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2026年中考数学一轮复习专题：四边形综合
一、单选题
1．一个多边形的内角和等于它的外角和，这个多边形是 （ ）．
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
2．如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，交于点，若，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在平行四边形中，点E在上，若，则与的周长比为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，正方形中，E为边上一点，连接，将绕点E逆时针旋转得到，连接，若，则一定等于（　　）
A．α B． C． D．
5．如图，点D、E分别是边的中点，点F在上，．连接并延长，与的延长线相交于点M．若，则线段的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
6．如图，在菱形中，，．E是边上一动点，过点E分别作于点F，于点G，连接，则的最小值为（　　）
A．2.4 B．3 C．4.8 D．4
7．如图，正方形和正方形中，点D在上，，，是的中点，那么的长是（ ）
A． B． C． D．2
8．如图，正方形中，，点在边上，且．将沿对折至，延长交边于点，连接，．则下列结论：
①；②；③；④．
其中正确的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
9．若正边形的每一个内角为，则 ．
10．已知3是关于x的方程的一个根，并且这个方程的两个根恰好是菱形的两条对角线的长，则菱形的面积为 ．
11．如图，正方形纸片的边长为，点，分别在，上，以为折痕折叠正方形，使顶点落在边上的点处，的对应边交于点，当时，的周长是 ．
12．正六边形 与正五边形 按如图方式摆放，点A，B，G在一条直线上，则的度数为 ．
13．如图，一个矩形的一边与量角器的零刻度线共线，其对边与量角器交于点，且点在量角器上对应读数为．若将量角器看做是半径为5的扇形，则矩形与量角器重叠部分的周长为
14．如图，正方形的边长为6，与x轴负半轴的夹角为，点B在抛物线（）的图象上，则a的值为 ．
15．如图，菱形中，，点M，点N分别是边上的点，且交于点E，如果点F是的中点，那么 ．
16．如图，已知矩形，，，、分别是边、上的动点，且，将沿着方向向右平移到，连接、，当时，长是 ；运动过程中，的面积的最小值是 ．

三、解答题
17．如图，在矩形中，点是对角线的中点，过点作的垂线，分别交、于点、，连接、．试判断四边形的形状，并说明理由．
18．如图，在菱形中，对角线相交于点O，以点C为圆心，长为半径画弧交的延长线于点E，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的周长和面积．
19．在平行四边形中，，，是上一点，且．有一点以三个单位每秒的速度从出发到再到，将绕点顺时针旋转到，连接，，．
(1)请求出与点运动时间间的关系．
(2)当在平行四边形的对角线上时，求出的值．
(3)连接，当在上且分线段为的两部分时，请直接写出的值．
20．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．图中A，B，C，D都是格点，E为与网格线的交点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．
(1)如图1，先将线段绕点A顺时针旋转到，再在上画点G，使；
(2)如图2，先在上画一点H，使，再在上画点P，使．
21．某数学兴趣小组开展矩形的折叠实验探究，折叠矩形的一边，使点落在点处，折痕为．
(1)如图1，当点恰好在边上时，证明：．
(2)将矩形的边折叠，使点落在边上的点处，折痕为．
①如图2，当点恰好在边上时，若，连接，试判断的形状，并说明理由．
②如图3，当点在矩形内部时，若．点是的中点，求的长
22．综合运用
如图1，在平面直角坐标系中，点为，点为，连接．
提出问题：
（1）如图2，以为边在右侧构成正方形，且正方形的边与轴相交于点，用含的代数式表示此时点的坐标；
问题探究：
（2）如图3，以为对角线构成正方形，且正方形的边与轴相交于点，当时，求线段的值；
问题深化：
（3）若以为边在右侧构成正方形，过点作轴于点，连接，令的面积为，求关于的函数关系式．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A C A C A B C
1．B
【分析】本题主要考查的是多边形的内角和与外角和，掌握n边形的内角和为、外角和是是解题的关键．
根据多边形的内角和的计算公式与外角和是列出方程，解方程即可．
【详解】解：设这个多边形边数是n，根据题意得：
，
解得：，
∴这个多边形是四边形．
故选：B．
2．A
【分析】连接，由作图知，平分，得到，根据平行四边形的性质得到，，求得，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：连接，
由作图知，平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了作图﹣基本作图，平行四边形的性质，勾股定理，菱形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
3．C
【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质．熟练掌握三角形相似的判定定理和性质定理是解题关键．由平行四边形的性质易证，，结合题意即得出，再根据相似三角形周长比等于相似比即得出答案．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴，，，
∴．
∵，即，
∴，
∴与的周长比为．
故选C．
4．A
【分析】本题考查了旋转性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理及外角性质，等腰直角三角形的性质，先由，得出，结合正方形的性质，则，然后证明通过证明，所以再结合等边对等角，即可作答．
【详解】解：过点F作，交的延长线于点G，
由旋转得，，
∴．
∵四边形为正方形，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴
∴
即
∴，
∴．
∵，
∴
∴
故选：A．
5．C
【分析】本题考查三角形中位线定理及三角形相似的判定与性质．根据D、E分别是边的中点得到，，从而得到，即可得到，代入数据即可得到答案．
【详解】解：∵点D、E分别是边的中点，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
故选：C．
6．A
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键．由菱形的性质和勾股定理，得出，证明四边形是矩形，得到，当时，有最小值，利用三角形面积公式，求出的长，即可得到答案．
【详解】解：如图，连接，
四边形是菱形，，．
，，，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
当时，有最小值，
，
，
的最小值为2.4，
故选：A．
7．B
【分析】本题考查了正方形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理等知识．如图，连接，由正方形的性质可得，，则，由 H是的中点，可得，根据勾故定理求的值，根据，求的值，进而可求．
【详解】解：如图，连接，
由正方形的性质可得，，
∴，
∵H是的中点，
∴，
由正方形的性质可得，
，
同理可得，
∴，
∴，
故选：B．
8．C
【分析】本题主要考查了折叠的性质，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，三角形面积，多边形内角和问题等等．先求出，，再由折叠的性质得到，，，即可利用证明即可判断①；设，则，在中，，，，由勾股定理可得，求得的值，即可判断②；分别求出两个三角形的面积即可判断③；在五边形中，由，得到，即可判断④．
【详解】解：∵在正方形中，，，
∴，，
∴，，
∵将沿对折至，
∴，，，
又∵，
∴，故①正确；
∴，，
设，则，
在中，，，，
由勾股定理可得，
解得，此时，则，满足条件，故②正确；
∵，，
∴，故③正确；
在五边形中，，
即，
∴，故④错误；
∴正确的有三个，
故选：C．
9．10
【分析】本题考查了多边的内角和定理，理解多边的内角和定理是解答关键．
根据正多边形的内角和定理列出方程求解．
【详解】解：正边形的每一个内角为，
则正边形的内角和为，
，
整理得，
解得．
故答案为：10．
10．
【分析】本题主要考查了菱形的性质以及一元二次方程的解和根与系数的关系，正确得出方程的两根之积是解题关键．
首先利用一元二次方程的解得出m的值，再利用根与系数的关系得出方程的两根之积，再结合菱形面积公式求出答案．
【详解】解：∵3是关于x的方程的一个根，
∴，
解得：，
∴原方程为：，
∴方程的两根之积为：，
∴菱形的面积为：．
故答案为：．
11．
【分析】根据折叠的性质得到，，，，，根据勾股定理列出方程，解方程求出、，证明，根据相似三角形的性质求出、，根据三角形周长公式计算即可．
【详解】解：∵正方形纸片的边长为，以为折痕折叠正方形，使顶点落在边上的点处，，
∴，，，，，，
设，则，，
在中，，即，
解得：，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，，
∴，，
∴
的周长是．
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质、翻转变换、勾股定理，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
12．/度
【分析】本题考查了正多边形的内角与外角，据正五边形和正六边形性质得出各外角度数，进而可得答案．
【详解】解：∵在正六边形和正五边形中，
，
，
∴，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查弧长公式，矩形的性质，等边三角形的判定及性质，结合题意可知为等边三角形，进而可得，利用弧长公式可得，，即可求解．
【详解】解：如图，由题意可知，，，，，
则，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，则，
∴，
则矩形与量角器重叠部分的周长为，
故答案为：．
14．
【分析】连接，过B作轴于D，若与x轴负半轴的夹角为，那么；在正方形中，已知了边长，易求得对角线的长，进而可在中求得的值，也就得到了B点的坐标，然后将其代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数a的值．
【详解】解：如图，连接，过B作轴于D；
∵四边形是正方形，
∴．
∵与x轴负半轴的夹角为，
∴
∵正方形的边长为6，
∴；
中，，，
则；
故，
代入抛物线的解析式中，得：，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质、直角三角形的性质以及用待定系数法确定函数解析式的方法，求出是解答本题的关键．
15．
【分析】本题主要考查了菱形与三角形综合．熟练掌握菱形性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定和性质，解直角三角形的相关计算，是解题的关键．
连接，并延长交于一点Q，根据菱形性质证明为等边三角形，结合，得到，得到，得到，根据问题是一个定值，可化一般情况为特殊情况，点M，点N分别是边上的中点，得到点E为等边的重心，得到，Q为中点，得到，，，得到，得到，得到，得到，得到是等边三角形，推出，即得．
【详解】解：连接，并延长交于点Q，
∵四边形为菱形，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
根据问题是一个定值，因此化一般情况为特殊情况，
则点M，点N分别是边上的中点，
∴点E为等边的重心，
∴，Q为中点，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵点F是的中点，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
16． /
【分析】本题考查了二次函数的最值，矩形的性质，平移的性质，三角形全等的判定和性质．结合图形，由已知先证明为正方形，设，则，求出的长，进而求出；由得到，利用二次函数的性质即可求得的面积的最小值．
【详解】解：连接，如图所示：
，
，，，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
，
四边形为正方形，
，
设，则，
，
，
，解得，
，
，
；
，
，
的面积的最小值是，
故答案为：，．
17．四边形是菱形，理由见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及菱形的判定．由条件可先证四边形为平行四边形，再结合线段垂直平分线的性质可证得结论．
【详解】解：四边形为菱形．
证明如下：∵矩形，
∴，
．
是中点，
．
在和中，
，
，
．
又，
四边形为平行四边形，
，
平行四边形为菱形．
18．(1)证明见解析；
(2)的周长是，面积是．
【分析】（1）根据菱形的性质，得到， ，再根据作图得到，证明四边形是平行四边形即可得到；
（2）根据菱形的性质得到，，根据平行四边形的性质得到，，进而求得的三边长即可求解．
本题考查了菱形的性质，平行四边形判定与性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，，即，
∵以点C为圆心，长为半径画弧交的延长线于点E，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴；
（2）解：∵四边形是菱形，，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴的周长，
．
19．(1)
(2)或1或
(3)或
【分析】（1）分两种情况讨论，当点在线段上时，；当点在线段上时，；
（2）分类讨论：当时，点落在上，点落在上；当时，点落在上，通过锐角三角函数，等角的三角函数值相等，以及构造一线三等角的全等解决问题；
（3）分类讨论：当及，构造辅助线，利用平行线分线段成比例定理，矩形的性质，全等三角形的性质解决问题．
【详解】（1）解：依题意，平行四边形中，，且有一点以三个单位每秒的速度从出发到再到
∴①当点在线段上时，即时，；
∴②当点在线段上时，当时，．
∴
（2）解： 过点作延长线于点，
四边形是平行四边形，
，，，，
，
在，由，
，
设，，
由勾股定理得：，
解得：，
，，
中，．
依题意，由旋转知，，
当时，点落在上，如图1，
由得，，
解得：；
点落在上时，如图2，过点作于点，
同（1）可求，，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
解得：，
当时，点落在上，过点，分别作的垂线，垂足为，，如图3，
由，得：，
∴
则
∵
∴
∴
∵
∴，
，，
在中，，
，
解得．
综上所述：的值为，1，．
（3）①当时，构造如图4辅助线（均是水平线，铅垂线），
由平行线分线段成比例定理的：，
∵过点作延长线于点H，
∴设
∵，，
∴，
∴
则
，
∴
∴
即
∵
∴
，
设，
则，
，，
，
，
而，
，
，，
，
，
解得：，
，
；
②当时，构造如图5辅助线（均是水平线，铅垂线），
同理可得：，
解得：，
，
．
综上所述：或．
【点睛】本题是以平行四边形为背景的动点压轴题，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，解直角三角形，化动为静，注意分类讨论的思想，解题关键在于熟练掌握全等三角形的构造，锐角三角函数的应用，正确添加辅助线是解决本题的关键．
20．(1)图见解析
(2)图见解析
【分析】本题考查的是格点作图题、图形的旋转作图及三角函数计算、三角形中位线定理应用，
（1）在上取点H，使，连接并延长，交于点G，则点G即为所求；
（2）在的延长线上取点Q，使，过点Q作的垂线，交于点P，则，可得为的中位线，即可得出结论．
【详解】（1）解：如图1，线段即为所求．
在上取点H，使，连接并延长，交于点G，
则：，
即，
则点G即为所求．
（2）如图2，即为所求．
在的延长线上取点Q，使，过点Q作的垂线，交于点P，
则，
则为的中位线，
垂直平分，
，
则点P即为所求．
21．(1)见解析
(2)①为等腰直角三角形，理由见解析；②
【分析】（1）由题意可得，推出即可求证；
（2）①由题意可得是等腰直角三角形，进一步得是等腰直角三角形；证即可求证；②延长交于点，连接，可证；设，则，根据解得：；设，则，根据解得：；据此即可求解．
【详解】（1）证明：由题意可得：
∴
∴
∵
∴
（2）解：①为等腰直角三角形，理由如下：
由题意得：
∴
∴是等腰直角三角形
∵
∴是等腰直角三角形
∴
由（1）得：
∵
∴
∴是等腰直角三角形
∴
∴
∴
∴
∴
∵
∴为等腰直角三角形
②延长交于点，连接，如图所示：
由题意得：，，
∴
∵
∴
设，则
∵
∴
解得：；
∴
设，则
∵
∴
解得：；
∴
【点睛】本题考查了几何综合问题，涉及了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，掌握相关几何结论是解题关键．
22．（1）；（2）；（3）或
【分析】（1）证明，得到，求出即可；
（2）过点分别作轴于轴于点，求出，，证明，易证四边形是正方形，设，则，利用勾股定理x的值，再证明，即可解答；
（3）分和两种情况讨论，当时，如答23—2图，过点作轴于点，作交的延长线于点．证明，得到，再证明，得到，易得四边形是正方形，推出，即可得出结果，当时，如答23—3图，过点作于点，作轴于点，同理解答即可．
【详解】（1）解：，
，
解得，
；
（2）如答23—1图，过点分别作轴于轴于点，
在中，，
，
四边形是正方形，
设，则，
（舍去）．
，
，
；
（3）①当时，如答23—2图，过点作轴于点，作交的延长线于点．
，
，
，
，
四边形是正方形，
；
②当时，如答23—3图，过点作于点，作轴于点，
同①得，
四边形是正方形，
综上所述，或．
【点睛】本题考查四边形综合题、坐标与图形、正方形的判定与性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，相似三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或特殊四边形解决问题，学会利用参数解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考压轴题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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