边长为1的小正方形，计算图中线段的长度是　 　．
【答案】
【知识点】运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：如图，
由图可得：.
故答案为：
【分析】根据勾股定理求出的长为即可得答案.
14．如图，D、E分别是的边、的中点，连接、，则：　 　．
【答案】
【知识点】利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：如图，
、分别是的边、的中点，
是的中线，是的中线，
，，
．
故答案为： ．
【分析】根据中线性质可得与面积相等，与面积相等，即可得的面积是面积的即可得答案.
15．与最简二次根式为同类二次根式，则　 　．
【答案】8
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：，
与最简二次根式为同类二次根式，
，
故答案为：
【分析】根据，与最简二次根式为同类二次根式得，计算即可得ｘ的值.
16．某校八年级学生外出参加实践活动，家长志愿者乘坐小巴士、学生乘坐大巴士沿着相同的路线同时前往目的地．小巴士送完家长后立即返回学校，大巴士因交通管制，在中途停留了一会后继续保持原速前往．如下图是两辆巴士距学校的距离与行驶时间之间的图象．结合图象分析以下信息：①大巴士遇到交通管制时已经行驶了120km；②；③当时，两辆巴士相遇；④小巴士返回的速度为，其中描述正确的是　 　（填入正确的序号）
【答案】①③④
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：由图象提供的信息可得大巴士遇到交通管制时已经行驶了，故①正确，符合题意；
大巴士行驶速度为，
，
，故②不正确，不符合题意；
当时，大巴士y与x的函数关系式为，
当时，小巴士行驶速度为，则y与x的函数关系式为，
当两辆巴士相遇时，得，
解得，
时，两辆巴士相遇，③正确，符合题意；
由②可知，小巴士返回的速度为，故④正确，符合题意．
故答案为：①③④．
【分析】①观察图象即可；②根据速度路程时间可得大巴的速度为60km/h，由于大巴士因交通管制，在中途停留了一会后继续保持原速前形， 由图象提供的信息可得交通管制的地方离实践基地距离为180-120=60km，再由时间路程速度计算大巴从交通管制地到实践基地所用时间，进而将个这个时间加上2.5就是a，据此可判断②④；③分别求出当时大巴士y与x的函数关系式和当时y与x的函数关系式，令两函数值相等，求出相遇x的值，即相遇时间即可判断③.
三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．计算：.
【答案】解：原式
.
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【分析】先根据二次根式性质把化简，再根据二次根式加减运算法则进行计算即可得答案.
18．如图，是的对角线，，，垂足分别为、，求证：．
【答案】证明：四边形是平行四边形，，，
，
，，
，
在和中，
，
∴≌，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】根据平行四边形的性质得出，，进而根据平行线的性质得出，根据题目已知条件可得，根据推出 ≌，根据全等三角形的对应边相等即可．
19．漏刻是我国古代的一种计时工具，该装置通过水位变化计量时间，体现了古代对函数关系的创造性运用．某数学兴趣小组依据漏刻的原理设计了一个简易模型如图，每分钟记录水位数据并整理如下表：
记录时间 0 1 2 3 …
水位高度 2 …
（1）兴趣小组研究发现水位高度是时间的一次函数，求该一次函数关系式；
（2）当水位高度y为时，求此时的时间．
【答案】（1）解：设一次函数的解析式为，则：
，解得，
∴该一次函数关系式．
（2）解：由（1）得，
当时，，解得：，
∴此时时间为．
【知识点】一次函数的概念；待定系数法求一次函数解析式
【解析】【分析】（1）设一次函数的解析式为，把分别代入解析式列方程组，解出即可得该一次函数关系式．
（2）由（1）得，令，即可得此时的时间．
（1）解：设一次函数的解析式为，
把分别代入解析式，得，
解得，
∴．
（2）解：根据题意，得时，，
解得，
此时时间为．
20．正佳广场作为广州市的核心文商旅综合体地标，节假日日均客流量逾40万人次．如图为该商场某一段扶梯的示意图，已知扶梯的高度米，水平宽度米．扶梯运行速度为米/秒．若顾客站立于自动扶梯上（不主动行走），从底端点A随扶梯自动运行至顶端点B，需要多长时间？
【答案】解：如图，
在中，，米，米，
（米）．
设需要x秒，根据题意得：，解得：．
∴若顾客站立于自动扶梯上不主动行走，从底端点A随扶梯自动运行至顶端点B，需要16秒．
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】根据勾股定理可求出的长为8米，设需要x秒，利用路程速度时间，可列出方程，解之即可得若顾客站立于自动扶梯上不主动行走，从底端点A随扶梯自动运行至顶端点B，需要16秒．
21．近期为了助力推广冰雪运动在花都区的发展，广州融创决定启动2025年花都区青少年滑雪竞技队队员招募活动，本次活动有40名选手参与选拔，每位选手需参加体能、技能、心理素质三项测试（每项满分100分），下表是对甲、乙两名选手的成绩记录．
成绩/分
体能 技能 心理素质
甲 85 80 93
乙 78 94 82
（1）若根据三项成绩的平均分确定总评成绩，则______的成绩更好（填甲或乙）；
（2）根据需要，现将体能、技能、心理素质三项成绩分别按，，的占比计入总评成绩，则谁的成绩更好？请通过计算说明．
（3）根据中的计算方式得出40名选手的总评成绩，并对成绩进行整理，绘制出了如图所示的频数分布直方图．若主办方决定根据总评成绩择优选拔20名滑雪竞技队员，请分析甲、乙选手能否入选，并说明理由．
【答案】（1）甲
（2）解：根据题意得：
甲的成绩为（分），
乙的成绩为（分），
∵，
乙的成绩更好．
（3）解：甲、乙选手能入选，理由如下：
由统计图可知，80到100分的人数有（人），
甲的成绩为分，乙的成绩为分，
甲和乙都排在前19名，
优选拔20名滑雪竞技队员，
甲、乙选手能入选．
【知识点】频数（率）分布直方图；平均数及其计算；加权平均数及其计算
【解析】【解答】（1）解：根据题意得：
甲的成绩为（分），
乙的成绩为（分），
∵，
甲的成绩更好．
故答案为：甲．
【分析】根据平均数的计算公式分别求出甲和乙的成绩，判断大小即可得甲的成绩更好．
根据加权平均分的定义分别求出甲和乙的成绩，判断大小即可得乙的成绩更好．
由统计图可知，80到100分的人数有人，可知甲和乙都排在前19名，进而可知甲、乙选手能入选．
（1）解：由题意得，甲的成绩为（分），
乙的成绩为（分），
∵，
甲的成绩更好．
故答案为：甲．
（2）解：由题意得，甲的成绩为（分），
乙的成绩为（分），
∵，
乙的成绩更好．
（3）解：甲、乙选手能入选．
理由：由统计图可知，80到100分的人数有（人），
甲的成绩为分，乙的成绩为分，
甲和乙都排在前19名，
优选拔20名滑雪竞技队员，
甲、乙选手能入选．
22．如图，在中，，D、E分别是的中点，连接，过点B作，交的延长线于点
（1）求证：四边形是矩形．
（2）连接，若，，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：如图，
、分别是、的中点，
是的中位线，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形．
（2）解：如图，
，
，
，
，
，
，
四边形的面积
【知识点】矩形的判定；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理得到平行，再根据平行线的性质得到等于，根据矩形的判定定理得四边形是矩形．
（2）根据直角三角形的性质得到等于的2倍，等于4，即可得等于的2倍，等于2，根据勾股定理得到等于，根据矩形的面积公式即可得四边形的面积为.
（1）证明：、分别是、的中点，
是的中位线，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形．
（2）解：，
，
，
，
，
，
四边形的面积
23．综合与实践
背景 6月下旬，华南地区高温高湿，某高端花圃为保障中秋花卉订单及名贵品种背景（如蝴蝶兰）的精细化栽培，采购了若干个新型材料制成的塑料花盆．
素材 如图为该塑料花盆叠放在一起的示意图，若一个塑料花盆高为，每增加一个花盆，高度增加
问题解决
任务一 若该花圃购买了n个塑料花盆，将其全部叠放在一起，则叠放高度（单位；）与塑料花盐个数n的表达式为：______；
任务二 若该花圃准备使用甲种纸箱来包装塑料花盆，已知该纸箱的高度为，其底面恰好可以放入1个花盆，每个纸箱的上下底都要装上厚的防震泡沫板，求每个甲种纸箱最多能装下多少个塑料花盆；
任务三 现塑料花盆供应商另提供了乙种纸箱，每个最多可以装下15个塑料花盆．已知甲、乙两种纸箱的单价分别为3元/个和2元/个，若该花圃要采购1200个塑料花盆，计划用甲、乙两种纸箱共70个来包装塑料花盆，如何选用甲、乙两种纸箱，使得支出的包装费用最少？最少是多少？
【答案】（1）
解：（2）根据题意，得，
解得，
每个甲种纸箱最多能装下20个塑料花盆．
（3）设选用甲种纸箱x个，则选用乙种纸箱个．
根据题意，得，
解得，
设包装费用为y元，则，
，
随x的增大而增大，
，
当时y值最小，y最小，
个
答：选用甲种纸箱30个、乙种纸箱40个使得支出的包装费用最少，最少是170元
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1），
与n的表达式为
故答案为：；
【分析】（1）根据叠放总高度等于第一个花盆的高度+叠放(n-1)个花盆增加的高度即可建立出h关于n的函数关系式；
（2）根据叠放n个花盆的总高度与两个防震泡沫板厚度和不大于该包装纸箱的总高度，列关于n的一元一次不等式，求出其最大整数解即可；
（3）设选用甲种纸箱x个，则选用乙种纸箱个，根据x个甲种纸箱包装塑料花盆的个数与(70-x)个乙种纸箱包装塑料花盆的个数和不小于1200，列关于x的一元一次不等式并求其解集；设包装费用为y元，写出y关于x的函数关系式，根据一次函数的增减性和x的取值范围，确定当x取何值时y值最小，求出其最小值即可．
24．如图1，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、点C，以为边在第一象限作正方形，动点P在直线上运动，连接，将线段绕点P顺时针方向旋转得线段（点Q在直线上方）
（1）点A的坐标为______，点C的坐标为______；
（2）设点，请求出点Q的坐标（用含m的式子表示），并判断点Q是否在直线上．若是，请证明，若不是，请说明理由；
（3）如图2，连接并延长，交线段于点M，当时，求的长．
【答案】（1）；.
（2）解：点Q是否在直线上，理由如下：
过点Q作垂直于直线交于点G，
，
，
，
，
，
∴，
，
，
当时，，
点Q在直线上.
（3）解：，，
，
是的中点，
设，则，
，
根据题意，
设直线的解析式为，
，解得：，
直线的解析式为，
点在上，
，解得：，
，
∴．
【知识点】坐标与图形性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）当时，，解得，
，
当时，，
∴，
故答案为：；.
【分析】（1））当时，代入解析式得，当时，代入解析式得即可得答案.
（2）过点Q作垂直于直线交于点G，根据等于，即可得和为，根据和为，即可得相等，即可证明全等，可求，再判定点Q在直线上.
（3）根据条件可知M是的中点，设，则，，设直线的解析式为，可列方程组，解出得直线的解析式为，根据M点在上，即可求m的值，从而确定点M的坐标，求出即可．
（1）解：当时，，解得，
，
当时，，
∴，
故答案为：，；
（2）解：点Q是否在直线上，理由如下：
过点Q作垂直于直线交于点G，
，
，
，
，
，
∴，
，
，
当时，，
点Q在直线上；
（3）解：，
，
，
是的中点，
设，则，
，
根据题意，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
点在上，
，
解得，
，
∴．
25．在菱形中，，点F、G分别是边上的动点（不与端点重合）
（1）连接，若，，请在图1中画图分析，直接写出的度数：______．
（2）若；
①如图2，连接、得，试判断的形状，并证明．
②如图3，点E是边上的动点，且，连接，点M是的中点，若，求的取值范围．
【答案】（1）或.
（2）解：①是等边三角形，证明如下：
如图2，
连接，
四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
同理可得，是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形.
②如图，
以BC所在的直线为x轴，点B为原点，过点B与BC的直线为y轴建立坐标系，设的延长线交y轴于H，作轴于Q，
设，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
，
，
∵点F、G分别是边上的动点（不与端点重合），
，
当时，，
最小，
当或4时，，
最大，
.
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】（1）解：如图1，
当时，
四边形是菱形，，
，
，
，
当点G在处时，
，
，
，
故答案为：或.
【分析】（1）以A为圆心，AF为半径画弧，可能交CD于两点，当等于时，
根据四边形是菱形，等于，得平行，即可得等于，即可得等于，同理得当点G在处时，即可得，综合得的度数或.
（2）①连接AC，根据已知得、全等，从而得相等，相等，进而得等于，从而是等边三角形.
②以BC所在的直线为x轴，点B为原点，过点B与BC的直线为y轴建立坐标系，设DAD延长线于H，作轴于Q，设，可表示出，从而，可表示出，从而得出，进一步得出结果．
（1）解：如图1，
当时，
四边形是菱形，，
，
，
，
当点G在处时，
，
，
，
故答案为：或；
（2）①是等边三角形，理由如下：
连接，如图2，
四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
同理可得，是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形；
②如图，
以BC所在的直线为x轴，点B为原点，过点B与BC的直线为y轴建立坐标系，设的延长线交y轴于H，作轴于Q，
设，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
，
，
∵点F、G分别是边上的动点（不与端点重合），
，
当时，，
最小，
当或4时，，
最大，
1 / 1广东省广州市花都区2024—2025学年下学期八年级期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列式子一定是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．某班9名学生的身高（单位：）分别为：162，179，161，162，167，162，166，161，179，这组数据的众数是（　　）
A．161 B．162 C．167 D．179
3．下列运算结果等于的是（　　）
A． B． C． D．
4．将直线沿y轴向上平移3个单位长度，则平移后的直线解析式是（　　）
A． B． C． D．
5．已知的三边长分别为a、b、c，则下列不能判断为直角三角形的是（　　）
A．，， B．
C．，， D．，，
6．正比例函数的函数值随的增大而增大，则一次函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
7．小花同学将手里的正方形纸片沿着下图方式进行两次对折后，在第二次折痕处剪掉一个等腰直角三角形如图所示，则展开正方形纸片得到的图形是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，已知矩形的边在数轴的正半轴上，O为原点，，，连接，以O为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点D，则点D对应的数为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，直线与交点的横坐标为2，则以下结论正确的是（　　）
A．， B．
C．当时， D．当时，
10．如图，在某城市的科技园区规划中，存在一个平行四边形区域点O为科技展览中心，A、C分别为位于主干道和上的两座科研楼（可沿各自主干道调整位置），点B为园区管理中心．现需从O到B铺设一条光纤线路，为了节省成本，则该光纤线路的最小长度是（　　）
A．3 B． C．5 D．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11．计算结果是　 　．
12．甲乙两地9月上旬的日平均气温如图所示，则甲乙两地这10天日平均气温的方差大小关系为　 　（填或）．
13．如图，网格均是边长为1的小正方形，计算图中线段的长度是　 　．
14．如图，D、E分别是的边、的中点，连接、，则：　 　．
15．与最简二次根式为同类二次根式，则　 　．
16．某校八年级学生外出参加实践活动，家长志愿者乘坐小巴士、学生乘坐大巴士沿着相同的路线同时前往目的地．小巴士送完家长后立即返回学校，大巴士因交通管制，在中途停留了一会后继续保持原速前往．如下图是两辆巴士距学校的距离与行驶时间之间的图象．结合图象分析以下信息：①大巴士遇到交通管制时已经行驶了120km；②；③当时，两辆巴士相遇；④小巴士返回的速度为，其中描述正确的是　 　（填入正确的序号）
三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．计算：.
18．如图，是的对角线，，，垂足分别为、，求证：．
19．漏刻是我国古代的一种计时工具，该装置通过水位变化计量时间，体现了古代对函数关系的创造性运用．某数学兴趣小组依据漏刻的原理设计了一个简易模型如图，每分钟记录水位数据并整理如下表：
记录时间 0 1 2 3 …
水位高度 2 …
（1）兴趣小组研究发现水位高度是时间的一次函数，求该一次函数关系式；
（2）当水位高度y为时，求此时的时间．
20．正佳广场作为广州市的核心文商旅综合体地标，节假日日均客流量逾40万人次．如图为该商场某一段扶梯的示意图，已知扶梯的高度米，水平宽度米．扶梯运行速度为米/秒．若顾客站立于自动扶梯上（不主动行走），从底端点A随扶梯自动运行至顶端点B，需要多长时间？
21．近期为了助力推广冰雪运动在花都区的发展，广州融创决定启动2025年花都区青少年滑雪竞技队队员招募活动，本次活动有40名选手参与选拔，每位选手需参加体能、技能、心理素质三项测试（每项满分100分），下表是对甲、乙两名选手的成绩记录．
成绩/分
体能 技能 心理素质
甲 85 80 93
乙 78 94 82
（1）若根据三项成绩的平均分确定总评成绩，则______的成绩更好（填甲或乙）；
（2）根据需要，现将体能、技能、心理素质三项成绩分别按，，的占比计入总评成绩，则谁的成绩更好？请通过计算说明．
（3）根据中的计算方式得出40名选手的总评成绩，并对成绩进行整理，绘制出了如图所示的频数分布直方图．若主办方决定根据总评成绩择优选拔20名滑雪竞技队员，请分析甲、乙选手能否入选，并说明理由．
22．如图，在中，，D、E分别是的中点，连接，过点B作，交的延长线于点
（1）求证：四边形是矩形．
（2）连接，若，，求四边形的面积．
23．综合与实践
背景 6月下旬，华南地区高温高湿，某高端花圃为保障中秋花卉订单及名贵品种背景（如蝴蝶兰）的精细化栽培，采购了若干个新型材料制成的塑料花盆．
素材 如图为该塑料花盆叠放在一起的示意图，若一个塑料花盆高为，每增加一个花盆，高度增加
问题解决
任务一 若该花圃购买了n个塑料花盆，将其全部叠放在一起，则叠放高度（单位；）与塑料花盐个数n的表达式为：______；
任务二 若该花圃准备使用甲种纸箱来包装塑料花盆，已知该纸箱的高度为，其底面恰好可以放入1个花盆，每个纸箱的上下底都要装上厚的防震泡沫板，求每个甲种纸箱最多能装下多少个塑料花盆；
任务三 现塑料花盆供应商另提供了乙种纸箱，每个最多可以装下15个塑料花盆．已知甲、乙两种纸箱的单价分别为3元/个和2元/个，若该花圃要采购1200个塑料花盆，计划用甲、乙两种纸箱共70个来包装塑料花盆，如何选用甲、乙两种纸箱，使得支出的包装费用最少？最少是多少？
24．如图1，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、点C，以为边在第一象限作正方形，动点P在直线上运动，连接，将线段绕点P顺时针方向旋转得线段（点Q在直线上方）
（1）点A的坐标为______，点C的坐标为______；
（2）设点，请求出点Q的坐标（用含m的式子表示），并判断点Q是否在直线上．若是，请证明，若不是，请说明理由；
（3）如图2，连接并延长，交线段于点M，当时，求的长．
25．在菱形中，，点F、G分别是边上的动点（不与端点重合）
（1）连接，若，，请在图1中画图分析，直接写出的度数：______．
（2）若；
①如图2，连接、得，试判断的形状，并证明．
②如图3，点E是边上的动点，且，连接，点M是的中点，若，求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次根式的概念
【解析】【解答】A、，被开方数为，在实数范围内无意义，故Ａ错误.
B、，被开方数为，恒为正数，是二次根式，故Ｂ正确.
C、，被开方数为，当时有意义，但可能为负数（如），此时无意义，故Ｃ错误.
D、，被开方数为，需满足即，但可能为正数（如），故Ｄ错误.
故答案为：B．
【分析】根据二次根式的定义，被开方数必须非负，分别对Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ各选项进行判断即可得答案.
2．【答案】B
【知识点】众数
【解析】【解答】解：将数据按出现次数统计：
161出现2次，
162出现3次，
166出现1次，
167出现1次，
179出现2次，
其中162出现次数最多（3次），因此众数为162.
故答案为：B．
【分析】根据出现次数最多的数据为众数即可得答案.
3．【答案】D
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，故Ａ错误.
B、，故Ｂ错误.
C、，故Ｃ错误.
D、，故Ｄ正确.
故答案为：D．
【分析】根据合并同类二次根式，二次根式性质，二次根式的除法，分别计算各选项为，，，即可得答案.
4．【答案】A
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：原直线为，向上平移3个单位长度后，所有点的纵坐标增加3，
∴平移后的解析式为.
故答案为：A．
【分析】根据平移法则，结合题目情境即可得平移后的解析式为.
5．【答案】D
【知识点】二次根式的混合运算；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、因为，所以能判断为直角三角形，故Ａ错误.
B、根据，可设三边为，最大边为，再根据，即可能判断为直角三角形，故Ｂ错误.
C、因为，所以能判断为直角三角形，故Ｃ错误.
D、因为，所以不能判断为直角三角形，故Ｄ正确.
故答案为：D．
【分析】根据，，能判断为直角三角形，根据不能判断为直角三角形，即可得答案.
6．【答案】C
【知识点】正比例函数的图象
【解析】【解答】解：∵正比例函数的函数值y随x的增大而增大，∴，
∴一次函数的图象经过一、二、三象限．
故答案为：C．
【分析】根据正比例函数的函数值y随x的增大而增大，得，即可得一次函数的图象经过一、二、三象限．
7．【答案】A
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：展开正方形纸片得到：
故答案为：A．
【分析】根据正方形的性质和轴对称的性质即可得答案.
8．【答案】B
【知识点】实数在数轴上的表示；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，
四边形是矩形，，
，
，
，
.
∴D对应的数为.
故答案为：B．
【分析】根据矩形的性质得等于，等于3，再根据勾股定理得的长，即可得D对应的数为.
9．【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：如图，
直线经过第一、二、三象限，直线经过第一、三、四象限，
，即可得A、B错误.
直线与交点的横坐标为2，
时，，故C正确.
当时，，故D错误.
故答案为：C．
【分析】根据直线经过第一、二、三象限，直线经过第一、三、四象限，得
，即可判断A、B错误，根据直线与交点的横坐标为2，得时，判断C正确，当时，，故D错误，即可得答案.
10．【答案】C
【知识点】两点之间线段最短；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
连接交于H，
四边形是平行四边形，
，
，
、C分别为位于主干道和上，
点H的横坐标为，
点H在直线移动，
的最小值为，
的最小值为5.
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形的性质得相等，相等，可得等于的2倍，根据、C分别为位于主干道和上，得点H的横坐标为，即可得点H在直线移动，即可得的最小值为5.
11．【答案】
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：原式
，
故答案为：
【分析】根据二次根式的乘法法则进行计算即可得答案.
12．【答案】
【知识点】方差
【解析】【解答】解：观察平均气温统计图得：乙地的平均气温比较稳定，波动较小；
∴乙地的日平均气温的方差小，
∴
故答案为：
【分析】
本题主要考查方差的意义（方差反映数据的波动程度，方差越大，波动越大），通过观察气温统计图中数据的波动情况，直接判断方差大小关系.
13．【答案】
【知识点】运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：如图，
由图可得：.
故答案为：
【分析】根据勾股定理求出的长为即可得答案.
14．【答案】
【知识点】利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：如图，
、分别是的边、的中点，
是的中线，是的中线，
，，
．
故答案为： ．
【分析】根据中线性质可得与面积相等，与面积相等，即可得的面积是面积的即可得答案.
15．【答案】8
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：，
与最简二次根式为同类二次根式，
，
故答案为：
【分析】根据，与最简二次根式为同类二次根式得，计算即可得ｘ的值.
16．【答案】①③④
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：由图象提供的信息可得大巴士遇到交通管制时已经行驶了，故①正确，符合题意；
大巴士行驶速度为，
，
，故②不正确，不符合题意；
当时，大巴士y与x的函数关系式为，
当时，小巴士行驶速度为，则y与x的函数关系式为，
当两辆巴士相遇时，得，
解得，
时，两辆巴士相遇，③正确，符合题意；
由②可知，小巴士返回的速度为，故④正确，符合题意．
故答案为：①③④．
【分析】①观察图象即可；②根据速度路程时间可得大巴的速度为60km/h，由于大巴士因交通管制，在中途停留了一会后继续保持原速前形， 由图象提供的信息可得交通管制的地方离实践基地距离为180-120=60km，再由时间路程速度计算大巴从交通管制地到实践基地所用时间，进而将个这个时间加上2.5就是a，据此可判断②④；③分别求出当时大巴士y与x的函数关系式和当时y与x的函数关系式，令两函数值相等，求出相遇x的值，即相遇时间即可判断③.
17．【答案】解：原式
.
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【分析】先根据二次根式性质把化简，再根据二次根式加减运算法则进行计算即可得答案.
18．【答案】证明：四边形是平行四边形，，，
，
，，
，
在和中，
，
∴≌，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】根据平行四边形的性质得出，，进而根据平行线的性质得出，根据题目已知条件可得，根据推出 ≌，根据全等三角形的对应边相等即可．
19．【答案】（1）解：设一次函数的解析式为，则：
，解得，
∴该一次函数关系式．
（2）解：由（1）得，
当时，，解得：，
∴此时时间为．
【知识点】一次函数的概念；待定系数法求一次函数解析式
【解析】【分析】（1）设一次函数的解析式为，把分别代入解析式列方程组，解出即可得该一次函数关系式．
（2）由（1）得，令，即可得此时的时间．
（1）解：设一次函数的解析式为，
把分别代入解析式，得，
解得，
∴．
（2）解：根据题意，得时，，
解得，
此时时间为．
20．【答案】解：如图，
在中，，米，米，
（米）．
设需要x秒，根据题意得：，解得：．
∴若顾客站立于自动扶梯上不主动行走，从底端点A随扶梯自动运行至顶端点B，需要16秒．
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】根据勾股定理可求出的长为8米，设需要x秒，利用路程速度时间，可列出方程，解之即可得若顾客站立于自动扶梯上不主动行走，从底端点A随扶梯自动运行至顶端点B，需要16秒．
21．【答案】（1）甲
（2）解：根据题意得：
甲的成绩为（分），
乙的成绩为（分），
∵，
乙的成绩更好．
（3）解：甲、乙选手能入选，理由如下：
由统计图可知，80到100分的人数有（人），
甲的成绩为分，乙的成绩为分，
甲和乙都排在前19名，
优选拔20名滑雪竞技队员，
甲、乙选手能入选．
【知识点】频数（率）分布直方图；平均数及其计算；加权平均数及其计算
【解析】【解答】（1）解：根据题意得：
甲的成绩为（分），
乙的成绩为（分），
∵，
甲的成绩更好．
故答案为：甲．
【分析】根据平均数的计算公式分别求出甲和乙的成绩，判断大小即可得甲的成绩更好．
根据加权平均分的定义分别求出甲和乙的成绩，判断大小即可得乙的成绩更好．
由统计图可知，80到100分的人数有人，可知甲和乙都排在前19名，进而可知甲、乙选手能入选．
（1）解：由题意得，甲的成绩为（分），
乙的成绩为（分），
∵，
甲的成绩更好．
故答案为：甲．
（2）解：由题意得，甲的成绩为（分），
乙的成绩为（分），
∵，
乙的成绩更好．
（3）解：甲、乙选手能入选．
理由：由统计图可知，80到100分的人数有（人），
甲的成绩为分，乙的成绩为分，
甲和乙都排在前19名，
优选拔20名滑雪竞技队员，
甲、乙选手能入选．
22．【答案】（1）证明：如图，
、分别是、的中点，
是的中位线，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形．
（2）解：如图，
，
，
，
，
，
，
四边形的面积
【知识点】矩形的判定；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理得到平行，再根据平行线的性质得到等于，根据矩形的判定定理得四边形是矩形．
（2）根据直角三角形的性质得到等于的2倍，等于4，即可得等于的2倍，等于2，根据勾股定理得到等于，根据矩形的面积公式即可得四边形的面积为.
（1）证明：、分别是、的中点，
是的中位线，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形．
（2）解：，
，
，
，
，
，
四边形的面积
23．【答案】（1）
解：（2）根据题意，得，
解得，
每个甲种纸箱最多能装下20个塑料花盆．
（3）设选用甲种纸箱x个，则选用乙种纸箱个．
根据题意，得，
解得，
设包装费用为y元，则，
，
随x的增大而增大，
，
当时y值最小，y最小，
个
答：选用甲种纸箱30个、乙种纸箱40个使得支出的包装费用最少，最少是170元
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1），
与n的表达式为
故答案为：；
【分析】（1）根据叠放总高度等于第一个花盆的高度+叠放(n-1)个花盆增加的高度即可建立出h关于n的函数关系式；
（2）根据叠放n个花盆的总高度与两个防震泡沫板厚度和不大于该包装纸箱的总高度，列关于n的一元一次不等式，求出其最大整数解即可；
（3）设选用甲种纸箱x个，则选用乙种纸箱个，根据x个甲种纸箱包装塑料花盆的个数与(70-x)个乙种纸箱包装塑料花盆的个数和不小于1200，列关于x的一元一次不等式并求其解集；设包装费用为y元，写出y关于x的函数关系式，根据一次函数的增减性和x的取值范围，确定当x取何值时y值最小，求出其最小值即可．
24．【答案】（1）；.
（2）解：点Q是否在直线上，理由如下：
过点Q作垂直于直线交于点G，
，
，
，
，
，
∴，
，
，
当时，，
点Q在直线上.
（3）解：，，
，
是的中点，
设，则，
，
根据题意，
设直线的解析式为，
，解得：，
直线的解析式为，
点在上，
，解得：，
，
∴．
【知识点】坐标与图形性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）当时，，解得，
，
当时，，
∴，
故答案为：；.
【分析】（1））当时，代入解析式得，当时，代入解析式得即可得答案.
（2）过点Q作垂直于直线交于点G，根据等于，即可得和为，根据和为，即可得相等，即可证明全等，可求，再判定点Q在直线上.
（3）根据条件可知M是的中点，设，则，，设直线的解析式为，可列方程组，解出得直线的解析式为，根据M点在上，即可求m的值，从而确定点M的坐标，求出即可．
（1）解：当时，，解得，
，
当时，，
∴，
故答案为：，；
（2）解：点Q是否在直线上，理由如下：
过点Q作垂直于直线交于点G，
，
，
，
，
，
∴，
，
，
当时，，
点Q在直线上；
（3）解：，
，
，
是的中点，
设，则，
，
根据题意，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
点在上，
，
解得，
，
∴．
25．【答案】（1）或.
（2）解：①是等边三角形，证明如下：
如图2，
连接，
四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
同理可得，是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形.
②如图，
以BC所在的直线为x轴，点B为原点，过点B与BC的直线为y轴建立坐标系，设的延长线交y轴于H，作轴于Q，
设，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
，
，
∵点F、G分别是边上的动点（不与端点重合），
，
当时，，
最小，
当或4时，，
最大，
.
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】（1）解：如图1，
当时，
四边形是菱形，，
，
，
，
当点G在处时，
，
，
，
故答案为：或.
【分析】（1）以A为圆心，AF为半径画弧，可能交CD于两点，当等于时，
根据四边形是菱形，等于，得平行，即可得等于，即可得等于，同理得当点G在处时，即可得，综合得的度数或.
（2）①连接AC，根据已知得、全等，从而得相等，相等，进而得等于，从而是等边三角形.
②以BC所在的直线为x轴，点B为原点，过点B与BC的直线为y轴建立坐标系，设DAD延长线于H，作轴于Q，设，可表示出，从而，可表示出，从而得出，进一步得出结果．
（1）解：如图1，
当时，
四边形是菱形，，
，
，
，
当点G在处时，
，
，
，
故答案为：或；
（2）①是等边三角形，理由如下：
连接，如图2，
四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
同理可得，是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形；
②如图，
以BC所在的直线为x轴，点B为原点，过点B与BC的直线为y轴建立坐标系，设的延长线交y轴于H，作轴于Q，
设，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
，
，
∵点F、G分别是边上的动点（不与端点重合），
，
当时，，
最小，
当或4时，，
最大，
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