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2026年中考数学一轮复习专题：三角形综合
一、单选题
1．如图，将绕点逆时针旋转，得到．若点在线段的延长线上，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示，在中，是的平分线，且，过点作交于，若，则的长为（ ）．
A． B． C． D．
3．游戏时，3名同学分别站在三个顶点的位置上、要求在他们中间放一个凳子，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在的（ ）
A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边中线的交点 D．三边上高的交点
4．如图，在等腰中，，，点为斜边的中点，点，分别从，两点同时出发，以的速度沿，方向运动，到达点，时停止运动．设两点的运动时间为，的面积为，则与的关系可用图象表示为（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，若，则添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，的外角的平分线与相交于点P，若点P到的距离为3，则点P到的距离为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
7．如图，矩形中，，，点P为的中点，若点P绕上的点Q旋转后可以与点B重合，则的长为（ ）
A．6 B． C．3 D．4
8．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，点在以为圆心，为半径的圆周上运动，且始终满足，则的最小值是（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，点B、F、C、E在一条直线上，，，要使，还需添加一个条件是
10．如图，是的外角的平分线，若，，则 ．
11．如图，中，，，分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点D，E，以C为圆心，长为半径作弧，与直线交于点F，与交于点G，若，则的长为 ．
12．如图，的中线、交于点，点是的重心，点在边上，，那么 ．
13．如图，在中，，边上有一点，使，点是线段的延长线上的一点，连接，，且，若，，则的长为 ．

14．如图，射线是的角平分线，D是射线上一点，于点P，，若点Q是射线上一点，，则的面积是
15．矩形中，平分交于点，把绕点逆时针旋转交于点，过点作于点，连接，若，，则 ．
16．如图，，垂足为C，，射线，垂足为B，动点P从C点出发以的速度沿射线运动，点N为射线上一动点，满足，随着P点运动而运动，当点P运动 秒时，与点为顶点的三角形全等．
17．如图是一所大型游乐场，工人在对游乐设施进行测试．大摆锤从高为的房屋A处，划过到达与房屋A水平距离为，高为的房屋B处，求大摆锤的长度 m．
三、解答题
18．如图，分别以点B和点C为圆心，大于为半径作弧，两弧相交于A、M两点；作直线；连接；
(1)是什么三角形？说明理由；
(2)在中，是平分线，是平分线．求证：．
19．如图是某地下停车库入口的设计示意图，延长与交于E点，已知坡道的坡比是指坡面的铅直高度与水平宽度的比，的长为米，的长为米．
(1)请求出的长？
(2)按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，根据图中所给数据，确定该车库入口的限高数值（即点D到的距离）．
20．已知，如图，是的平分线，，点在上，，，垂足分别是、．
试说明：．
21．如图，是正方形的边上一点，是的中点，过点作的垂线，交于点，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若正方形的边长为，，求的长．
22．如图，在中，，作的中点，过作，分别交、于、，我们称为等腰的“内接直角三角形”．设，．
(1)如图①，当时，若，时，求内接直角三角形的斜边的长．
(2)如图②，当时，求证：内接直角三角形的斜边满足：；
(3)拓展延伸：如图③，当时，若、分别在、的延长线上，与，还满足（2）的关系式吗？若满足，证明你的结论；若不满足，请探索与，满足的数量关系式，并证明你的结论．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C A B C B B B
1．B
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，解题的关键熟练掌握旋转的性质；由旋转的性质可得，再由等腰三角形的性质求解即可．
【详解】解：将绕点逆时针旋转，得到，
，
，
故选：．
2．C
【分析】本题考查全等三角形，相似三角形，角平分线的知识，解题的关键是根据角平分线的性质，得，根据平行线的性质，则，根据等角对等边，则，根据，则，全等三角形的判定和性质，则，根据相似三角形的判定和性质，则，则，即可求出．
【详解】解：∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是公共边，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
3．A
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养．想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键．为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上．
【详解】解：三角形的三条垂直平分线的交点到三角形各顶点的距离相等，
凳子应放在的三条垂直平分线的交点最适当．
故选：A．
4．B
【分析】本题考查了动点问题与函数图象及二次函数图像性质．首先连接，过点作、，得到，用含的代数式把、表示出来，根据三角形的面积公式得到，从而可以判断函数图像是抛物线，再根据运动的速度和距离求出的取值范围，从而可得函数图像．
【详解】解：如下图所示，连接，过点作、，
，，点为斜边的中点，
，，
，
，
同理可得：，
点、运动的时间为，
，
，
，
，
，
由图可知
，
与的函数关系式是，
整理得：，
，运动速度为，
，
，
当时，，
与的关系用图像表示应是开口向上，对称轴为，且在范围内的一段抛物线．
故选：B．
5．C
【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据即可判断A；根据即可判断B；根据两三角形不一定全等即可判断C；根据即可判断D．
【详解】解：A、根据，，能推出，正确，故本选项不符合题意；
B、根据，，能推出，正确，故本选项不符合题意；
C、两边和一角对应相等的两三角形不一定全等，错误，故本选项符合题意；
D、根据，，能推出，正确，故本不符合题意；
故选：C．
6．B
【分析】本题考查了角平分线的性质．如图，过作于，于，于，则，由的外角的平分线与相交于点P，可得，然后作答即可．
【详解】解：如图，过作于，于，于，则，

∵的外角的平分线与相交于点P，
∴，
∴点P到的距离为3，
故选：B．
7．B
【分析】根据点绕上的点旋转后可以与点重合，得到，作于点，则，根据矩形中，，，点为的中点，
求得，得到，得到，解答即可．
【详解】解：根据点绕上的点旋转后可以与点重合，
∴，
作于点，
∴，
∵矩形中，，，点为的中点，
∴，，，
，
∴，，
∵
∴，，
∴，
∴，
解得，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，旋转性质，正弦函数的应用，熟练掌握勾股定理，正弦函数是解题的关键．
8．B
【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，最短距离等知识点，利用点A、B、C的坐标可得到，则，连接交于，利用两点间的距离公式计算出，即可得到，于是可判断a的最小值为4，熟练掌握其性质，找出最短距离的位置是解决此题的关键．
【详解】解：∵点，，，
∴，
∵，
∴，
如图，连接交于，
，
∴，
即上点到A的最短距离为4，
∴a的最小值为4，
故选：B．
9．（或或或）
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质等知识点，根据平行线的性质可得，，添加条件为：或，根据可证明；添加条件为：或，根据可证明，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【详解】∵，，
∴，，
①添加条件为：，
在和中，
，
∴；
②添加条件为：，
在和中，
，
∴；
③添加条件为：，
∴，
在和中，
，
∴；
④添加条件为： ，
在和中，
，
∴；
∴这个条件可以是（或或或）,
故答案为：（或或或）．
10．
【分析】本题考查三角形的外角，与角平分线有关的计算，根据角平分线的定义，求出的度数，再根据外角的性质，进行计算即可．
【详解】解：∵是的外角的平分线，，
∴，
∴；
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键．连接，先判断出是等边三角形，从而可得，再根据含30度角的直角三角形的性质可得，然后求出，最后根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可得．
【详解】解：如图，连接，
由题意可知，垂直平分，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵在中，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
12．/
【分析】本题考查了三角形中线和重心的性质，相似三角形的判定和性质，由三角形中线性质可得，由重心的性质可得，再根据相似三角形的性质可得，进而即可求解，掌握重心的性质是解题的关键．
【详解】解：∵是的中线，
∴，
∵点是的重心，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
13．
【分析】过作交于，设，则， ，由勾股定理得到：，即可求出的长，由等腰直角三角形的性质求出的长，由平行线等分线段定理得到的长，由，得到，代入有关数据即可求出的长．
【详解】解：过作交于，

设，则，，
∵，
∴，
∴，
∴（舍去负值），
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，关键是由勾股定理求出CD的长；通过作辅助线构造相似三角形．
14．
【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作于点，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积计算公式，即可得到答案．
【详解】解：作于点，
射线是的角平分线，
，，
，
的面积．
故答案为：．
15．
【分析】根据矩形的性质可得：，，结合角平分线的定义可推出，根据旋转和三角形的外角性质可推出，由，可得，推出，得到，结合三角形的外角性质可推出，证明是等腰直角三角形，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：四边形是矩形，
，，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，解题的关键是灵活运用相关知识．
16．0或4或8或
【分析】本题考查了三角形全等的判定，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
首先要分两种情况：①当P在线段上时，②当P在上，再分别分两种情况或进行计算即可．
【详解】解：①当P在线段上，时，与全等，
，
，
，
点P的运动时间为（秒）；
②当P在线段上，时，与全等，
这时，因此时间为0秒；
③当P在上，时，与全等，
，
，
，
点P的运动时间为（秒）；
④当P在BQ上，时，与全等，
，
，
，
点P的运动时间为（秒），
故答案为：0或4或8或．
17．13
【分析】如图所示，作，交于点，连接，可得，，在中，根据勾股定理可得的值，在等腰直角中可得，即可得出结果．
【详解】解：如图所示，，过点作于点，过点作于点，交于点，连接，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形，是矩形，
∴，
在中，，
∴，
在等腰直角中，，
∴，即，
∴，
，
故答案为：13．
【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的性质，三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质，理解图示，勾股直角三角形，掌握勾股定理的运用是解题的关键．
18．(1)是等腰三角形，见解析；
(2)见解析．
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．
（1）由作图知是的垂直平分线，据此可证明是等腰三角形；
（2）证明，即可得到．
【详解】（1）解：是等腰角形，
理由如下：
根据作图，是的垂直平分线，
∴．
∴是等腰三角形；
（2）证明：∵是等腰三角形，，
∴，
又∵是平分线，是平分线，
∴，，
∴，
又∵，
∴．
∴．
19．(1)米
(2)该车库入口的限高数值为米
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理，解题的关键是数形结合，作出辅助线．
（1）根据，得出，即，求出米，得出（米）；
（2）过点D作于H，证明，得出，设，，根据勾股定理求出，根据米，得出，最后求出结果即可．
【详解】（1）解：如图，由题意可知，，
∵，
∴，
∴，
∵米，
∴米，
∵米，
∴（米）；
（2）解：过点D作于H，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴设，，
∴，
∵米，
∴，
解得：，
∴（米），
答：该车库入口的限高数值为米．
20．见解析
【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质．根据角平分线的定义可得，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可．
【详解】证明：为的平分线，
，
在和中，，
，
，
点在上，，，
．
21．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键：
（1）根据正方形的性质，垂线的定义，得到，同角的余角相等，得到，即可得证；
（2）勾股定理求出的长，中点求出的长，相似三角形的性质，列出比例式进行求解即可．
【详解】（1）解：∵正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）∵正方形的边长为，，
∴，，
∴，
∵是的中点，
∴，
由（1）知：，
∴，即：，
∴，
∴．
22．(1)
(2)见解析
(3)，理由见解析
【分析】（1）过点作的垂线交的延长线于点，连接，根据平行线的性质，则，根据对顶角相等，全等三角形的判定和性质，则，得，，根据勾股定理的应用，即可；
（2）过点作的平行线交的延长线于点，连接，过点作的垂线，交的延长线于点，根据等腰三角形的性质，则，根据全等三角形的判定和性质，则，，，根据勾股定理，则，即可；
（3）过点作的垂线交的延长线于点，连接，根据平行线的性质，则，根据对顶角相等，全等三角形的判定和性质，则，根据勾股定理，则，进行解答，即可．
【详解】（1）解：如图，过点作的垂线交的延长线于点，连接，
∵，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
在 中，由勾股定理得：．
（2）如图，过点作的平行线交的延长线于点，连接，过点作的垂线，交的延长线于点，
∵，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
又∵，，，
∴，，
∴，
在中，，
即．
（3）如图，过点作的垂线交的延长线于点，连接，
∵，
∴，
∵点是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
在中，，
【点睛】本题考查等腰三角形，全等三角形，勾股定理的知识，解题的关键是掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，进行解答，即可．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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